上游充通大睾 5.7.2 涡量场的时间特性 Shanghai Jiao Tong University 由于质点线K始终由同样的流体质点组成，所以 (dx)=du (dy)=dv dt dt d (d=)=dw dt 因此方程左边第一项为： ,品++r品]-ilan+di+wa -fa+"")-f
Shanghai Jiao Tong University 由于质点线K始终由同样的流体质点组成，所以 ( ) d dx du dt = ( ) d dy dv dt = ( ) d dz dw dt = 22 2 2 [ ] ( ) () ( ) 2 ( 2 ) () udu vdv wdw uvw dd d u dx v dy w dz dt V dt dt d d = ++ + + = = ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ 因此方程左边第一项为： 5.7.2 涡量场的时间特性
上游充通大学 5.7.2 涡量场的时间特性 Shanghai Jiao Tong University 由理想流体的欧拉动量方程，方程右边第二项可表示为： du dx dt dt 黑 dz U-)- pk+吧d+ dz -w可
Shanghai Jiao Tong University 由理想流体的欧拉动量方程，方程右边第二项可表示为: ( ) 111 1 1 xyz xyz ppp f dx f dy f dz xyz ppp f dx f dy f dz d du dv dw dx dy dz dt d x dy dz xyz p df dp df t dt d ρρρ ρ ρ ρ ⎡⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂∂ ⎛ ⎞ ⎤ = − +− +− ⎢⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎝⎠ ⎝⎠ ∂∂∂ ⎝ ⎠ ⎦ ⎡ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ⎤ = ++ − + + ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎡ ⎤ = −− = −− ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎠ ⎠ ⎦ ⎠ ⎣ ⎝ ⎝ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5.7.2 涡量场的时间特性
上降充通大睾 5.7.2 涡量场的时间特性 Shanghai Jiao Tong University 整理上面的结果，可以得到： T=常数 Kelvin定理（旋涡强度时间保持定理）：理想、不可 压或正压流体，在有势的质量力作用下，沿任一 封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通 量在运动过程中恒定不变
Shanghai Jiao Tong University 整理上面的结果，可以得到： 2 0 2 dΓ V p d f dt ρ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −− = ⎝ ⎠ ∫ Γ = 常数 Kelvin定理(旋涡强度时间保持定理)：理想、不可 压或正压流体，在有势的质量力作用下，沿任一 封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通 量在运动过程中恒定不变。 5.7.2 涡量场的时间特性
上游充通大学 5.7.2 涡量场的时间特性 Shanghai Jiao Tong University 推论：(Lagrange定理，也称为旋涡不生不灭定理) 理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用 下，如果初始时刻在某部分流体是无旋的，则在以 前或以后任一时刻中这部分流体始终无旋；反之， 若有旋，则始终有旋
Shanghai Jiao Tong University 推论：(Lagrange定理，也称为旋涡不生不灭定理) 理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用 下，如果初始时刻在某部分流体是无旋的，则在以 前或以后任一时刻中这部分流体始终无旋；反之， 若有旋，则始终有旋。 5.7.2 涡量场的时间特性
上浒充通大￥ 5.8 Helmholtz定理 Shanghai Jiao Tong University Helmholtz关于旋涡的三个定理，解释了涡旋的基本性质，是 研究理想流体有旋流动的基本定理。 1.Helmholtz第一定理（旋涡强度空间保持定理）：在理想、不 可压或正压流体、体积力有势的有旋流场中，同一涡管各截 面上的旋涡强度相同。 81 在同一涡管上任取两截面A1、A2, 在A1、A2之间的涡管表面上取两条 无限靠近的线段a1a2和bb2。由于 封闭周线a1a2b2b1a1所围成的涡管 表面无涡线通过，旋涡强度为零。 A 根据Stokes定理，沿封闭周线的 速度环量等于零，即：
Shanghai Jiao Tong University 5.8 Helmholtz定理 Helmholtz关于旋涡的三个定理，解释了涡旋的基本性质，是 研究理想流体有旋流动的基本定理。 1. Helmholtz第一定理(旋涡强度空间保持定理)：在理想、不 可压或正压流体、体积力有势的有旋流场中，同一涡管各截 面上的旋涡强度相同。 1 a 2 a 2 b 1 b A1 A2 在同一涡管上任取两截面A1、A2， 在A1、A2之间的涡管表面上取两条 无限靠近的线段a1a2和b1b2。由于 封闭周线a1a2b2b1a1所围成的涡管 表面无涡线通过，旋涡强度为零。 根据Stokes定理，沿封闭周线的 速度环量等于零，即：