第2章静电场中的导体和电介质 2.1如习题2.1图所示的两块大小相同的平行金属板，所带的电量Q1和Q2不 相等，若g>Q,略去边缘效应. (1)证明：相向的两面上电荷的面密度的大小相等而符号相反，相背的两面上 电荷的面密度大小相等而符号相同. (2)计算金属板各面的电量 习题2.1图 解(1)如习题2.1图所示，设金属平行板的4个端面的面电荷密度分别为σ，、 σ2、O、。4·由对称性，可知电场只有垂直于金属平板的分量.此外，金属板内部 电场为零.取柱面为高斯面，其两底分别位于两个金属平板之中，并与板面平行.由 高斯定理，过高斯面的侧面和两底面的电通量均等于零，故高斯面内的总电量为零， σ2+σ？=0，即相向的两面上电荷的面密度的大小相等，符号相反，此外，由场叠加 原理知，左侧金属板中某考察点的电场为4个面电荷电场叠加而成，其中。，位于考 察点左侧，贡献的电场为G/:,、a和。，位于考察点右侧，贡献的电场为 -(C+02+,)18,以至有G-0-G-04=0.考虑到c+G,=0,得a=04,即 相背的两面上电荷的面密度大小相等而符号相同，证毕. (2)由(G,+o2)S=g和(o,+o4)S=2,利用0=o4和o1=-o2,得 oS+o2S=2,+02=0,oS-0,S=01-22=0 解得金属板各面的电量分别为 Q,=24=(g+2)/2,2,=-23=(g-2)/2 2.2如习题2.2图所示，半径为R,的导体球外有同心的导体球壳，壳的内外半 径分别为R2和R3,已知球壳带的电量为Q,内球的电势为零.求内球的电荷量和球 壳的电势. 解内球的电势为零，即内球的电势等于无穷远处的电势.由此得知，内球上 必定带有电荷，否则它的电势不可能为零.设内球上的电荷量为9，由对称性可知
第2章静电场中的导体和电介质 ·21 电场只有径向分量，只与径向距离”有关.从高斯定理出发，取高斯面为与内球同 心的球面，容易求得各区电场强度如下： EC<R)=0,E(R<r<R,)=4G7 E(R<r<R)=0,EG>R)=9+O 4π￡.1 内球的电势为 u-陆品店}品 该电势为零，得 11 RRO 将上式代入球壳的电势表达式，最终求得球壳电势为 U=9+ (R-R)O 4πER4π6(RR3-RR2-R2R) 习题2.2图 2.3一肥皂泡的半径为r,肥皂水的表面张力系数为a,外部空气的压强为P.使 这肥皂泡带上电荷Q后，半径增大为R,证明 (R-)p+4a(R-)=326R 证先回顾一下表面张力及其作用效果.表面张力为液体表面相邻两部分之间 的相互牵引力，方向垂直于分界线并与液面相切：单位长度分界线上的表面张力称 为表面张力系数，其国际制单位为牛顿/米.对于肥皂泡来说，表面张力的作用效果 相当于作用在肥皂泡外表面的压强4a/r,式中a为表面张力系数，r为肥皂泡半径. 下面证明这一结论.为此，考察肥皂泡上一个圆状面元，其半径相对肥皂泡中心的 张角为0，其面积等于π()，周长等于20.作用在它周边的表面张力，其合力 与面元垂直，指向球心.容易算得该合力的大小等于面元周长乘以表面张力系数α
。224 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 再乘以投影因子s0≈0，然后加倍（考虑肥皂泡薄膜两面均有张力，故此加倍）， 最终求得单位面积薄膜外侧所受的压力为 △F_2r8×a×0×2_4a △S π(r82 证毕.下面设带电前肥皂泡内的气体压强为p,则由压力平衡条件得P。=p+4a/r 在肥皂泡带电之后，肥皂泡半径增大至R,设肥皂泡内气体作等温膨胀，则肥皂泡 内的气压减小为户，=P。/R,与此同时，有电场力作用于肥皂泡表面，单位面积所 受的电场力大小为σE”,式中可。=Q/(4πR)为面电荷密度，E为总电场减去受力 面元的贡献，其值等于总电场的一半，即E=G./2￡。·该电场力自内朝外，等效于 作用在肥皂泡内侧的压强： SE-妥n 02 于是，带电后的肥皂泡的内外压力平衡条件化为 ept O R p告划 02 =4aR2+R'p-r3p-r24a=(R3-r3)p+4a(R2-r2) 证毕 24有若干个互相绝缘的不带电的导体A,B,C,它们的电势都是零，如 果使其中任一个导体例如A带上正电，证明： (1)所有这些导体的电势都高于零： (2)其他导体的电势都低于A的电势 证设A导体带正电，无穷远电势为零.先来证明A的电势高于零，即U,>0. 既然A带正电，则肯定有电场线自A发出.这些电场线不能返回A,因为同一根电 场线不允许和某个等势面(A导体表面)相交两次或多次.因此，这些电场线只能 趋向无穷远，或终止于某个导体B.若属于前者，则显然有U,>0:若为后者，则 有U。<U,且由于B不带电，既有电场线为B接收，则必有电场线自B发出.这 样一直追踪下去，总会碰到某个导体，设为C(U。<U。<U,),其发出的电场线不 会有任何导体接收，只能趋向无穷远，即U。>0,从而成立U,>0,证毕 下面证明导体A不会自外部接收电场线.换句话说，A导体表面的电荷密度非 负，不会有任何电场线终止于它.用反证法，设有电场线终止于A的表面.这些电 场线不可能来自A本身，因为同一根电场线不可能与同一个等势面相交两次或多次： 它们也不可能来自无穷远，因为我们已经证明U,>0.因此，这些电场线只能来自
第2章静电场中的导体和电介质 ·23· 某个不带电导体，设为B(U。>U,).因B不带电，它既已经发出电场线，就必然 会从其他不带电导体接收电场线.这样一直追踪下去，总会碰到某个导体，设为C (U。>U。>U,),其接收的电场线无处可来.这说明原假定不成立，即不可能有任 何电场线终止于导体A的表面. 有了以上准备，可接着证明所有不带电导体的电势高于零，但低于U,任何不 带电导体将同时发出电场线和接收电场线，两部分电场线根数相同.由于电场线不 可能终止于带电导体A,则某个不带电导体所发出的电场线只能直接或间接（经由 其他不带电导体)趋向无穷远，故其电势高于零.此外，被不带电导体接收的电场 线，不会来自无穷远，因为这些导体的电势高于零.因此，这些电场线只能直接或 间接（经由其他不带电导体）来自带电导体A,成立U。<U,证毕. 2.5如习题2.5图所示，在金属球A内有两个球形空腔，此金属球整体上不带 电，在两空腔中心各放置一点电荷q和q2,在金属球A之外远处放置一点电荷9(g 至A中心距离r多球A的半径R),计算作用在A、q1,92、9四物体上的静电力. 习题2.5图 解先分析导体A和电荷9之间的相互作用.当r≥R时，导体A及其空腔内 的电荷q1和q2所构成的带电系统，可近似视为点电荷，它与导体A之间的电场力 大小相等，方向相反，结果如下： E=-F,=9g+, 4元E.r 式中，r为球心到g的位矢 再考虑腔内电荷91和q2,它们各自位于球形导体空腔之内.由于静电屏蔽作用， 腔内电场只受腔内电荷及腔内壁感应电荷的影响，腔内电荷所受的力等于相应腔内 壁感应电荷的电场力.由对称性，腔内电荷位于空腔中心，相应腔内壁电荷均匀分 布，从而施加在腔内电荷的电场力等于零.也就是说，腔内电荷9：和92所受电场力 F,=F,:=0.不过，只要腔内电荷相对球腔中心稍有偏离，腔内电荷将受到腔内壁 电荷的电场力，而且该力将使得这种偏移进一步增大，直至该电荷碰到腔内壁为止 因此，位于球腔中心的点电荷虽处于平衡，但不稳定. 2.6 一电容器由三片面积都是6.0©m2的锡箔构成，相邻两箔间的距离都是 0.10mm,外边两箔片连在一起构成为一极，中间箔片作为另一极，如习题2.6图所示
24. 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 (1)求电容C: (2)若在这电容器上加220V的电压，外箔片电势高于中间箔片，问外箔片和 中间箔片上的面电荷密度各是多少？ 习题2.6图 解(1)该电容器等效于两个面积为S-6.0cm2,间距为d0.1mm的平行板电 容器的并联. C=G+G=2G=25-3_2x85x10x6x10-1.06x109国=106pp d 0.1×103 (2)若所加电压为220V,则σd16。=220,外箔片上电荷的面密度为 0=220e/d=220×8.85×102/104=1.95×103(Cm2) 中间箔片的面电荷密度为上述数值两倍反号，即为-3.90×105Cm2 2.7如习题27图所示，一平行板电容器中间插入一厚度为t的导体板，导体 板的面积为电容器极板面积的一半，求插入后的电容值」 ☑旺 习题2.7图 解该电容可以看成是两个电容器串联（插入导体板一侧）之后再和另外一个 电容器的并联.参与串联的两个电容分别为C=6S/(2d,)和C,=6S/(2d,),式中 d+d2=d-t.串联后的电容值等于 CC2 60S/(2d).6S/(2d2) Cc/Q2d )+6SI(2d,)xd+d.)2d-1) 上述电容再与电容C,=cS/(2d)并联，结果为 EoS 6oS 6oS(2d-1) C=C+c,=2d-02a2dd-0 2.8有5个电容器，如习题2.8图所示方式连接，C1=C5=2μF,C2=C3=C4=1uF, 并接到电压为U=600V的电源上，求每个电容器上的电压值」