正定矩阵与特征值 定理： 实数对称矩阵A是正定的，当且仅当其所有特征值为正。 证明： (=>)设λ∈R和非零向量满足A=λv,则由正定性， vTAv=λmv>0 又因为vv>0,因此λ>0。 (<=)因为A是实数对称矩阵，可以设A的两两正交的特征向量为 v1,v2,,vn,则任意向量x可以表达成v1,v2,,Vn的线性组合： xTAx=(a1v1+…+ann)TA(a1v1+…+ann) =11a吃+…+na2>0 因此A是正定的。 7
正定矩阵与特征值 定理：实数对称矩阵�是正定的，当且仅当其所有特征值为正。 证明： (=>) 设 � ∈ �和非零向量�满足�� = ��，则由正定性， ���� = ���� > � 又因为��� > �，因此 � > �。 (<=) 因为 � 是实数对称矩阵，可以设 �的两两正交的特征向量为 ��, ��, . . , ��，则任意向量�可以表达成��, ��, . . , �� 的线性组合: �)�� = ���� + ⋯ + ���� �� ���� + ⋯ + ���� = ���� � + ⋯ + ���� � > � 因此 �是正定的。 7
Loewner order 对于同样大小的实数对称矩阵A,B,如果A一 B≥0，也记为A≥B 个充分条件：A的最小特征值也比B的最大特征 值要大（或者一样天） 如果它们拥有同样的特征向量，则每个对应的特 征值都是大于等于的关系 注意：这仅仅是一个偏序(partial order) 8
Loewner order 对于同样大小的实数对称矩阵�, �，如果� − � ≽ 0，也记为� ≽ � 一个充分条件： �的最小特征值也比 �的最大特征 值要大（或者一样大） 如果它们拥有同样的特征向量，则每个对应的特 征值都是大于等于的关系 注意：这仅仅是一个偏序（partial order） 8