第2章静电场中的导体和电介质 ·25· 习题2.8图 解设各电容器的电压为U,=L,2,5),则各电容器正极板的电量为2=CU, 规定电容器电压为左高右低，或上高下低，亦即规定电容器的左极板或上极板为正 极.过任何一个回路的电压的代数和等于零，据此可以写出如下3个独立的回路电 压方程： U+U-0=0,U,+U,-U=0,U+U,-U,=0 在列回路电压方程的时候，先规定回路绕行方向，凡绕行方向自电容器正极进 入负极，则在相应的电容器的电压前面加上“+”号，否则加上“-”号：凡绕行方 向自电源正极进入负极，则在相应的电源电压前面加上“+”号，否则加上“_”号 注意还可写出其他回路电压方程，例如针对由C、C2和C构成的回路，可写下回 路电压方程U、-U,+U、=0,但不难验证它并不独立，可以从上述3个方程导出. 除了要求回路电压的代数和为零之外，还要求相互连接的电容器极板的电量的 代数和等于零，对应的方程称为节点电荷方程.由习题2.8图可见，电容C右侧的 负极板、C2左侧的正极板和C3上侧的正极板连接在一起，其电量的代数和为零， 即-Q+Q,+Q,=0;电容C下侧的负极板、C右侧的负极板和C,左侧的正极板连 接在一起，其电量的代数和也为零，即-Q-Q,+Q,=0.在列节点电荷方程时，正 极板上的电荷前面加上“+”号，负极板上的电荷前面加上“-”号.利用Q=CU, 可将上述两个节点电荷方程化为 -U,G+U,C2+U,C3=0,-U,C-U,C4+,C=0 将已知量U和C=1,2,.,5)代入上述5个方程，解得 U=240V,U2=360V,U3=120V,U.=360V,U=240V 2.9如习题2.9图所示，三个共轴的金属圆筒，长度都是1，半径分别为a、b和d, 里外两筒用导线连在一起作为一极，中间圆筒作为另一极.略去边缘效应.求电容C 习题2.9图
·26 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 解该体系由两个电容并联而成：内筒和中筒构成C,中筒和外筒构成C2,二 者并联后的电容等于 C=C1+C3=2π6 1） 2πE/In(d/a) In(d/b)In(b/a)In(b/a)In(d/b) 2.10在100℃和1.0atm时，饱和水蒸气的密度为598gm3,水的相对分子质 量为18，水分子的电偶极矩为6.2×100C·m.求这时水蒸气电极化强度的最大值. 解原子质量单位为1.66×10”kg,饱和水蒸气的数密度（单位体积内的分了 数日)为 598×103 h18166x10可=2.0x10m 当全部水分子的电偶极矩P。=6.2×100Cm时，求得水蒸气最大电极化强度如下： P=p=2.0×1025×6.2×100=1.24×10(Cm) 2.11电介质强度是指电介质能经受的最大电场强度而不被击穿，迄今所知道 的电介质强度的最大值约为1×10Vm.试问： (1)当金属导体处在这种介质中时，它的面电荷密度σ最大不能超过多少？ (2)金属导体中原子的直径约为2×10~m,金属导体表面一层原子中，缺少或 多出一个电子的原子数最多不能超过百分之几？ 解(1)金属表面处的场强大小为E=o。/6。,E≤E=10Vm',据此求 得面电荷密度的最大值为 0emm=6,Enx=8.85×102×10°=8.85×103(Cm2) (2)原子直径为2×100m,每平方米原子数为1/(2×100)2=2.5×109个.由前 面得到的极大面电荷密度am=8.85×103Cm2，若为金属表面原子所致，则每平 方米缺少或多出一个电子的原子数最多为8.85×1031Q.6×1019)=5.53×106个，占表 面原子的百分比为5.53×1061(2.5×109)=2.2×103≈0.2%. 2.12如习题2.12图所示，一平行电容器两极板的面积都是2.0m2,相距为5.0mm. 两板加上10V电压后，撤去电源，再在其间填满两层均匀介质，一层厚2.0mm,相对 介电常量为61=6/6，=5.0：另一层厚3.0mm,6:=6,/6。=2.0.略去边缘效应 习题2.12图 (1)求各介质中电极化强度P的大小：
第2章静电场中的导体和电介质 。274 (2)当电容器紧靠介质2的极板接地（即电势为零）时，另一极板（正极板） 的电势是多少？两介质接触面上的电势是多少？ 解在加入介质之前，电容器被充电量为 0=CV=eSY1d=28×10/5×103=4e×10°(C) 由高斯定理，求得电容器中电位移矢量的大小为：D=g。=Q/S=2。×10°Cm2.填 入介质之后，D维持不变 (1)介质中的电极化强度. 由P=6(E-1)·D/(E6,)=1-6,)D，可算得两层介质中的电极化强度为 P=(0-1/5)×2×8.85x1012×106=1.4×105(Cm2) B=1-1/2)×2×8.85×102×10°=8.9×106(Cm2) (2)电容器两层介质中的电场为 E=D/(66)=2×10/5=4×103Vm2) E2=D1(662)=2×10/2=10V.m2) 从而算得正极板的电势 U=E,4,+E2d2=4×103×2×103+10°×3×103=3.8×103(V 和分界面上的电势 0面=E242=10°×3×103=3.0×103(V) 2.13圆柱电容器是由半径为R1的直导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内 半径为R2,长为1，其间充满了介电常量为ε的介质.设沿轴线单位长度上，导线带 电量为元，圆筒带电量为一元。略去边缘效应，求： (1)介质中的电场强度E、电位移D、极化强度P、极化电荷体密度p和介质 表面的极化电荷面密度σ'： (2)两极板的电势差U: (3)电容C 解(1)采用圆柱坐标(r,z).由对称性，介质中的D沿极径方向(e,三r1r) 其大小仅与r有关，于是，可运用高斯定理算得D的大小等于D=入I(2),由此 求得 =B,P=D-6E=1(e-o 2πEr 介质中的极化电荷体密度等于 p=-vP=-1a[,.A6-]=0 r or 2π6r
·28 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 介质内表面和外表面的极化电荷面密度分别为 =PV=R)%=Pv=R)-(←e,)=-2E- 2πER ;=P(r=R).n =P(r=R).e=4(6-5) 2π6R. (2)两极板的电势差等于 (3)电容等于 c=品税R民R 2πc21 2元l 2.14半径为a,b(a<b)的同心导体球壳之间充满非均匀介质，介电常量为 6=661+k),其中k为常数，r为径向距离.内球壳表面有电荷Q,外球壳接地.计算 (1)系统的电容： (2)介质内的极化电荷密度： (3)球面上极化电荷面密度。 解取球坐标(r,8,中).由对称性可知电位移矢量沿径向方向，大小仅与r有 关.利用高斯定理得D=Q,/(4r),，从而求得非均匀介质中的电场强度为 520+如%ao 因此，内外球电势差为 r品后tn 4元c。ab 故得电容 c-e 4π6。ab V (b-a)+abkIn(b/a) 极化强度为 P=e-6E-治品+=g 据此求得介质中的极化电荷体密度和介质内外表面的极化电荷面密度如下： pp-g=@(e)品成-r0e=g 2.15有一半径为R的金属球，外面包有一层相对介电常量为6，=2的均匀电介
第2章静电场中的导体和电介质 ·29· 质，壳内外半径分别为R和2R,介质内均匀分布着电量为90的自由电荷，金属球 接地.求介质球壳外表面的电势. 解金属球接地，如习题2.15图所示，其电势U=0.介质中自由电荷密度为 3q。/{4(2)-R]}.设接地金属球表面的感应电荷总量为q,由对称性可判断电荷 沿金属球表面均匀分布.运用高斯定理，可求得介质内电场强度 r3-R3 习题2.15图 在介质外的电场强度E,=(g+)/(4πG,).由金属球和无穷远电势均等于零的条件 ∫Ed=∫E,d→ +箭票华 可求得q=-16g。/21,介质球壳外表面电势为 u-21 5q 2.16平行板电容器两极板相距3.0cm,其间放有一层相对介电常量为￡.=2的介 质，位置与厚度如习题2.16图所示.已知极板上面电荷密度为o=8.85×10°Cm2, 略去边缘效应，求： (1)极板间各处P、E和D的值： (2)极板间各处的电势（设V4=0) 0123 习题2.16图 解(1)由高斯定理，可算得两极板内各区均有D=o.=8.85×100Cm2.在 介质外，8，=1，P=0,E=D1e。=100Vm.在介质中，8，=2