HIT 第四章 ◆李亚普诺夫意义下的稳定 表x为系统的一个孤立平衡状态,则称X为李亚普诺 夫意义下是稳定的,如果对给定的任一实数>0,都对 厘地存在一个实数δ(E,10)>0,使得由满足不等式 e 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式: (x,5)-x|,Ⅵt≥ 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 016
第四章 应地存在一个实数 ，使得由满足不等式 夫意义下是稳定的，如果对 下是稳定的，如果对给定的任一实数 ，都对 e x u李亚普诺夫意义下的稳定 表 为系统的一个孤立平衡状态，则称 为李亚普诺 0 d e( , t ) 0 > e x 的任一初态 出发的受扰运动都满足不等式： 0 0 ( , ) e x - £ x t d e 0 0 0 ( ; , ) , e f e t x t - x £ " ³t t 0 x e > 0 016
HIT 第四章 几何含义为 以原点(xa)为球心构造半径为的一个超球体,其球域 记为S(E)。 则存在一个对应的正实数δ(E,10),其大小同时依赖于 和初始时刻t0,则构造原点为球心,半径为6(8,0)的另一 超球体,球域记为S(δ)。 则由域S(δ)上的任一点出发的运动轨迹卩(1x0,), 对所有t≥to,都不脱离域S(E) 则原点平衡状态x2是李亚普诺夫意义下稳定的 佥磨霞腐火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 017
第四章 记为 。 以原点 为球心构造半径为 的一个超球体，其球域 S ( ) e e 0 则存在一个对应的正实数 d e( , ) t ，其大小同时依赖于 ( ) e x 和初始时刻 ，则构造原点为球心，半径为 的另一 S ( ) d e 0 d e( , ) t 超球体，球域记为 。 0 t 0 0 则由域 S ( ) d 上的任一点出发的运动轨迹 f (t; x t, )， e x 对所有 t t ³ 0 ，都不脱离域 。 则原点平衡状态 是李亚普诺夫意义下稳定的。 S ( ) e 几何含义为： 017
HIT 第四章 S(8) S(6 p(t,x,56) H(e) 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 018
第四章 S( ) e S( ) d H( ) e 0 0 f(t; x t, ) 0 x e x 018
HIT 第四章 如果δ只依赖于而和初始时刻o无关,则称x是 难致稳定的。 定常系统:稳定等价于一致稳定。 时变系统:稳定≠一致稳定。 ◆渐近稳定 个孤立平衡状态x称为是渐近稳定的,如果 E(1)x是李氏意义稳定的; 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 019
第四章 如果 d 只依赖于 而和初始时刻 无关，则称 是一 致稳定的。 e ¹ 定常系统 ：稳定等价于一致稳定。 0 t 时变系统 ：稳定 一致稳定。 e x （1） 是李氏意义稳定的； e x u渐近稳定 一个孤立平衡状态 称为是渐近稳定的，如果： e x 019
HIT 第四章 (2)对8(6,t0)和任意给定的实数μ>0,对应地 存在实数T(μ,8,t0)>0,使得满足 x。‖8(E,t0)的任一初态xo出发的受扰 运动都同时满足不等式: S(8) S(6) 10(:x,10)-x1≤ p(t,x,6) +T(4,6 运动的有界性。 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 020
第四章 存在实数 ，使得满足： （2）对 d e( , ) t 0 和任意给定的实数 m > 0 ，对应地 0 T t ( m d, , ) 0 > 的任一初态 出发的受扰 0 0 ( ; , ) e f m t x t x - £ 0 0 ( , ) e x - £ x t d e 运动都同时满足不等式： 0 x 运动的有界性。 0 0 " t ³ + t T t ( m d, , ) S( ) e S( ) d H( ) e 0 0 f(t; x t, ) 0 x e x 020