的)h变小,而是要求所研究的对象(E,p)够大(从而波长A够短),运动所在的空间尺度l够 大,以致于 即可。简言之,可以按普朗克常数方在所研究的问题里是否能忽略,来决定波粒二象性是否 存在,从而决定经典与量子的界线。于是,经典力学只不过是其研究对象的能量、动量以及 运动的区间尺度如此之大,以致于能使h的作用可忽略情况下的力学。 综上所述,不论静止质量为零和不为零的微观物质,都普遍地有波和粒子两重属性,这 两种截然不同的属性通过普朗克常数连结成为 de broglie关系,统一在所有微观物质上。对 初学者而言,波粒二象性是理解微观物质普遍属性的基本图象,也是初学者理解量子力学的 基本图象。 2,波粒二象性的初步分析 然而,这种波粒二象性的基本图象,使初学者常常感到迷惑和不习惯。产生迷惑和不习 惯的原因是他们所学到的、所经历到的物理现象中均可忽略,不存在这种二象性:波就是 纯粹的波,粒子就是道地的粒子。于是,常常会问:电子一会儿象波,一会儿又象粒子,那 它到底是什么?为了回答这种问题,可以打个比方:某个人,在今天早晨遇到某事时笑了, 表现出他的一副笑面孔。但在今天中午碰到某事时却哭了,表现出了哭面孔。由于某人表现 出了这么两付截然不同的面孔,那我们能不能据此发问:他到底是怎样的面孔?!显然,不 应当这样发问,因为它们都是这个人的面孔,而只应当问:他在什么情况下表现为笑面孔 在什么情况下表现为哭面孔?将这种论述平移到电子波粒二象性问题上来。我们可以回答 说:波性和粒子性都是电子的固有属性,当它表现出两种属性的时候,人们不应当问它“到 底”是什么属性,只应当问它在什么条件下表现出类似于经典波的性质,在什么条件下却又 表现出类似经典粒子的性质。电子既不能用纯经典波(波包)来理解,也不能用纯经典粒子来 理解。只能说它有时象经典波,有时又象经典粒子。“象什么”本身的前提就是“不等同”。 归根到底,电子就是电子!这个意义上说,电子的波粒二象性图象,只是我们使用经典的语 言,用经典类比的方法去描述电子这个微观客体时,所必然得到的一种并非十分贴切的图象。 鉴于人们总是习惯地以已有知识和经验去理解和描述新的东西,因此保留波粒二象性的图象 还是有助于初学者的理解和形象思维,只是不要过分地执着和拘泥而己。这里,正如杨氏双 缝实验所启示的,根本性的东西是几率幅,是有关几率幅的计算的理论,而不是借助经典语 言所得出的波粒二象性图象。但为了初学者的方便,本书仍沿用波粒二象性的说法。 3, de broglie波初步分析 对常用的非相对论电子、非相对论中子、光子,它们的 de broglie波长和它们的能量的 关系式为 1226 E 0286 E =1241×104 E
的) h 变小，而是要求所研究的对象( , E p) 够大(从而波长λ 够短)，运动所在的空间尺度 够 大，以致于 l h h λ e λ n λ γ = λ << l 即可。简言之，可以按普朗克常数 在所研究的问题里是否能忽略，来决定波粒二象性是否 存在，从而决定经典与量子的界线。于是，经典力学只不过是其研究对象的能量、动量以及 运动的区间尺度如此之大，以致于能使 的作用可忽略情况下的力学。 综上所述，不论静止质量为零和不为零的微观物质，都普遍地有波和粒子两重属性，这 两种截然不同的属性通过普朗克常数连结成为 de Broglie 关系，统一在所有微观物质上。对 初学者而言，波粒二象性是理解微观物质普遍属性的基本图象，也是初学者理解量子力学的 基本图象。 2, 波粒二象性的初步分析 然而，这种波粒二象性的基本图象，使初学者常常感到迷惑和不习惯。产生迷惑和不习 惯的原因是他们所学到的、所经历到的物理现象中 均可忽略，不存在这种二象性：波就是 纯粹的波，粒子就是道地的粒子。于是，常常会问:电子一会儿象波，一会儿又象粒子，那 它到底是什么？为了回答这种问题，可以打个比方：某个人，在今天早晨遇到某事时笑了， 表现出他的一副笑面孔。但在今天中午碰到某事时却哭了，表现出了哭面孔。由于某人表现 出了这么两付截然不同的面孔，那我们能不能据此发问：他到底是怎样的面孔？！显然，不 应当这样发问，因为它们都是这个人的面孔，而只应当问：他在什么情况下表现为笑面孔， 在什么情况下表现为哭面孔？将这种论述平移到电子波粒二象性问题上来。我们可以回答 说：波性和粒子性都是电子的固有属性，当它表现出两种属性的时候，人们不应当问它“到 底”是什么属性，只应当问它在什么条件下表现出类似于经典波的性质，在什么条件下却又 表现出类似经典粒子的性质。电子既不能用纯经典波(波包)来理解，也不能用纯经典粒子来 理解。只能说它有时象经典波，有时又象经典粒子。“象什么”本身的前提就是“不等同”。 归根到底，电子就是电子！这个意义上说，电子的波粒二象性图象，只是我们使用经典的语 言，用经典类比的方法去描述电子这个微观客体时，所必然得到的一种并非十分贴切的图象。 鉴于人们总是习惯地以已有知识和经验去理解和描述新的东西，因此保留波粒二象性的图象 还是有助于初学者的理解和形象思维，只是不要过分地执着和拘泥而已。这里，正如杨氏双 缝实验所启示的，根本性的东西是几率幅，是有关几率幅的计算的理论，而不是借助经典语 言所得出的波粒二象性图象。但为了初学者的方便，本书仍沿用波粒二象性的说法。 h 3, de Broglie 波初步分析 对常用的非相对论电子、非相对论中子、光子，它们的 de Broglie 波长和它们的能量的 关系式为 E = 12.26 E = 0.286 1241× 104 . E
这里E(对m≠0的粒子,E为其动能)的单位为eV,A的单位为A 对宏观物体,如上所述,其波动性可以忽略。例如,1克小球,速度v=1米/秒, de broglie 波长为 h 56×10-米 显然,这个尺度和小球本身尺度以及和小球作宏观机械运动的空间尺度相比,完全可以忽略 从而,在研究小球作任何宏观机械运动时,与这个波长相联系的波动性质(也就是与小球运 动相关的量子效应)完全可以忽略。 这里再说一下 de broglie波的群速度和相速度的问题。对m=0和m≠0两种情况,虽 然 de broglie关系相同,但它们的相速度还是有差别的, m≠0:相速度V相=2=2 E m=0:相速度=2=c 就是说,对光子来说,相速度也是c:但对m≠0的粒子来说,相速度不但不等于粒子的运 动速度V,而且大于光速c。但可证明,粒子的 de broglie波波包的群速度等于粒子的运动 速度 de d d(hk) dp dp p2c2+moct=v 据此,以前曾有人主张微观粒子实际上是 de broglie波的某种波包。但进一步考察表明,这 会导致不能接受的结果(比如,电子的 de broglie波包会扩散而电子却是稳定的粒子)而被否 4,波粒二象性的再分析—某些基本推论 由微观粒子具有波粒二象性这一基本图象,派生出三个重要观念:描述的几率观念、能 量取值分立化的量子化现象、测不准关系式。 首先,由微观粒子的波粒二象性,可以导致量子力学的一个重要观念:在描述粒子运动 中的几率幅和几率观念。 按 de broglie关系,和一束匀速直线运动的粒子流相联系的应是一个平面波。它们的经 典形式是(为书写简明,这里只写一维情况) 代入 de broglie关系,便得到和这束粒子流相联系的 de broglie平面波 y(x, i=e 这时,如果定义(x,D)为在x处单位体积内找到这束匀速直线运动粒子的数目,则这种 数目分布是空间均匀的。更一般地,我们来研究如下的 de broglie波波包 v(x,1)=|v(p)e 这里P和E满足如下关系
这里 E (对m ≠ 0 的粒子， E 为其动能)的单位为 eV，λ 的单位为 A。 o 对宏观物体，如上所述，其波动性可以忽略。例如，1 克小球，速度v =1 米/秒，de Broglie 波长为 λ = = × h − mv 6 6 10 31 . 米 显然，这个尺度和小球本身尺度以及和小球作宏观机械运动的空间尺度相比，完全可以忽略。 从而，在研究小球作任何宏观机械运动时，与这个波长相联系的波动性质(也就是与小球运 动相关的量子效应)完全可以忽略。 这里再说一下 de Broglie 波的群速度和相速度的问题。对m = 0 和 两种情况，虽 然 de Broglie 关系相同，但它们的相速度还是有差别的, m ≠ 0 m ≠ 0 ：相速度V k E p c V 相 = = νλ = = ω 2 m = 0 ：相速度 = = ω k c 就是说，对光子来说，相速度也是c ；但对m ≠ 0 的粒子来说，相速度不但不等于粒子的运 动速度V ，而且大于光速 。但可证明，粒子的 de Broglie 波波包的群速度等于粒子的运动 速度 c V d dk d d k dE dp d dp 群 = = = = p c + m c = V ω ( ) ω ( ) h h 2 2 0 2 4 据此，以前曾有人主张微观粒子实际上是 de Broglie 波的某种波包。但进一步考察表明，这 会导致不能接受的结果(比如，电子的 de Broglie 波包会扩散而电子却是稳定的粒子)而被否 定. 4, 波粒二象性的再分析——某些基本推论 由微观粒子具有波粒二象性这一基本图象，派生出三个重要观念：描述的几率观念、能 量取值分立化的量子化现象、测不准关系式。 首先，由微观粒子的波粒二象性，可以导致量子力学的一个重要观念：在描述粒子运动 中的几率幅和几率观念。 按 de Broglie 关系，和一束匀速直线运动的粒子流相联系的应是一个平面波。它们的经 典形式是(为书写简明，这里只写一维情况) e i k( ) x−ωt 代入 de Broglie 关系，便得到和这束粒子流相联系的 de Broglie 平面波 ψ( , ) ( ) x t e i px Et = − h (1.10) 这时，如果定义 ψ( , x t) 2 为在 x 处单位体积内找到这束匀速直线运动粒子的数目，则这种 数目分布是空间均匀的。更一般地，我们来研究如下的 de Broglie 波波包 ψ ψ ( , ) ( ) ( ) x t p e dp i px Et = − ∫ h 这里 p 和 E 满足如下关系 E p c m c 2 2 2 0 2 4 = +
取t=0,于是 de broglie波包成为 v(x)=∫w(p)eφ 这里(x)是粒子在x处的 de broglie波波幅,即几率幅。我们将v(x)理解为在x处附近 单位体积内找到粒子的几率,或说成,粒子取坐标x的几率。而(P)则理解成是粒子取 动量P的几率。 显然,用这样的方式去理解所引入的 de broglie波,是能够统一描述微观粒子波粒二象 性的唯一方法:v(x)本身是波幅,可以叠加并产生干涉,体现微观粒子的波动性;一旦(以 v(x)2几率)在x处被观察到,却又是个完整的粒子形象。但是,我们把这两种从经典物理 学看来)完全不同的禀性用如此方式统一起来描述的时候,已经付出了沉重的代价:放弃了 经典物理学中惯用的拉普拉斯决定论,描述时引入了不确定性,引入了几率观念。显然,为 了做到统一的、兼顾两种属性的描述,这种代价是必须付出的 描述方式上的这种不确定性和微观实验中表现出的不确定性是相对应、相配合的。再拿 电子的杨氏双缝实验为例。假定电子源的强度十分弱,以致可以认为这个实验是用单个电子 次一次地串接着进行的。如果认定某个电子,当它穿过缝屏之后,它到底在接受屏上哪 位置被观测到,无法用实验事先测定,也无法(至少在目前)在理论上以拉普拉斯决定论方式 去实现准确预计。当这个电子穿过缝屏时,它的动量和穿缝之前相比究竞有多少改变,实验 上也无法事先确定,并且理论上也无法以拉普拉斯决定论的方式事先计算。单个电子在穿过 狭缝时的状态突变、电子在接受屏上被测到时的状态突变都是一种深邃的、事先无法预计的、 不可逆转的变化。只有大量的同种类型的突变所表现出的统计规律才是可以事先了解和准确 预计的。实验中表现出来的这种不定性,也迫使我们采用几率幅、几率的观念。或者说,实 验中表现出来的这种不定性,正是电子既是波又是粒子、既不是波又不是粒子的结果。于是, 以电子杨氏双缝实验为例,在接受屏上x处观测到电子(表现出粒子的面貌)的几率P(x)是 该处 de broglie波波场振幅的模方,而该处的振幅又是由(作为波源的)两条缝传播过来的波 幅的叠加,所以 P(x)=|y1(x)+v2(x)2=P(x)+P(x)+2Rev1(x)w2(x) 可以看到,上面这种带有“不定性”的描述方法,不仅能以统一的方式描述电子的波粒两种 属性,而且和带有“不定性”的双缝衍射实验紧密配合。 对于这些不定性,即,实验中突变的不定性和波函数几率描述中的不定性,存在两种观 点。其一,实验中的突变的不定性,并非是我们实验方法、实验仪器的不完善造成的,而是 微观客体固有的,它不能靠改进实验方法提高实验精度来消除。正由于存在这种客观的、固 有的不定性,我们现有的包含与之相匹配的不定性的描述是完备的,并非理论描述方式上的 先天不足。就是说,量子力学描述中的几率观念并不说明描述方式的不完备,而是客观现象 本就如此。所谓的未知的“隐变数”是不存在的。量子力学现有的描述方式是完备的。其二 这些不定性的存在说明我们对微观世界事物了解上的不完备。实验测量中的不定性固然说明 了实验方法上的局限性,描述方法中的不定性更说明描述方法的不完备、说明隐变数的存在 尚未被量子力学包括入描述方法中去。长期以来这两种观念争论不休。值得指出的是,到目 前为止,实验事实仍然不支持隐变数的存在,而支持量子力学的描述是完备的。但有鉴于
取t = 0 ，于是 de Broglie 波包成为 ψ ψ ( ) x ( p)e i px = ∫ h dp 这里ψ(x) 是粒子在 x 处的 de Broglie 波波幅，即几率幅。我们将 ψ( ) x 2 理解为在 x 处附近 单位体积内找到粒子的几率，或说成，粒子取坐标 x 的几率。而 ψ( ) p 2 则理解成是粒子取 动量 p 的几率。 显然，用这样的方式去理解所引入的 de Broglie 波，是能够统一描述微观粒子波粒二象 性的唯一方法：ψ(x) 本身是波幅，可以叠加并产生干涉，体现微观粒子的波动性；一旦(以 ψ( ) x 2 几率)在 x 处被观察到，却又是个完整的粒子形象。但是，我们把这两种(从经典物理 学看来)完全不同的禀性用如此方式统一起来描述的时候，已经付出了沉重的代价：放弃了 经典物理学中惯用的拉普拉斯决定论，描述时引入了不确定性，引入了几率观念。显然，为 了做到统一的、兼顾两种属性的描述，这种代价是必须付出的。 描述方式上的这种不确定性和微观实验中表现出的不确定性是相对应、相配合的。再拿 电子的杨氏双缝实验为例。假定电子源的强度十分弱，以致可以认为这个实验是用单个电子 一次一次地串接着进行的。如果认定某个电子，当它穿过缝屏之后，它到底在接受屏上哪一 位置被观测到，无法用实验事先测定，也无法(至少在目前)在理论上以拉普拉斯决定论方式 去实现准确预计。当这个电子穿过缝屏时，它的动量和穿缝之前相比究竟有多少改变，实验 上也无法事先确定，并且理论上也无法以拉普拉斯决定论的方式事先计算。单个电子在穿过 狭缝时的状态突变、电子在接受屏上被测到时的状态突变都是一种深邃的、事先无法预计的、 不可逆转的变化。只有大量的同种类型的突变所表现出的统计规律才是可以事先了解和准确 预计的。实验中表现出来的这种不定性，也迫使我们采用几率幅、几率的观念。或者说，实 验中表现出来的这种不定性，正是电子既是波又是粒子、既不是波又不是粒子的结果。于是， 以电子杨氏双缝实验为例，在接受屏上 x 处观测到电子(表现出粒子的面貌)的几率 P(x) 是 该处 de Broglie 波波场振幅的模方，而该处的振幅又是由(作为波源的)两条缝传播过来的波 幅的叠加，所以 P x( ) = + ψ ψ ( x ) ( x ) = P ( ) x + P ( ) x + Re[ψ ( x )ψ ( x )] 1 2 2 1 2 1 2 2 可以看到，上面这种带有“不定性”的描述方法，不仅能以统一的方式描述电子的波粒两种 属性，而且和带有“不定性”的双缝衍射实验紧密配合。 对于这些不定性，即，实验中突变的不定性和波函数几率描述中的不定性，存在两种观 点。其一，实验中的突变的不定性，并非是我们实验方法、实验仪器的不完善造成的，而是 微观客体固有的，它不能靠改进实验方法提高实验精度来消除。正由于存在这种客观的、固 有的不定性，我们现有的包含与之相匹配的不定性的描述是完备的，并非理论描述方式上的 先天不足。就是说，量子力学描述中的几率观念并不说明描述方式的不完备，而是客观现象 本就如此。所谓的未知的“隐变数”是不存在的。量子力学现有的描述方式是完备的。其二， 这些不定性的存在说明我们对微观世界事物了解上的不完备。实验测量中的不定性固然说明 了实验方法上的局限性，描述方法中的不定性更说明描述方法的不完备、说明隐变数的存在 尚未被量子力学包括入描述方法中去。长期以来这两种观念争论不休。值得指出的是，到目 前为止，实验事实仍然不支持隐变数的存在，而支持量子力学的描述是完备的。但有鉴于目
前量子理论存在巨大的困难,因此狄拉克说:“它是到现在为止人们能够给出的最好的理论, 然而不应当认为它能永远地存在下去。我认为很可能在将来的某个时间,我们会得到一个改 进了的量子力学,使其回到决定论,从而证明爱因斯坦的观点是正确的。但是这种重新返回 到决定论,只有以放弃某些基本思想为代价才能办到,而这些基本思想我们现在认为是没有 问题的。如果我们要重新引入决定论的观点,我们就应当以某种方式付出代价,这种方式是 什么,现在还无法推测。”a 其次,看看和微观粒子相联系的波动性质是怎样导致该粒子能量和状态的间断分立或量 子化现象的 这里,即使在经典物理的领域里,也存在一个重要的、普遍的、众所周知的事实。那就 是,对于任意波场,当它们展布或传播在无限空间中时,波参数可以取连续变化的数值:但 是,一旦用任何方式将这些波局限在有限空间的时候,波场所取的波参数必将分立化,它们 的频率和波长均要断续化、分立化。从傅立叶频谱分析的观点来说,任意局域的波均是一个 傅立叶级数,而不是一个傅立叶积分。或者说,任何波动方程其局域解的问题总都是一个本 征值和本征函数的问题°。 转到微观粒子的情况。局域 de broglie波的波动性同样将造成频率和波长的断续性。而 且进一步,频率和波长的这种断续性又通过 de broglie关系转化为该粒子的能量和动量的断 续性。因此,可以说,任何局域化的 de broglie波必将伴随其能量的量子化。这正是粒子的 de broglie波波动性的结果,是局域 de broglie波自相干涉(由边条件反射)的结果。这正是和 经典物理中,从一维琴弦振动、二维鼓膜振动到三维微波腔中电磁波驻波等现象相对应。 最后,考察和微观粒子相联系的波动性质是怎样导致所谓测不准原理的 按照前面所说v(x)和v(P)的物理解释,可以定义一个微观粒子坐标x和动量p(相对 任一选定值x0、P0)的测量均方根偏差 (Ax)2=_(x-xo)"/w(x) dr lv(x)dx (4p)2 (p-p0)2(p)中 v(p) dp 这里,由于ψ(x)和叭(p)是傅立叶变换对,因此根据傅立叶变换的带宽定理°,立即可得 P.A.M. Dirac:物理学的方向,科学出版社,1981年 b对物理中常见的一些波动方程来说,本征值是分立的或是部分分立的。 °傅立叶带宽定理: 若f(x)=1 F(y)"mdy, F(y)=f(x)e-mdx 并定义(△x)2= (x-x0)2(x)x ∫(y-y)F(y)d ∫F()d 这里x0,y为任意固定值,则有
前量子理论存在巨大的困难，因此狄拉克说：“它是到现在为止人们能够给出的最好的理论， 然而不应当认为它能永远地存在下去。我认为很可能在将来的某个时间，我们会得到一个改 进了的量子力学，使其回到决定论，从而证明爱因斯坦的观点是正确的。但是这种重新返回 到决定论，只有以放弃某些基本思想为代价才能办到，而这些基本思想我们现在认为是没有 问题的。如果我们要重新引入决定论的观点，我们就应当以某种方式付出代价，这种方式是 什么，现在还无法推测。”a 其次，看看和微观粒子相联系的波动性质是怎样导致该粒子能量和状态的间断分立或量 子化现象的。 这里，即使在经典物理的领域里，也存在一个重要的、普遍的、众所周知的事实。那就 是，对于任意波场，当它们展布或传播在无限空间中时，波参数可以取连续变化的数值；但 是，一旦用任何方式将这些波局限在有限空间的时候，波场所取的波参数必将分立化，它们 的频率和波长均要断续化、分立化。从傅立叶频谱分析的观点来说，任意局域的波均是一个 傅立叶级数，而不是一个傅立叶积分。或者说，任何波动方程其局域解的问题总都是一个本 征值和本征函数的问题b 。 转到微观粒子的情况。局域 de Broglie 波的波动性同样将造成频率和波长的断续性。而 且进一步，频率和波长的这种断续性又通过 de Broglie 关系转化为该粒子的能量和动量的断 续性。因此，可以说，任何局域化的 de Broglie 波必将伴随其能量的量子化。这正是粒子的 de Broglie 波波动性的结果，是局域 de Broglie 波自相干涉(由边条件反射)的结果。这正是和 经典物理中，从一维琴弦振动、二维鼓膜振动到三维微波腔中电磁波驻波等现象相对应。 最后，考察和微观粒子相联系的波动性质是怎样导致所谓测不准原理的。 按照前面所说ψ(x) 和ψ( p) 的物理解释，可以定义一个微观粒子坐标 x 和动量 p (相对 任一选定值 x0 、 p0 )的测量均方根偏差 ( ) ( ) ( ) ( ) ∆x x x x dx x dx 2 0 2 2 2 = − −∞ +∞ −∞ +∞ ∫ ∫ ψ ψ ( ) ( ) ( ) ( ) ∆p p p p dp p dp 2 0 2 2 2 = − −∞ +∞ −∞ +∞ ∫ ∫ ψ ψ 这里，由于ψ(x) 和ψ( p) 是傅立叶变换对，因此根据傅立叶变换的带宽定理c ，立即可得 a P.A.M. Dirac：物理学的方向，科学出版社，1981 年。 b 对物理中常见的一些波动方程来说，本征值是分立的或是部分分立的。 c 傅立叶带宽定理： 若 f x F y e dy ixy ( ) = ( ) −∞ +∞ ∫ 1 2π ， F y f x e dx ， ixy ( ) = ( ) − −∞ +∞ ∫ 并定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ∆x x x f x dx f x dx 2 0 2 2 2 = − −∞ +∞ −∞ +∞ ∫ ∫ ， ( ) ( ) ( ) ( ) ∆y y y F y dy F y dy 2 0 2 2 2 = − −∞ +∞ −∞ +∞ ∫ ∫ ， 这里 x0 ， y0 为任意固定值，则有
这说明,不论 de broglie波波包形状如何,与之相应粒子的动量均方根偏差与坐标均方根偏 差的乘积不小于一。或者简单地说,微观粒子的坐标和动量是不能同时测准的。这里要强 调指出,这种不能同时测准是原则性的,并非由于实验方案欠周到、实验技术欠精密所带来 的实验误差。这个测不准关系的存在正是根源于微观粒子的波动性,或者准确地说,正是由 于微观粒子的波粒二象性。显然,随着硏究的问题向宏观领域趋近,h的作用逐渐减小,就 从x、P不能同时测准约略成为能同时测“准”了。其实,由上面所用的带宽定理可知,任 何波(弹性波、光波 )均存在类似的关系式。这是对波动过程进行傅立叶分析的基本结 论之一。关于测不准关系问题后面还将专门讨论。 §13测不准关系的讨论 1,应当强调指出,由于测不准关系的物理根源是微观粒子的波动性,因此它是个普遍 成立的关系式。这就是说,在任何普朗克常数h的作用不能忽略的现象里,在任何明显显 波粒二象性的事例中,总之一句话,在任何量子物理实验中,都能分析出这一测不准关系。 前面的关系式还可以改变一下形式。设电子沿x方向运动,由于粒子在x方向的位置有 个不确定,从而用照明光与其散射以确定其位置时,发生散射的时间也就有一个不确定 这里v是散射前粒子的速度。显然,这也是用显微镜观察粒子的观测时间的不确定量。另 方面,粒子的能量E=p,所以和2相应的粒子能量的不确定量为 △E= v, Apx 两者相乘,可得 △E·Mt≈h (1.12) 这里可以将观测时间的不确定量看成是观测的持续时间。于是,测量粒子能量E的不确定 量和对它进行观测的持续时间之间,也存在类似的测不准关系。换句话说,测量过程的分析 表明,为了精确地测量能量(精确度达到ΔE),要求测量所花费的时间至少为 h △E 另外,根据一定时间间隔波包的傅立叶频谱分析,启发我们可以对上面这一关系作另一种解 释:对持续在短时间间隔Δ内的任何不稳定现象,其能量必有一不确定性(或其所含频率必 有一宽度),使两者之间满足上面的关系°。 2,测不准关系的进一步解释及某些应用 对上面这两个测不准关系作一些进一步的解释,并讨论它们的某些应用。 Ax·△ν≥ a这两种解释参见:费米著《量子力学》,西安交通大学出版社,1984年
∆ ∆ x p ⋅ ≥ h 2 (1.11) 这说明，不论 de Broglie 波波包形状如何，与之相应粒子的动量均方根偏差与坐标均方根偏 差的乘积不小于 h 2 。或者简单地说，微观粒子的坐标和动量是不能同时测准的。这里要强 调指出，这种不能同时测准是原则性的，并非由于实验方案欠周到、实验技术欠精密所带来 的实验误差。这个测不准关系的存在正是根源于微观粒子的波动性，或者准确地说，正是由 于微观粒子的波粒二象性。显然，随着研究的问题向宏观领域趋近，h 的作用逐渐减小，就 从 x 、 p 不能同时测准约略成为能同时测“准”了。其实，由上面所用的带宽定理可知，任 何波(弹性波、光波、……)均存在类似的关系式。这是对波动过程进行傅立叶分析的基本结 论之一。关于测不准关系问题后面还将专门讨论。 §1.3 测不准关系的讨论 1, 应当强调指出，由于测不准关系的物理根源是微观粒子的波动性，因此它是个普遍 成立的关系式。这就是说，在任何普朗克常数h 的作用不能忽略的现象里，在任何明显显示 波粒二象性的事例中，总之一句话，在任何量子物理实验中，都能分析出这一测不准关系。 前面的关系式还可以改变一下形式。设电子沿 x 方向运动，由于粒子在 x 方向的位置有 一个不确定，从而用照明光与其散射以确定其位置时，发生散射的时间也就有一个不确定 ∆ ∆ t x vx = 这里 是散射前粒子的速度。显然，这也是用显微镜观察粒子的观测时间的不确定量。另 一方面，粒子的能量 vx E m = px 1 2 2 ，所以和 ∆px 相应的粒子能量的不确定量为 ∆E v = x x ∆p 两者相乘，可得 ∆E ⋅ ∆t ≈ h (1.12) 这里可以将观测时间的不确定量看成是观测的持续时间。于是，测量粒子能量 E 的不确定 量和对它进行观测的持续时间之间，也存在类似的测不准关系。换句话说，测量过程的分析 表明，为了精确地测量能量(精确度达到 ∆E )，要求测量所花费的时间至少为 ∆ ∆ t h E ≈ 另外，根据一定时间间隔波包的傅立叶频谱分析，启发我们可以对上面这一关系作另一种解 释：对持续在短时间间隔 内的任何不稳定现象，其能量必有一不确定性(或其所含频率必 有一宽度)，使两者之间满足上面的关系 ∆t a 。 2, 测不准关系的进一步解释及某些应用 对上面这两个测不准关系作一些进一步的解释，并讨论它们的某些应用。 ∆ ∆ x y ⋅ ≥ 1 2 。 a 这两种解释参见：费米著《量子力学》，西安交通大学出版社，1984 年