上降充通大￥ 5.5 速度环量 Shanghai Jiao Tong University 速度环量velocity circulation)定义：在流场的某封闭周线上， 流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号厂 表示，即： 「，=i.di=fv.cosa di α表示速度矢量与该点切线方向的 夹角。将上式写成标量积的形式为 I,=v.dl=(udx+vdy+wd=) 速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向。对非定常流动，速度环 速度环量 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量
Shanghai Jiao Tong University 5.5 速度环量 速度环量(velocity circulation)定义：在流场的某封闭周线上， 流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 Γ 表示，即: cos l l l Γ= ⋅ = ⋅ v dl v dl α ∫ ∫ r r α表示速度矢量与该点切线方向的 夹角。将上式写成标量积的形式为 ( ) l l l Γ= ⋅ = + + v dl udx vdy wdz ∫ ∫ r r 速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向。对非定常流动，速度环 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量
上游充通大睾 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University Stokes定理：在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通 过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即： 「=fai=∬(×）小d万=∬dA=2∬o.d4=J 这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速 度环量计算旋涡强度的方法。 ds
Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理 Stokes定理: 在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通 过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即: ( ) 2 n A AA Γ = ⋅ = ∇× ⋅ = Ω⋅ = = v dl v d A d A dA J ω ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ r r r ur ur ur 这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速 度环量计算旋涡强度的方法
上充通大 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University 涡线，涡管 流线，流管 涡通量（旋涡强度） 流量 Stokes定理： Gauss定理： 线积分台i 面积分 面积分台体积分 fai=j(×）da=J (ov.n)ds=(v)d 速度环量 源汇强度
Shanghai Jiao Tong University 涡线，涡管 流线，流管 涡通量(旋涡强度) 流 量 Stokes 定理： 线积分 ï 面积分 Gauss 定理： 面积分 ï 体积分 ( ) A Γ = ⋅ = ∇× ⋅ = v dl v dA J ∫ ∫∫ r r r ur ( ) ( ) S ρ ρ dS d Ω ∫∫ ∫∫∫ V n⋅ = ∇⋅ Ω V 0 0 速度环量 0源汇强度 5.6 Stokes定理
上游充通大学 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University 例子1：已知二维流场的速度分布为u=-3y,v=4x，试求 绕圆x2+y2=R的速度环量。 解：此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为： x=rcoso y=rsino 速度变换为：y,=u cose+vsino vo vcose-usin vo 4rcos20+3rsin20 -"vrd-[(4rcos0+3rsin'O)rde r(4cos0+3sin0)d0=r" cos20d0 7ar2
Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理 例子1：已知二维流场的速度分布为 ， ，试求 绕圆 的速度环量。 u y = −3 v x = 4 222 =+ Ryx 解： 此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为: = rx cosθ = ry sinθ 速度变换为： cos sin r vu v = θ + θ vv u cos sin θ = θ − θ θ θθ2 2 = + rrv sin3cos4 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 22 2 2 0 0 (4 cos 3 sin ) (4cos 3sin ) 6 cos 7 v rd r r rd r d r r d r π π θ π π θ θ θθ θ θ θ π θθ π Γ= = + = + =+ = ∫ ∫ ∫ ∫
上游充通大学 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University 例子2：一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径r=0.1m 的圆区域内，流体的涡通量J=0.4πm2/s。若流体微团在半 径r处的速度分量 为常数，它的值是多少？ 解：由Stokes定理得： 2π r=∫vgrd8=2πrvg=J 0.4π =2m/s 2元r 2π×0.1
Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理 例子2：一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径 的圆区域内，流体的涡通量 。若流体微团在半 径 r 处的速度分量 为常数，它的值是多少？ = 1.0 mr /4.0 smJ 2 = π θ v 解：由Stokes定理得 ： 2 0 v rd rv J 2 π Γ= = = θ θ θ π ∫ sm r J v /2 1.02 4.0 2 = × == π π π θ