首先,应当强调指出,上面这两个关系不仅对大量相同微观粒子相同实验的所谓量子系 综是统计正确的,而且也有不少主张认为它对单个微观粒子的单次实验也是正确的。 比如拿AE·Mt≈h来说。设想一个用光辐照原子使原子激发的实验。这里光的照射只 持续一个短时间r,尽管在这个短时间r内它的振荡频率是O。于是这个光束可记为 0(0e(r-te 0.t<0 这里(1)= 无论从经典还是量子的观点,若作频谱分析,这束光都不是频率为 1,t>0 的单色光:经典观点,将它作傅立叶频谱展开,由于τ不是无穷大,频谱将有一个宽度,是 个非单色光;量子观点看,这是一束非单色光子的集合,它们的能量以hO为中心有一个展 宽。这样一東非单色光子集合入射到大量原子上,并不如通常那样将原子一个个激发到高于 基态o(假定这个激发态以及其附近的激发态均存在)的激发态上,从而退激时发出锐细的 频率v=的光谱,而是被激发到以上面这个激发态为中心的各种激发态,退激时发出一 定宽度的谱线。实验结果正是这样。并且实验还指出,只当上面这个照射时间持续很长情况 下,退激发时原子所发出的谱线才是o。这里,对此公式作单个解释和统计解释都不困难 然而下面的例子就只能用单个解释,并且意味着:在时间量级A、h 上,经典能量 守恒定律的ΔE量级的破坏是可能的。例子是,近代关于核力的概念可以形象表述如下。 n和P仿佛两个相向滑冰的运动员。当n划到x1处时,向P抛去一个球(虚介子),同时 在离开P的方向上受一反冲。P在x2处接到抛来的球,也产生了另一个方向的要离开n的 反冲。假定我们只能看见这两个运动员而看不见球,那我们一定觉得在A与B之间存在着 某种斥力。n和p之间抛接小球的最大距离便是这种斥力的力程。n和P之间的距离若大于 这个力程,n和P之间的这种斥力便可以忽略。如果之间是吸引力,可以设想在它们之间抛 接飞去来器(虚介子)。就是说,n在x1处向背着(不再是朝向)P的方向抛出飞去来器,它飞 向P并绕圈后被p接受。于是,当抛接的是光子,两粒子间的作用力便是电磁力。抛出和 接受光子的能力便是电荷。质子和中子之间抛接的是x介子,表现出的便是介子场论中的核 力的图象。现在的问题是,在一个核内,某对核子之间所抛接的丌介子,原先并不存在,是 从“无”中生出来的。这就以为着在△E=mC2数量上破坏了经典意义下的能量守恒定律。 但是,按测不准关系,只要这个x介子存在的时间(从抛出到接受,即从产生到吸
首先，应当强调指出，上面这两个关系不仅对大量相同微观粒子相同实验的所谓量子系 综是统计正确的，而且也有不少主张认为它对单个微观粒子的单次实验也是正确的。 比如拿 ∆ ∆ E ⋅ t ≈ h 来说。设想一个用光辐照原子使原子激发的实验。这里光的照射只 持续一个短时间τ ，尽管在这个短时间τ 内它的振荡频率是ω 。于是这个光束可记为 θ θ τ ω ( )t t ( ) i t − e 这里θ( ) 。无论从经典还是量子的观点，若作频谱分析，这束光都不是频率为 , , t t t = < > 0 0 1 0 ω 的单色光：经典观点，将它作傅立叶频谱展开，由于τ 不是无穷大，频谱将有一个宽度，是 个非单色光；量子观点看，这是一束非单色光子的集合，它们的能量以hω 为中心有一个展 宽。这样一束非单色光子集合入射到大量原子上，并不如通常那样将原子一个个激发到高于 基态hω (假定这个激发态以及其附近的激发态均存在)的激发态上，从而退激时发出锐细的 频率ν ω π = 2 的光谱，而是被激发到以上面这个激发态为中心的各种激发态，退激时发出一 定宽度的谱线。实验结果正是这样。并且实验还指出，只当上面这个照射时间持续很长情况 下，退激发时原子所发出的谱线才是hω 。这里，对此公式作单个解释和统计解释都不困难。 然而下面的例子就只能用单个解释，并且意味着：在时间量级 ∆ ∆ t E ~ h 上，经典能量 守恒定律的 ∆E 量级的破坏是可能的。例子是，近代关于核力的概念可以形象表述如下。 n 和 p 仿佛两个相向滑冰的运动员。当n 划到 x1 处时，向 p 抛去一个球(虚介子)，同时 在离开 p 的方向上受一反冲。 p 在 处接到抛来的球，也产生了另一个方向的要离开 的 反冲。假定我们只能看见这两个运动员而看不见球，那我们一定觉得在 与 x2 n A B 之间存在着 某种斥力。n 和 p 之间抛接小球的最大距离便是这种斥力的力程。n 和 p 之间的距离若大于 这个力程，n 和 p 之间的这种斥力便可以忽略。如果之间是吸引力，可以设想在它们之间抛 接飞去来器(虚介子)。就是说，n 在 x 处向背着(不再是朝向) 1 p 的方向抛出飞去来器，它飞 向 p 并绕圈后被 p 接受。于是，当抛接的是光子，两粒子间的作用力便是电磁力。抛出和 接受光子的能力便是电荷。质子和中子之间抛接的是π 介子，表现出的便是介子场论中的核 力的图象。现在的问题是，在一个核内，某对核子之间所抛接的π 介子，原先并不存在，是 从“无”中生出来的。这就以为着在 数量上破坏了经典意义下的能量守恒定律。 但是，按测不准关系，只要这个 ∆E mµ = c 2 π 介子存在的时间(从抛出到接受，即从产生到吸
收)ML=△Ema 就是可以的°。可以如下估计核力的力程(或由核力的力程估计x子的 质量)。设丌介子以近于光速c从一个核子向另一个核子飞行,则 实际上,这个力程就是丌介子的康普顿波长。由此可知,丌介子质量越大,由之产生的力 程就越短。代入rh≈15×10-1cm,可得mc2≈132Me。当然,这种图象是简化了 的,实际上,在核子之间抛接的不仅是x介子,而且也不止就抛接一个x介子。毫无疑问 的是,丌介子是其中最轻的,因而承当了核力中的较长程的部分 另一个需要讨论的问题是,由于粒子的位置和动量不能同时测准,因此在量子理论中不 存在经典物理中常用的粒子轨道的概念。这是因为,经典的轨道概念是以粒子的位置和动量 能同时定准为前提的。 最后,讨论一下这两个测不准关系的某些应用 能量尺度与空间尺度的关联。原 子尺度为A~10-8cm h2c2(658×10-2Mes)2×(3 2m. mci 2×0.511Me×(10-cm) 38e~A 原子尺度A~10e 原子核尺度为10-13cm h2c2 (1973×10-Mel.cm) 2mn2mc2(33Ferm)22×940Me(33×103cm)2 =2..fErm 原子核尺度33 Fermi~20MeV 10-16cm 弱电统一时的高能物理尺度10-6cm:这时粒子已很接近光速,所以Mt≈ 有 hc1973×10-MeV.cm AE≈△p·c= 102Ge 高能物理的尺度106cm~102Ge (弱电统一的尺度10-15cm~10e 二,前面我们已经严格证明了对任一 de broglie波包,有 △x·△D≥ 早在1926年,薛定格就已构造了所谓“最小不准确度波包”,现在通常称之为波色子的相 干态。这个波包其实是一个高斯波包(由于在数学上,高斯型波包的傅立叶变换仍为高斯型 所以它的动量展开也是一个高斯波包),随时间的演化也仍保持为是一个高斯波包。这个“最 R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 1980, P.253
收) ∆ ∆ t E m c ≈ = h h µ 2 就是可以的a 。可以如下估计核力的力程(或由核力的力程估计π 子的 质量)。设π 介子以近于光速c 从一个核子向另一个核子飞行，则 ≈ ≈ 10 o ~ 2 2 D ~ o 原子尺度 V 2 2 2 3 h ( . eV . ~ − 原子核尺度 ∆ ∆ E p 10 15 cm r c t m c 核力 ∆ h µ 。 实际上，这个力程就是π 介子的康普顿波长。由此可知，π 介子质量越大，由之产生的力 程就越短。代入 ，可得 。当然，这种图象是简化了 的，实际上，在核子之间抛接的不仅是 r c 核力 ≈ × −13 m m cµ V 2 15. ≈ 132 Me π 介子，而且也不止就抛接一个π 介子。毫无疑问 的是，π 介子是其中最轻的，因而承当了核力中的较长程的部分。 另一个需要讨论的问题是，由于粒子的位置和动量不能同时测准，因此在量子理论中不 存在经典物理中常用的粒子轨道的概念。这是因为，经典的轨道概念是以粒子的位置和动量 能同时定准为前提的。 最后，讨论一下这两个测不准关系的某些应用。第一，能量尺度与空间尺度的关联。原 子尺度为 A c 10−8 m： p m c m c MeV s cm s e e MeV cm 2 2 2 22 2 10 2 8 2 2 2 658 10 3 10 2 0511 10 ≈ = × ⋅ × × × × − − h ( . ) ( / ) . ( ) = 38. eV A ∴ A e o ~ 10 原子核尺度为10 ： −13 cm p m c m c Fermi MeV cm n n MeV cm 2 2 2 11 2 13 2 2 3 1973 10 2 940 33 10 ≈ = × ⋅ × ⋅ × − − ) ( . ) ( . ) = 2 0. M ~ 3.3Fermi 3 3Fermi 2.0MeV 弱电统一时的高能物理尺度10 ：这时粒子已很接近光速，所以 16 cm ∆t cm c ≈ − 10 16 ，有 ∆ c c x MeV cm cm ≈ ⋅ = = × ⋅ × − − h 2 1973 10 2 10 11 16 . ≈ 2 GeV 高能物理的尺度 弱电统一的尺度 10 10 10 10 16 2 1 − − GeV cm GeV ~ ( ~ ) 第二，前面我们已经严格证明了对任一 de Broglie 波包，有 ∆ ∆ x px ⋅ ≥ h 2 早在 1926 年，薛定格就已构造了所谓“最小不准确度波包”，现在通常称之为波色子的相 干态。这个波包其实是一个高斯波包(由于在数学上，高斯型波包的傅立叶变换仍为高斯型， 所以它的动量展开也是一个高斯波包)，随时间的演化也仍保持为是一个高斯波包。这个“最 a R.Shankar，Principles of Quantum Mechanics，1980，P.253
小不准确度波包”不仅可以用于自由运动粒子,也可运用于束東缚粒子,得到一些新的相干态 a。关于相干态的问题将在第三章中详细讨论 §14量子力学的基本假设 上面讲述了导致量子力学诞生并构成它的实验基础的一些实验事实,以及由这些实验事 实所抽引出的一些基本观念。这些基本观念构成了量子力学的基础,体现了量子力学最本质 的特征。遵循这些基本观念,利用公设加逻辑的公认科学体系,便能构筑起整个量子力学框 架。全部量子力学的理论基础可以归纳为5个公设,下面简要阐述一下量子力学的这 些基本假设 若进行逻辑的归纳,非相对论量子力学是建立在五条基本假设或称为公设之上。当然 如同任何科学理论那样,作为公设和整个理论出发点的这些基本假设分别都是许多实验经验 (以及这些实验经验所揭示的基本观念)的概括。这些假设是在量子力学建立的过程中和建立 之后才归纳抽象出来的 1,第一公设称为波函数公设 “一个微观粒子体系的状态,用一个波函数y(x,1)来完全描述,它是粒子的坐标和时 间的函数,而且在v(x,1)的分布区域d中找到粒子的几率由 表示,这里v为v的复数共轭。从而,v(x,1)在其分布区域中必须处处单值、连续、可 微(除个别点、线、面之外),对此区域的任意部分都是平方可积的。” 这个波函数公设可细分为三点内容:状态由波函数表示、波函数的几率解释以及随 之而来的对v(x)函数的数学要求。v称为几率密度 比如,经典物理中匀速直线运动的自由粒子,对应有量子理论中的动量为确定值的微观 粒子,完全描述其状态的波函数是平面 de broglie波 y(r, t=Ae h 这里A为某个常数。确切些说,这个波函数描述了动量值为p的无尽的粒子流,在这个束 流中每单位体积内平均有Wv=|42个粒子存在。因此,最好不用它去代表一个(动量为定 值的)粒子的波函数。因为如果这样,那在全空间肯定总能找到这个粒子,也就是存在如下 归一化条件 由于积分发散,指数前面的归一化系数趋于零。物理上这当然是合理的,因为这时在任意地 方的单位体积里找到这一个粒子的几率几乎是零。这导致无法写出波函数的后果。所以,代 表一个粒子,最好不用平面波,而用某种波包,一个展布在有限区域,从而模平方积分收 aJ. R Klauder, Bo-Sture Skagerstam, "A Coherent State Primer", P. 58 b当然,如果引入δ-函数,将平面波归一化成为O函数,在数学运算上也是通的。并且实际大多数情况也 是这样做的。所以,这里的说法并不意味着放弃使用平面波。事实上,由于它的理想化和简单,将给数学 描述(例如在散射理论中)带来简化。而它所带来的问题可以用一些办法予以补救
小不准确度波包”不仅可以用于自由运动粒子，也可运用于束缚粒子，得到一些新的相干态 a 。关于相干态的问题将在第三章中详细讨论。 §1.4 量子力学的基本假设 上面讲述了导致量子力学诞生并构成它的实验基础的一些实验事实，以及由这些实验事 实所抽引出的一些基本观念。这些基本观念构成了量子力学的基础，体现了量子力学最本质 的特征。遵循这些基本观念，利用公设加逻辑的公认科学体系，便能构筑起整个量子力学框 架。全部量子力学的理论基础可以归纳为 5 个公设，下面简要阐述一下量子力学的这 些基本假设。 若进行逻辑的归纳，非相对论量子力学是建立在五条基本假设或称为公设之上。当然， 如同任何科学理论那样，作为公设和整个理论出发点的这些基本假设分别都是许多实验经验 (以及这些实验经验所揭示的基本观念)的概括。这些假设是在量子力学建立的过程中和建立 之后才归纳抽象出来的。 1, [第一公设称为波函数公设] “一个微观粒子体系的状态，用一个波函数ψ( , ) v x t 来完全描述，它是粒子的坐标和时 间的函数，而且在ψ( , ) v x t 的分布区域dV 中找到粒子的几率由 dP = ⋅ dV ∗ ψ ψ v 表示，这里ψ 为∗ ψ 的复数共轭。从而，ψ( , x t) 在其分布区域中必须处处单值、连续、可 微(除个别点、线、面之外)，对此区域的任意部分都是平方可积的。” 这个波函数公设可细分为三点内容：状态由波函数表示、波函数的几率解释以及随 之而来的对ψ(x) 函数的数学要求。 ψ 2 称为几率密度。 比如，经典物理中匀速直线运动的自由粒子，对应有量子理论中的动量为确定值的微观 粒子，完全描述其状态的波函数是平面 de Broglie 波 ψ ( , ) v ( ) h v v r t Ae i p r Et = ⋅ − 这里 A为某个常数。确切些说，这个波函数描述了动量值为 v p 的无尽的粒子流，在这个束 流中每单位体积内平均有ψ ψ∗ = A 2 个粒子存在。因此，最好不用它去代表一个(动量为定 值的)粒子的波函数。因为如果这样，那在全空间肯定总能找到这个粒子，也就是存在如下 归一化条件 ψ( ) v rt dV 2 1 ∫全空间 = 由于积分发散，指数前面的归一化系数趋于零。物理上这当然是合理的，因为这时在任意地 方的单位体积里找到这一个粒子的几率几乎是零。这导致无法写出波函数的后果。所以，代 表一个粒子，最好不用平面波b ，而用某种波包，一个展布在有限区域，从而模平方积分收 a J.R.Klauder，Bo-Sture Skagerstam，“A Coherent State Primer”，P.58。 b 当然，如果引入δ -函数，将平面波归一化成为δ 函数，在数学运算上也是通的。并且实际大多数情况也 是这样做的。所以，这里的说法并不意味着放弃使用平面波。事实上，由于它的理想化和简单，将给数学 描述(例如在散射理论中)带来简化。而它所带来的问题可以用一些办法予以补救
敛,可归一化的波函数。这里强调指出,从实验测量的观点,只要求V(F)2a处处单值、 连续、有限,或写为 mw(ro=单值、有限 这里[M门表示被测点M附近任意小但有限的小体积。这是因为,任何测量粒子位置的实验, 无论其精确度多髙,也不能精确到一个几何点,所以测量精度使得测定的区域虽然很小但总 为有限。这样,实验测量几率值必须单值有限这一要求就体现为上述积分等式。这里并没有 要求/(F)本身处处有限。“v(F,)处处有限”的要求其实是人为主观的要求。比如 就球坐标原点附近这一情况而言,实验测量只要求到 vr2d=单值、有限 就是说,按实验测量的观点,波函数v(F,1)在r=0点可以发散,只要它的发散满足下面 边界条件 (P)-∞应慢于 这就是从测量观点出发所得的物理要求。这个问题在第四章中还将谈到。 2,[第二公设称为算符公设 “所有力学量(可观察的物理量)均分别以线性厄米算符表示。这些算符作用于态的波 函数。在这种由力学量A到算符A的众多对应规则中,基本的规则是坐标x和动量P向它 们算符x、p的对应。这个对应要求 这里需要解释几点。第一,线性算符是指 A(C,V1+C,W)=CAV,+C,A (1.14) 这里G1、c2一般为复常数。第二,一个算符A的厄米共轭算符A*由下面内积定义 (A,D =(o, Ay) (1.15) 当A=A时称A为自共轭算符,或称为厄米算符。上式又可写为 (, A 因为内积(y)用波函数积分表示即为(,y)=J'(P)(),于是上式又可写为波函 数积分形式 ∫v()xolb-[Jo)vo)t-orxav)yd 这里*表示取复数共轭。如算符A是厄米的,则应有 (F)Ap(r)dr=o(F)Ay(r)dr 当然,上面表述中的φ和ψ均属于某一类函数(参见后面叙述)。第三,可以证明,厄米算符 的本征值均为实数,且对应于不同本征值的本征函数是正交的。因为,设v1(F)和v2(F)分 别是厄米算符A的对应本征值为a1和a2的本征函数,即 Av1(F)=a11(F),Av2(F)=a2V2(F) 对这两个方程分别左乘以v2(F)和v(F)并积分,得 ∫v)v(=a1∫vWy(F)F
敛，可归一化的波函数。这里强调指出，从实验测量的观点，只要求 ψ( ) v rt dV 2 处处单值、 连续、有限，或写为 ψ( ) [ ] v rt dV M 2 ∫ = 单值、有限 这里[ M] 表示被测点 M 附近任意小但有限的小体积。这是因为，任何测量粒子位置的实验， 无论其精确度多高，也不能精确到一个几何点，所以测量精度使得测定的区域虽然很小但总 为有限。这样，实验测量几率值必须单值有限这一要求就体现为上述积分等式。这里并没有 要求 ψ( ) v rt 2 本身处处有限。“ψ( , ) v r t 处处有限”的要求其实是人为主观的要求。比如， 就球坐标原点附近这一情况而言，实验测量只要求到 ψ 2 2 0 r dr ∫r= = 附近任意有限区间 单值、有限 v 就是说，按实验测量的观点，波函数ψ( , r t) 在r = 0 点可以发散，只要它的发散满足下面 边界条件 ψ( ) v rt → r → ∞ 0 应慢于r −3 2/ 这就是从测量观点出发所得的物理要求。这个问题在第四章中还将谈到。 2, [第二公设称为算符公设] “所有力学量(可观察的物理量)均分别以线性厄米算符表示。这些算符作用于态的波 函数。在这种由力学量 A到算符 A$ 的众多对应规则中，基本的规则是坐标 x 和动量 p 向它 们算符 x$ 、 p$ 的对应。这个对应要求 xp$ $ − px$ $ = ih 。” (1.13) 这里需要解释几点。第一，线性算符是指 $( ) A c $ $ 1 1 ψ ψ + = c2 2 c1Aψ 1 + c2 Aψ 2 A A$ (1.14) 这里c1 、c2 一般为复常数。第二，一个算符 A$ 的厄米共轭算符 A$ 由下面内积定义 + ( $ , ) ( , $ A ) + ϕ ψ = ϕ ψ (1.15) 当 A$ 时称 为自共轭算符，或称为厄米算符。上式又可写为 + = A$ ( , $ ) ( , $ ψ ϕ A A ϕ ψ) + ∗ = 因为内积( , ϕ ψ) 用波函数积分表示即为( , ϕ ψ) = ϕ ( )ψ( ) ∗ ∫ v v v r r dr ，于是上式又可写为波函 数积分形式 ψ ϕ [ ϕ ψ ] ϕ ψ ∗ + ∗ ∗ ∗ ∫ ∫ ∫ ( ) = = $ ( ) ( ) $ ( ) ( )( $ ( )) v v v v v v v v r A r dr r A r dr r A r dr v 这里∗表示取复数共轭。如算符 A$ 是厄米的，则应有 ψ ϕ [ ϕ ψ ] ∗ ∗ ∗ ∫ ∫ ( ) = $ ( ) ( ) $ ( ) v v v v v v r A r dr r A r dr 当然，上面表述中的ϕ 和ψ 均属于某一类函数(参见后面叙述)。第三，可以证明，厄米算符 的本征值均为实数，且对应于不同本征值的本征函数是正交的。因为，设ψ 1 ( ) v r 和ψ 2 ( ) v r 分 别是厄米算符 A$ 的对应本征值为a1 和a2 的本征函数，即 $ A r ψ ψ ( ) a (r) 1 1 1 v v = ， $ A r ψ ψ ( ) a (r) 2 2 2 v v = v v 对这两个方程分别左乘以ψ 2 和 ∗ (r) ψ 1 ∗ (r) 并积分，得 ψ ψ 2 1 1 ψ 2 ψ 1 ∗ ∗ ∫ ∫ ( ) = $ ( ) ( ) ( ) v v v v v v r A r dr a r r dr
∫v()vb=a」ww2G 另一方面,由A的厄米性可得 ∫v()w(=-[v()av( 将上面两个等式代入此式,得 (a1-a2)v()w1(F)=0 如果取v()为(),则由于w1()≠0,可得a1=a,即a1是实数:如果 a1≠a2,这导致 ∫vw1(F)bF=0 就是说,分属于不同本征值的v1(P)和v2(F)是互为正交的。第四,一般而言,一个厄米 算子的本征函数族并不一定是完备的。我们把那些本征函数族是完备的(这里,完备性定义 是可以对任一波函数——指定类型中的任意函数作展开)厄米算符所对应的力学量称为可观 测的力学量。这样说的详细解释参见公设三。第五,本公设中从力学量到厄米算符的对应, 以及和戶的对易子可如下理解。按(F)的几率解释,坐标算符的平均值应为 的=1(F)dJ) w)d∫w() 可以看到,由于状态波函数ψ用坐标F来描述,坐标算符尸可直接就取为F°。这时,p的 表示式又如何呢?以对应确定动量值P的一维 de broglie平面波波函数为例,它是动量算子 的本征函数,其本征值为P。对之写出本征方程,为 pe 可以看出,p算子的表达式可取成 可以证明,如果一个线性算符Ω能满足某一多项式为零的方程 这里a1……,an为常系数,则Ω的本征函数族是完备的。参见狄拉克,量子力学原理,第二章 b这里预先指出,定态的一维薛定格方程(包括它在任意中心场下的径向分离方程)可归入 Sturm-Liouville型 方程。它的本征函数的完备性能严格证明。见钱敏、郭敦仁译,柯朗、希伯特著“数学物理方法(①”,科 学出版社,1958年,第328、262、225页。或见吴大猷著“量子力学(甲部)”,科学出版社,1984年,第 86页。从而可以说,就一维这一特殊情况来说,可以严格证明,系统的能量是可观测量。但是,对一般系 统,能量是否为可观测量,也即其本征态是否为完备集,这种证明已超出现有的数学能力,只能是个假设。 这参见陈咸亨译,狄拉克著“量子力学原理”,科学出版社,1965年,第36页。也参见§22相应注记。 °由于v(F)并非是F的本征函数,从而无法对之写出本征方程。但若把O(F-6)作为某种实际的、十 分局域于石点的粒子波函数的理想化表示,则可对它写出坐标算符F的本征方程如下 F6(F-)=D(F-F)
ψ ψ 1 2 2 ψ 1 ψ 2 ∗ ∗ ∫ ∫ ( ) = $ ( ) ( ) ( ) v v v v v v r A r dr a r r dr 另一方面，由 A$ 的厄米性可得 ψ ψ 2 1 [ ψ 1 ψ 2 ] ∗ ∗ ∗ ∫ ∫ ( ) = $ ( ) ( ) $ ( ) v v v v v r A r dr r A r dr v 将上面两个等式代入此式，得 (a a ) ( ) r ( ) r dr 1 2 − = 2 1 0 ∗ ∗ ∫ψ ψ v v v 如果取ψ 2 ( ) v r 为ψ 1 ( ) v r ，则由于 ψ 1 2 ( ) 0 v v r dr ∫ ≠ ，可得 ，即 是实数；如果 ，这导致 a1 = a∗ 1 a1 a1 ≠ a2 ψ ψ 2 1 0 ∗ ∫ ( ) ( ) = v v v r r dr v v 就是说，分属于不同本征值的ψ 1 (r) 和ψ 2 (r) 是互为正交的。第四，一般而言，一个厄米 算子的本征函数族并不一定是完备的a 。我们把那些本征函数族是完备的(这里，完备性定义 是可以对任一波函数——指定类型中的任意函数作展开)厄米算符所对应的力学量称为可观 测的力学量b 。这样说的详细解释参见公设三。第五，本公设中从力学量到厄米算符的对应， 以及 x$ 和 p$ 的对易子可如下理解。按ψ( ) v r 的几率解释，坐标算符的平均值应为 v v v v v v v v v v v r r r dr r dr r r dr r dr ≡ = ∫ ∫ ∫ ∫ $ ( ) ( ) ( ) ( ) ψ ψ ψ ψ 2 2 2 2 v v 可以看到，由于状态波函数ψ 用坐标r 来描述，坐标算符 $ r 可直接就取为 v r c 。这时， 的 表示式又如何呢？以对应确定动量值 v$ p p 的一维 de Broglie 平面波波函数为例，它是动量算子 的本征函数，其本征值为 p 。对之写出本征方程，为 $ ( ) ( ) pe pe i p x Et i p x Et h h ⋅ − ⋅ − = 可以看出， v p 算子的表达式可取成 v h $ p i d dx = (1.16) = a 可以证明，如果一个线性算符 Ω$ 能满足某一多项式为零的方程 Ω Ω $ $ ...... ， n n + + + n − α α 1 1 0 这里α 1 ,……,α n 为常系数，则 Ω$ 的本征函数族是完备的。参见狄拉克，量子力学原理，第二章。 b 这里预先指出，定态的一维薛定格方程(包括它在任意中心场下的径向分离方程)可归入 Sturm-Liouville 型 方程。它的本征函数的完备性能严格证明。见钱敏、郭敦仁译，柯朗、希伯特著“数学物理方法(I)”，科 学出版社，1958 年，第 328、262、225 页。或见吴大猷著“量子力学(甲部)”，科学出版社，1984 年，第 86 页。从而可以说，就一维这一特殊情况来说，可以严格证明，系统的能量是可观测量。但是，对一般系 统，能量是否为可观测量，也即其本征态是否为完备集，这种证明已超出现有的数学能力，只能是个假设。 这参见陈咸亨译，狄拉克著“量子力学原理”，科学出版社，1965 年，第 36 页。也参见§2.2 相应注记。 c 由于ψ( ) v r 并非是 v$ r 的本征函数，从而无法对之写出本征方程。但若把δ ( ) v v r − r0 作为某种实际的、十 分局域于 点的粒子波函数的理想化表示，则可对它写出坐标算符 v r0 v$ r 的本征方程如下： v v v v v v $ r r δ δ ( ) − = r r ( ) r − r 0 0 0