第1章真空中的静电场 ·15: 推导中用到如下恒等式： m腰±0-m0 对远处(r多1)，利用泰勒展开式 1 仅保留至二级小量，则上述电势表达式化为 +品m任小等w任 U=467, ）.3a2 1+2 3ga2 3g12 4os任+0o{任-0小m0ca0 下面从所得电势表达式出发计算电场（限于面电四极子所在平面） E=-U=-aU。-1a0 9gl sin cos3ql cos20 4πEr 1.19两均匀带电的无限长直轴圆筒，内筒半径为，沿轴线单位长度的电量为 入，外筒半径为b,沿轴线单位长度的电量为-入。，试求： (1)离轴线为r处的电势： (2)两筒的电势差. 解先算电场，再由电场算电势、由对称性可知，电场只有，分量，仅与”有关 取与圆筒共轴、高为h、半径为”的圆柱面S,为高斯面，利用高斯定理可依次求得 各区的电场分布如下： fBdS=2mhE=0→E=0(<am f乐E:dS=2hE=队/6→E=元1(28，)(a≤r≤) fE:dS=2hE=0→E=0(>b) 从所得电场分布出发，取外筒为电势零点位置，求得电势分布如下：
·16 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 (1 in2 r≤a 2r6a1 U=-∫dr= 2π6 0, r≥b 内、外筒之间的电势差为U(a)-U(b)=2n(b/a)/(2πe). 1.20设氢原子处于基态时的核外电荷呈球对称分布，其电荷密度为Pr)= -ge2“1(a),r为离核的距离，q为电子电荷的大小，a是玻尔半径.求在r处， (1)核外电荷产生的电势： (2)所有电荷产生的电势。 解(1)如习题1.20图所示，以氢核O为球心、R和R+R为半径作一球壳， P点到O点的距离为r,考察球壳上的体积元dV=2π2sin 0dRd0,所带电荷量为 dq=p(R)dV =2mp(R)R2 sin OdRd0 d 习题1.20图 它在P点产生的电势为 dU= da 1 p(R)R'sin OdRd0 4π6，VR2+r2-2 Rrcos日28，√R2+r2-2Rcos6 对R和0积分得P点电势 au风ruiR+% U= sin0do 式中积分 1 1 B2) 2 R R>r 代回电势积分表达式得
第1章真空中的静电场 ·17: = 小eR-eR RGoar 4 aa g[1+ea_ 4n6oL ar (2)所有电荷在r处产生的电势为 =+品品品品 本题也可以先求电场再算电势.由习题111的结果 式中，e,是从O指向场点的单位矢量，由此得 所有电荷在”处产生的电场强度为 u=可d品后++品后 *121两个均匀带电的圆面共轴线，半径都为R,相距为1，电荷面密度分别 为+σ和-o,它们间轴线的中点为原点O,沿轴线取为x轴，如习题1.21图所示.已 知1《R,试求轴线上x处的电势和电场强度 习题1.21图 解(1)先求单个带电圆面产生的电势.考虑圆面上以圆心为心、”为半径
·18· 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 宽度为dr的环带，该环带上的电荷量为dg=2πod,它在轴线上离圆心为x处产 生的电势为 o rdr 4F+72+ 积分便得总电势 u2R-0 现在回到习题1.21图所示的两个圆面电荷的情况.坐标原点位于两圆面之间的 中心位置，以至两圆面分别位于x=/2,由前述单个带电圆面电势公式，不难求 得带正、负电荷圆面各自的电势表达式如下： 二者之和等于 因！家R,上式中两根号项可以化简如下： xl 2 1 xl 此外，显然有 x+112-(x-1/2)=1, (x>112) =x+112-(0/2-x)=2x, (-1/2≤x≤112) -x-112-(-x+112)=-1,(x<-112) 代回上述电势表达式，求得各区电势如下： 1
第1章真空中的静电场 ·19. (2)求电场强度E _ol d 1-x R2 6 c分当-y