在X、戶如此取法下,它们之间的对易子为 [,=p-p· 内dhd x77女 i 当然,对三维空间的另两维y、z自由度也有类似计算。从而,就三维空间来说 p=-ih 由此,非相对论的动能算符、势能算符等均可以用这两个算符的函数去构造。列表如下 非相对论动能算符 △ 2m 2m 势能算符 V=vo 角动量算符=产xp=-ixV 粒子密度算符 P=d(r-F) 流密度算符 P 6(F-)2+26(F-P”) 而系统的总能量算符(即系统的哈密顿量)H=T+V。在球坐标中,角动量算符的各个分量 分别为 L= yP )=-ih(sin - cot cos L, =-ih(cos --cot Osing L -ih 动能算符为 个=2mrbr 这里的进一步注意事项参见第二章第三节。第六,以P为例阐述一下动量算符的厄米性问 题。由上面第二点叙述知,此时P=-i的厄米条件相应为以下等式成立 v(-i可)dx=|( 这里o(x)、(x)是两个任意的波函数。由于上式右边为 du 上限 i一x=ivp 下限 这就是说,仅当分部积分项为零时,P的厄米性才能被保证。就束缚态而言,当x→±∞时 (x)和(x)均趋于零,P的厄米性不会出现问题。至于对有限区间[ab情况,P的厄 米性只在满足周期(或反周期边界条件的函数族中才被保证,这时分部积分项仍为零 3,第三公设称为测量公设或平均值公设] “一个微观粒子体系处于波函数为v(x)的状态,若对它测量可观测力学量A的数值
在 x$ 、 p$ 如此取法下，它们之间的对易子为 [x p $, $] = x$ ⋅ p$ $ − p ⋅ x$ = ⋅ x − ⋅ i d dx i d dx x h h = ih 当然，对三维空间的另两维 y 、 z 自由度也有类似计算。从而，就三维空间来说， { } v$ r x = $, y$,z$ ， v h $ p = −i ∇ 。 由此，非相对论的动能算符、势能算符等均可以用这两个算符的函数去构造。列表如下 非相对论动能算符 $ $ T p m m = = − v h 2 2 2 2 ∆ v 势能算符 V V $ $($ = r) v 角动量算符 v v h $ v L r$ $ = × p = −i r × ∇ v v 粒子密度算符 $ ($ $ ρ δ = r r − ′) 流密度算符 v v v v v $ v v [ ($ ) $ $ ($ j r r )] p m p m = − ′ + − r r ′ 1 2 δ δ 而系统的总能量算符(即系统的哈密顿量) H$ $ $ = T +V 。在球坐标中，角动量算符的各个分量 分别为 $ $ $ $ $ L yP zP i ( ) y (sin cot cos z z y i x z = − y = − h h − = − + ) ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂θ θ ϕ ∂ ∂ϕ $ L i (cos cot sin ) y = − h ϕ − ∂ ∂θ θ ϕ ∂ ∂ϕ $ L i z = − h ∂ ∂ϕ 动能算符为 $ $ T m r r r L m r = − + h 2 2 2 2 2 2 1 2 ∂ ∂ 这里的进一步注意事项参见第二章第三节。第六，以 为例阐述一下动量算符的厄米性问 题。由上面第二点叙述知，此时 P$ x P i $ d dx x = − h 的厄米条件相应为以下等式成立 ψ ϕ ϕ ∗ ∗ ψ − = − ∫ ∫ ( ) i ( ) d dx dx i d dx h h dx 这里ϕ(x) 、ψ(x) 是两个任意的波函数。由于上式右边为 i d dx dx i i d dx h h h dx ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ∗ ∗ ∗ ∫ ∫ = + − 上限 下限 ( ) 这就是说，仅当分部积分项为零时，P$ x 的厄米性才能被保证。就束缚态而言，当 x → ±∞ 时， ψ(x) 和ϕ(x) 均趋于零， P$ x 的厄米性不会出现问题。至于对有限区间[a b, ]情况， 的厄 米性只在满足周期(或反周期)边界条件的函数族中才被保证，这时分部积分项仍为零。 P$ x 3, [第三公设称为测量公设或平均值公设] “一个微观粒子体系处于波函数为ψ(x) 的状态，若对它测量可观测力学量 A$ 的数值
所测得的A的平均值(期望值)为 y(PAy(r)a A (1.17) y(y(r)di 若v(F)是归一的,则 x=v()v(F)。” 除波函数几率解释之外,这又是一个将量子力学的理论与实验联系起来的公设,它将力 学量的量子力学理论计算与实验观测联系起来,和波函数几率解释一道构成量子力学中实验 观测的理论基础。这里指出几点。第一,这里的平均值是指对大量相同的态v(F)作多次观 测的平均结果。这里有所谓多次平均测量结果和单次测量结果。第二,如果v(F)不是算符 A的本征函数,只要A是可观察力学量,也即A的本征函数构成完备集,则v(F)一定可 用A的本征函数族{vn(F)展开: v(F)=∑anvn(F) 这里vn(P)是A的本征值为an的本征函数, AU(r=a,y,(r) 展开系数an一般为复数。将展式代入A的表达式,得 ∫②av()2a,n(F)∑an ∫av)∑aWn()∑n 即平均值互为实数本征值an的加权平均,加权系数等于v(F)用{vn(F)展开时的系数的 模方。注意,在单次测量中,测得A的数值必定总是A的本征值之一,不可能是本征值以 外的数值,这是和经典力学测量截然不同之处;得到该力学量某个本征值的几率是被测态波 函数对该力学量本征态展式的相应系数的模方。注意,作为决定几率权重的这些系数随被测 态的演化可能会随时间变化。第三,即使在量子力学实验中,测量的数值总应当是实数(力 学量的取值总应当是实数),所以要求对任一波函数v(F),A均为实数。事实上这是被保 证了的。因为A是厄米算符,于是有 ∫v()={JvG)avoM 由于单次测量结果总是A的本征值之一,显然也应当总是实数。第四,每次测量之后,态 v(F)即受严重干扰,并总是向该次测量中所得本征值的本征态突变过去。就某一单次测量 而言(除非v(F)已是该被测力学量的某一本征态),究竟向哪个本征态突变,就象测得的本 征值一样,是完全不能预先预言的。就是说,由测量引起的突变总是向被测力学量的本征态 之一突变,而且这种突变是随机的、无法预计的、不可逆的、超出量子力学描述范围的。总 括说来,对被测态v(F)进行力学量A的每一次测量可分为三个阶段:(F)按A的本征态 分解,称为谱分解;y(P)(以谱分解展开式系数模平方为几率)随机不可逆地向A的本征态 之一突变,称为波函数坍缩;坍缩后的态作为初态重新开始测量后的新一轮演化。这就是量 子测量的全过程。现在可以解释公设二中所提的可观察力学量的说法了。如果力学量A是
所测得的 A$ 的平均值(期望值)为 (r) v α n Aψ A r A r dr r r dr ψ ψ ψ ψ ψ = ∗ ∗ ∫ ∫ ( ) $ ( ) ( ) ( ) v v v v v v (1.17) 若ψ( ) v r 是归一的，则 A r A r ψ = ψ ψ ∗ ∫ ( ) $ ( ) v dr v v 。” 除波函数几率解释之外，这又是一个将量子力学的理论与实验联系起来的公设，它将力 学量的量子力学理论计算与实验观测联系起来，和波函数几率解释一道构成量子力学中实验 观测的理论基础。这里指出几点。第一，这里的平均值是指对大量相同的态ψ( ) v r 作多次观 测的平均结果。这里有所谓多次平均测量结果和单次测量结果。第二，如果ψ( ) v r 不是算符 A$ 的本征函数，只要 A$ 是可观察力学量，也即 A$ 的本征函数构成完备集，则ψ( v r) 一定可 用 A$ 的本征函数族{ ( ) r } v ψ n 展开： ψ( ) α ψ ( ) v v r r n n n = ∑ 这里ψ n 是 A$ 的本征值为an 的本征函数， $ A r( ) a (r) ψ ψ n n n v v = 展开系数 一般为复数。将展式代入 Aψ 的表达式，得 A r A r dr r r dr n n a n n n n n n n n n n n n n n n ψ α ψ α ψ α ψ α ψ α α = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ( )) $( ( )) ( ( ))( ( )) v v v v v v 2 2 (1.18) 即平均值 为实数本征值an 的加权平均，加权系数等于ψ( ) v r 用{ψ n ( ) r } v 展开时的系数的 模方。注意，在单次测量中，测得 的数值必定总是 的本征值之一，不可能是本征值以 外的数值，这是和经典力学测量截然不同之处；得到该力学量某个本征值的几率是被测态波 函数对该力学量本征态展式的相应系数的模方。注意，作为决定几率权重的这些系数随被测 态的演化可能会随时间变化。第三，即使在量子力学实验中，测量的数值总应当是实数(力 学量的取值总应当是实数)，所以要求对任一波函数 A A$ ψ( ) v r ， Aψ 均为实数。事实上这是被保 证了的。因为 A$ 是厄米算符，于是有 ψ ψ { ψ ψ } ∗ ∗ ∗ ∫ ∫ ( ) = $ ( ) ( ) $ ( ) v v v v v v r A r dr r A r dr 由于单次测量结果总是 A$ 的本征值之一，显然也应当总是实数。第四，每次测量之后，态 ψ( ) v r 即受严重干扰，并总是向该次测量中所得本征值的本征态突变过去。就某一单次测量 而言(除非ψ( ) v r 已是该被测力学量的某一本征态)，究竟向哪个本征态突变，就象测得的本 征值一样，是完全不能预先预言的。就是说，由测量引起的突变总是向被测力学量的本征态 之一突变，而且这种突变是随机的、无法预计的、不可逆的、超出量子力学描述范围的。总 括说来，对被测态ψ( v r) 进行力学量 A的每一次测量可分为三个阶段：ψ( ) v r 按 的本征态 分解，称为谱分解； A$ ψ( v r) (以谱分解展开式系数模平方为几率)随机不可逆地向 的本征态 之一突变，称为波函数坍缩；坍缩后的态作为初态重新开始测量后的新一轮演化。这就是量 子测量的全过程。现在可以解释公设二中所提的可观察力学量的说法了。如果力学量 是 A$ A$
个可由实验观测的量,那么对任给的一个状态v(F),都应当可以对其实行A的数值的测量。 由于测量就意味着本征函数展开和向其中之一的坍缩,这就意味着v(F)必能用A的本征函 数族展开。由于v(F)是(满足一定条件下的)任意态,这就要求,就分解这一类态而言,A的 本征函数族必须是完备的。这就是A作为算符它的本征函数族的完备性和A作为力学量它 的可观测性之间的联系。如果一个厄米算符,它的本征函数族不是完备的,原则上它就不是 个可以观测的量。就一般系统而言,它的任一力学量的本征函数是否完备很难证明。因此 一般说来,力学量是否为一个可观测量是个凭物理直觉作出的假设和信念。第五,可以证明 如下重要结论:两个力学量A、B可以同时观测的充要条件是它们的对应算符彼此对易 [l3B-B3=0 这里要指出,零算符的含义是它作用到任何物理波函数上结果均为零。条件的必要性论证如 下:若对任一状态都能够同时测定A、B,根据上面所说,必存在A、B的共同本征函数yab 因为,这时在测量之后,原先的波函数必以某一几率向A、B的某个共同本征函数va坍 缩。于是就有 [a, Blab=(ab-ba)wab=0 这里m分别是A、B的某一本征态。由于A、B是可观测物理量,所以{vm}序列是完 备的,任一波函数总可按{ya}展开,于是对任给的波函数v,有 [A, B=[a, B2aak as=Eaal[a, B]a =0 从而得到 [=0 条件的充分性论证如下:如果 0 并且假定A、B中有一个是非简并的,就是说对应每一个本征值只存在一个本征态。不失 一般性,假定A如此,于是取A的一个本征态va,有 0=[2]yn=1Bv。-Bv。 也即 A(By=abya 这就是说,Bv。也是A的本征值为a的本征态。根据假定,A的这个本征态不简并,因此 Bv和v。必定只差一常系数,即 y 说明此ψa也是B的(本征值为b的)本征态。也就是说,力学量A、B可以同时观测。对于 有简并的情况,结论依然如此,这在以后论述。 以上五点,构成了量子力学的全部测量理论。 4,[第四公设—微观体系动力学演化公设或 Schrodinger方程公设 “一个微观粒子体系的状态波函数满足如下薛定格方程
个可由实验观测的量，那么对任给的一个状态ψ( ) v r ，都应当可以对其实行 的数值的测量。 由于测量就意味着本征函数展开和向其中之一的坍缩，这就意味着 A$ ψ( ) v r 必能用 的本征函 数族展开。由于 A$ ψ( ) v r 是(满足一定条件下的)任意态，这就要求，就分解这一类态而言，A的 本征函数族必须是完备的。这就是 作为算符它的本征函数族的完备性和 作为力学量它 的可观测性之间的联系。如果一个厄米算符，它的本征函数族不是完备的，原则上它就不是 一个可以观测的量。就一般系统而言，它的任一力学量的本征函数是否完备很难证明。因此， 一般说来，力学量是否为一个可观测量是个凭物理直觉作出的假设和信念。第五，可以证明 如下重要结论：两个力学量 、 $ A$ A$ A B 可以同时观测的充要条件是它们的对应算符彼此对易， 即 $ A, A = − AB$ BA $ ψ ab ab [ ] B$ , = − ab ba A$ A$ B$ ab ψ ab } [ ] [ $ A B, ab ab = = ψ ∑ ψ ab 0 ]$ = 0 ]$ = 0 B$ A$ ψ a $ $ ψ ψ a a AB ) ( $ ψ ψ = a B 0 $ A, $( a a B b ψ ψ a a = B B [ ] B$ $ $ $ = 0 这里要指出，零算符的含义是它作用到任何物理波函数上结果均为零。条件的必要性论证如 下：若对任一状态都能够同时测定 、B ，根据上面所说，必存在 A$ 、B 的共同本征函数 。 因为，这时在测量之后，原先的波函数必以某一几率向 A$ 、 B$ 的某个共同本征函数ψ 坍 缩。于是就有 $ A ( ) ψ ψ ab ab = 0 这里ψ ab 分别是 、 B$ 的某一本征态。由于 、 是可观测物理量，所以{ 序列是完 备的，任一波函数总可按{ 展开，于是对任给的波函数 ψ } ψ ，有 , ] [ ] $ $ $ $, A B A B$ ab ab ψ α ∑ α ab = 从而得到 [ $ A B, 条件的充分性论证如下：如果 [ $ A B, 并且假定 A$ 、 中有一个是非简并的，就是说对应每一个本征值只存在一个本征态。不失 一般性，假定 如此，于是取 A$ 的一个本征态 ，有 = = [ ] − B $ BA$ $ψ 也即 $ A B ) a a 这就是说， 也是 的本征值为a 的本征态。根据假定， 的这个本征态不简并，因此 和 B$ψ A$ A$ B$ψ a ψ a 必定只差一常系数，即 $ 说明此ψ a 也是 的(本征值为b的)本征态。也就是说，力学量 A、 可以同时观测。对于 有简并的情况，结论依然如此，这在以后论述。 以上五点，构成了量子力学的全部测量理论。 4， [第四公设——微观体系动力学演化公设或 Schrödinger 方程公设] “一个微观粒子体系的状态波函数满足如下薛定格方程
v(F1) =H(F,p)v(1)=H(F,-ihV)v(1) a 这里H为体系的哈密顿算符,又称为体系的哈密顿量, =个+)=2+1m)=-△+ 这里强调指出,如果说在“测量公设”中所涉及的状态坍缩是随机的、不可预测的,不 符合经典观念的因果律的话,那么在本公设中完全规定了状态波函数随空间和时间的变化规 则。这里不存在任何随机的、不可预测的成分。就是说,描述状态的波函数是完全遵循经典 观念下的因果律的。这两方面——态演化的决定论形式和态测量的随机坍缩形式的有机结合 就是微观世界的新的因果律,是 de broglie波达到因果律 5,量子力学的第五个公设—全同性原理公设将在后面第六章中叙述 6,公设应用举例广义测不准关系推导 假定任意两个非对易的算符91和2,可以证明 这起)2为在态v中的平均值,而A)=ya-(2) 是力学量91对应的算符1在态v中的方均根偏差。 证:令 (2)1,B=2-() Ⅰ为单位算符,于是 4、.)=(1-(2)=(2)= v)·A 这里A是态Av的模长。同样有 注意到2,豆][l,所以只需证明 即可。根据 Schaar不等式 G5wGb9()d=M例 我们有 Buld 利用恒等式 AB=HA. B]+a, B 这里l=B+B是两个算符的反对易子。于是
i rt t h H r p rt H r i rt v v v v v h ∂ψ v ∂ ψ ( ) $ ( , $) ( ) $ = = ( ,− ∇)ψ( ) (1.19) 这里 H$ 为体系的哈密顿算符，又称为体系的哈密顿量， $ $ $ $ H T V(r) ( ) p m V(r) m = + = + = − +V r v v v h v 2 2 2 2 ∆ 。” 这里强调指出，如果说在“测量公设”中所涉及的状态坍缩是随机的、不可预测的，不 符合经典观念的因果律的话，那么在本公设中完全规定了状态波函数随空间和时间的变化规 则。这里不存在任何随机的、不可预测的成分。就是说，描述状态的波函数是完全遵循经典 观念下的因果律的。这两方面——态演化的决定论形式和态测量的随机坍缩形式的有机结合 就是微观世界的新的因果律，是 de Broglie 波达到因果律。 5, 量子力学的第五个公设——全同性原理公设将在后面第六章中叙述。 6, 公设应用举例——广义测不准关系推导 假定任意两个非对易的算符Ωˆ 1和Ωˆ 2，可以证明 [ ] ψ ψ 1 ψ 2 1 2 ˆ , ˆ 2 1 (∆ Ω )(∆ Ω ) ≥ Ω Ω (1.20) 这里记 Ω = ∫ Ω ∗ dr v ψ ψ ψ 1 1 ˆ ˆ 为Ωˆ 1在态ψ 中的平均值，而 ψ ψ ψ 2 1 1 1 ) ˆ ˆ (∆ Ω ) = (Ω − Ω 是力学量Ω1对应的算符Ωˆ 1在态ψ 中的方均根偏差。 证：令 A I ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ψ = Ω − Ω ， B I ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 ψ = Ω − Ω I ˆ 为单位算符，于是 ∫ ∗ ∆ Ω = Ω − Ω = A = A dr v ψ ψ ψ ψ ψ ψ 2 2 2 1 1 2 1 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ) ( 2 ˆ ˆ ) ˆ = (Aψ ⋅ Aψdr ≡ Aψ ∫ ∗ v 这里 Aˆψ 是态 Aˆψ 的模长。同样有 (∆ψΩ2 ) = Bˆψ 注意到[ ] [A B]ˆ , ˆ ˆ , ˆ Ω1 Ω2 = ，所以只需证明 [ ] ψ Bψ Aψ A Bˆ ,ˆ 2 1 ˆ ˆ ⋅ ≥ 即可。根据 Schwarz 不等式， ψ ϕ ≤ ψ ⋅ ϕ = ψ ⋅ ϕ ∫ ∫ ∫ ∗ r r dr r dr r dr v v v v 2 v v 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) 我们有 ∫ ∫ ∗ ∗ A ⋅ B ≥ A B dr = AB dr v v ˆψ ˆψ ( ˆψ) ( ˆψ) ψ ˆ ˆψ 利用恒等式 AB [A B] [A B]ˆ ,ˆ 2 1 ˆ ,ˆ 2 1 ˆ ˆ = + + 这里[A Bˆ] AˆBˆ BˆAˆ ,ˆ + = + 是两个算符的反对易子。于是
(△921(△g2)2v( 等式右边包含反对易子的第一项为实的(取厄米不变),第二项为纯虚的(取厄米将反号)。但 对任何实数值a和b,总应有如+b=√+ 于是得 (△.921)△92)≥ 2wl BI ar) +wLi.Bbrar'") DIwla, Bydr y 这个不等式说明,如果两个算符彼此不对易,在任何态中都不可能同时测得它们的准确值, 它们没有共同的本征态。并且,它们的量子涨落(测得值的均方根偏差)应当满足这一不等式。 作为特例,可得Ax:4p2≥。同时,值得注意的是,在这个广义测不准关系(包括海森堡 测不准关系)的推导中,只用到了前三个公设,并未用到 Schrodinger方程公设,说明此关系 和状态进行怎样的动力学演化无关,而是植根于微观粒子基本秉性 波粒二象性和量子 测量理论之上的
[ ] [ ] ∫ ∆ Ω ∆ Ω ≥ + + ∗ A B A B dr v ψ ψ ψ ˆ, ˆ )ψ 2 1 ˆ ,ˆ 2 1 ( )( ) ( 1 2 等式右边包含反对易子的第一项为实的(取厄米不变)，第二项为纯虚的(取厄米将反号)。但 对任何实数值 a 和b ，总应有 2 2 a + ib = a + b ， 于是得 [ ] [ ] 1/ 2 2 2 1 2 ˆ , ˆ ˆ , ˆ 2 1 ( )( ) ∆ Ω ∆ Ω ≥ + ∫ ∫ ∗ + ∗ A B dr A B dr v v ψ ψ ψ ψ ψ ψ [ ] ∫ ∗ ≥ A B dr v ψ ˆ, ˆ ψ 2 1 [ ] = ∫ Ω Ω ∗ dr v ψ ˆ 1 , ˆ 2 ψ 2 1 这个不等式说明，如果两个算符彼此不对易，在任何态中都不可能同时测得它们的准确值， 它们没有共同的本征态。并且，它们的量子涨落(测得值的均方根偏差)应当满足这一不等式。 作为特例，可得 2 h ∆x ⋅ ∆px ≥ 。同时，值得注意的是，在这个广义测不准关系(包括海森堡 测不准关系)的推导中，只用到了前三个公设，并未用到 Schrödinger 方程公设，说明此关系 和状态进行怎样的动力学演化无关，而是植根于微观粒子基本秉性 —— 波粒二象性和量子 测量理论之上的