平面旋轉問題

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1958.01.017 平面旋轉問題 王根 (力學教研缸) 一、引意 本面旋轉問题是租成不面問題中的一部你。一个有界平面，桃通过重心的垂谊軸作均速 旋轉，就是作用着慣性体力的$面問题。这样的問題，可以化为沒有体力而已知边界力作用 的平面問题。因此，問題的-一般解，就可以用穆斯海尔什維里的平面一般数学問题〔1)·解 决了。虽然这样，只有囿形本面是此較方便的。本文，应用本面問題的复变函数方法，直接 簡化了基本方程和边界条件为就一方程。它的特点將在結論中陬逃，並給予-一些例解。这里 我們所考虑的只是罩速通情形。 二、不面旋轉問题 轂区城E是面有界的單速通区域，稳通过重心0的垂直軸z以均速ω旋轉，图(1)。 这样，平面E將在慣性体力作用下本衡，对旋轴不发生 扯力。 基本方程是 8ox+0x+002x=0 (1) 80+8xx+002y=05 dy x (++,) 02, 周1 =-2(1+)pw2 (2) 如用应力函数表示，則有 =0-(1+)pw2x2） a,=x2-(1+)pw2y2 02p (3) ,= 020 +vpω2xy axay 和 V2726-0 (4) 並在边界滿足 X=,的- =0 (5) dy=0 这十xy ds Y-dy ds

平 面 旋 蒋 同 题 王 根 力 李教研沮 ) ( 一 、 引 言 平面旋搏周题是粗成 平面 简题中的一部份 。 一 个有界平面 , 跷通 过重心 的垂 遭朝作 均莲 旋搏 , 就是作 用着惯性体 力的平面周题 。 这样 的 周题 , 可以化为 浚有 体力而 已知边 界力作 用 的 平面 周题 。 因此 , 周题的一般解 , 就可以 用穆斯海尔什推里的 平面 一般数学 阴题 〔习 , 解 决 了 。 虽然这样 , 只 有圆形 平面 是比较 方便的 。 本 文 , 应 用平面 圈题的 复变 函数方法 , 直接 筒化了基本方程 和边 界条件为就 一方程 。 它的特点将在桔靛中圃述 , 亚抬予一些例 解 。 这里 我们所考虑 的只是 单述通情形 。 二 、 平面旋翰周短 毅 区域 E 是平面 有界的 翠莲通 区域 , 跷通过重心 。 的垂遭朝 z 以 均速 ` 旋搏 , 图 ( l) 。 这样 , 平面 它将在惯性体力作用 下平衡 , 对旋翰木发生 扯力 。 基本方程是 、声` 1 产几、 + P田 ù,`J.t ZX二 0 + 竺于卫 + p o, Z y 豁 十黯 备 + 黔 (器 + 箭) (二 + ` · ’ - 圈 1 如 用应力两数 劝表示 , lRJ 有 = 一 2 ( 1 + , ) p ` 2 ( 2 ) . 、 1 1 . 1 、 了! 11 卫J 产 一 告( 1 + , ) 叻 p O Z x Z 2一? 一刁a iy 一 a Z功 a X Z 一 去( 1 + , ) p o, ? y Z ( 3 ) r x , a Z砂 a x a y + 夕 P田 Z x y 7 “ V Z必一 0 兹在边界浦足 ( l y 人 “ 一 “ x 一 通百 d 又 八 一 T 二 , 一 二 - 一 一 U d S Y n - 一贵 十 · 二 , 一 器 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1958. 01. 017

74一 網院学報 (4)和(5)二方程將由复变解折函数耠予一般表示。因为 V2V6= 046 022022=0 所以 中=〔zp(z)+z(2)+x(z)+x(2)] (6) 用复合函数的导数，可以求得 00+i$=p(z)+zo'(z)+(z) Ox (7) 股-i0=(2)+z(2)+以zJ dy 其中()，x(z),(z)是未解浙西数，这里(z)=X(z)。（7)式在以后用。 :我們来看边界方程(5)式。把(3)式代入(5)式，並写成复数式，即得 (股+i89）-0w(g+is)+ +2告”p(+ix） ds (8) 由（？)式皮实变量与复变量的关系，最后得 〔e()+zpa+中a]=(Az+B2)话+Cz元 ds (9) ds ds 由共軛函数关系，又得 西+20(a)+(z)归=(A云+Bz)+Cizd (10) ds ds 其中 A=1pw%,B=-1+3pm2,C=1+"pw2 8 4 (9)或(10)二方程是我們需要的黏果。这个粘果的特点，在于不需要再考虑其他边界条 件，只要解析面数(z)和(z)能貉出(9)或(10)式为封明边界。都是我們問題的解。 为针算方便，我們把应力分量也用(z)和(z)表示。只要在穆斯海尔什椎塑战柯洛素 夫公式中考虑了体力的影响。就得 :+ir,=p(2)+9②-z0@）-(②-1装"m(红+2刘+0g2(2-2 8 ,-i=a+(回+2w回+(@+1装"pma-2-g(e-2刻) 4 或 c.+a,=20(z)+2(2-1+"pwzz 2 (12) ,-0.+2itx,=2zw"(2)+2W(2)+1+3ypw2z2+1-"0u云 4 4 极座标的表示是

一 74 一 胡 院 等 粗 ( 4 ) 和 ( 5 ) 二方程牌 由复变解析函 数抬予一般 表示 。 因 为 V Z V , 协二 a ` 娇 a 么 2日牙仑 所以 协= 云〔 z 职 ( : ) + z 伊 ( z ) + 义( z ) + z ( : ) 〕 用复合两数的 导数 , 可以求得 〔6 ) 器 、 ,器 一心 , 十 ` 衬脚 十 而 器 一 ,尝 一`脚 + 牙叮 · , + 以“ , 共 中 护恤 ) , z 恤) , 沙( z ) 是未知解折函数 , 这里 沪。 ) 一 义, ( 么) o } ( 7 ) ( 7 ) 式在以 后甩到 。 . ` 我 仍来看边界方程 ( 『 ` ) 式 。 把 ( 3 ) 式代入 ( 5 ) 式 , 亚写 成 复数式 , 郎得 金(器 十 ,斋)一 p 田 Z xy 篇 + `尝 _ ) 一卜 + 宁 。 毋 2扮贵 一 + i 二 2 斋) ` t 、 。8 ) 呵钾 式珍 变量与 妙 量的关不 最 后褂 备 〔心 , + · 尸面+ 响 〕一 (zA ” . +B 砂 ,套 + “ · 王备 ( ” , 由共辆两数关系 , 义得 : 、 一 盒 〔响、 “ ’ 以 · ) 、 、 · )卜 (A ; 。 十 B ` 一 )贵 十 c ` : 需 。 l0) 其中 A 二竺二里oP, o . B一 ~工生鲤 , o,e . c 一工土少。。 。 . · 艺 ` 「 吕 4 ( 9 ) 或 ( 10 ) 二方程是我仍需姿的桔巢 。 这个 桔果 的特点 , 在于 不需要再考虑其他边界条 件 , 只 要辩析函数 试)z 粕必( : ) 能拾出 ( 9 ) 或 ( 1 0 ) 式分封阴边氛 都是我仍周题的 解 。 为升算方便 , 我们 把应 力分量 一 也用 试幻 和 户( z ) 表示 。 只要在穆斯海尔月推塑或柯洛案 夫公式中考虑 了体力 的影响 。 就得 · 一 式 · , · 而一 画 一 运 , 书、 田 “ “ 十 牙, “ 十 呀 ( ` 2一牙 “ ) } 、 : , ) ` 一 ’一 ” ( ’ ) “ 一 诃任 , 栩奋吼 j 斗 一 训 (幻十 李 一 奋 “ ` 。 )’ ( “ 一 劲 “ 一 臀 立 ( ” ’ 一 砂 )] 、 , 产 占了 2 、Z 、 、沙二. 了 。 二 + , , = 2 , ` ( z ) + 2 币飞幻一 1 十 v 2 P田 2 2 2 沙 y 一 口 x 极座标 的 表示是 + ” ,一 2砂 (小 “ 八 : , 十 ~ 等 兰” 田 一呀 工子 “ 田 2牙 ·

革五潮 75- 0r+00=0x十0， 0-r+2it:0=(0,-0+2ir)ei20} (13) 三、丧合解法 本节我們將裕予方程(9)或(10)用谈合解的情形。如命 (z)=az,(z)=bz(a,b待定) 代天(9)式，得 (2a-Cz)dz=(Az2+(B-3b)z2]dz 籤 B一3b=0, b=B=-1+3pw2 24 則方程变为 ，=0 上式是一阶線性方程，不难得到，当 a-C-AR284 2 o2R2 16 則方程的解就是 2z=R2或x2+y2=R2 这就是旋轉餐的解。贝要把P(2),(z)代入(13)式，我們就得应力分量 a1=8"0m(R2-y) 8 g=3+y 80wR2-1+ 8 -0ω2y2 Tr0=0 四、保角映象法 本节我們要用穆斯海尔什維里的平面保角映象方法，米处理我們的旋囀問盟。設映象函数 z=ω(3) (14) 实现了把z牛面的区域E單（的映象在5华回的单位倒内域，图(2）。蜊这个函数是解析的。 子平面 5平面 國2

谁 ’ 五 翔 ~ 7 6 一二 ` 犷+ d 口` d x 十 ` y ` o 一 “ r + 2 1 : r 。一 ( , , 一 a : + 艺i : 二 , ) e 12 口 ( 1 3 ) 三 、 僻合解法 本 节我们将抬予 方程 ( 9 ) 或 ( 10 ) 用凑合 解的情形 。 如 全 职 ( z ) ~ a z , 价( z ) = b z . ( a , b 待定 ) 代入 ( 9 ) 式 , 得 ( Z a 一 c 。 石) d z 二 〔A 护 + ( B 一吕 b) 三 2 〕d石 。 ` ,二 ` 、 二 B l + 3 F _ _ ` 。 二1 一 O U ~ U , U 二二 一 - 一 — p 协 妇 吕 艺4 只组方程变 为 d Z d Z 人玄 ~ z 一 瓜玄 一 0 上式是一 阶徐性 方程 , 不难得到 , 当 C 一 A 2 R 。 一 牡岁。 。 。 R 。 l 6 具四方程的解就是 这就是旋搏圆靛的 解 。 2 2 二 R Z 或 x Z + y Z = R ? 只要把 甲 ( z ) , 沪( z ) 代 入 ( 1 3 ) 式 , 我 作,就 得应 力分盘 · ; 一窄 “ 一 ( R 见 一 , · , 。 , 一弩 ” ” Z R 仑 一 ` 气塑 “ ` 2 , 2 r r奋二 0 四 、 保角映象法 本节我 仍要用 穆斯海尔什推里的 平面保角映象方法 , 来处 理我们的旋搏尚题 。 没映象函 数 z 一 ` (屯) ( 1 4 ) 实现 了把 : 平面 的 体域 E 革植的映象在 ` 平面 的 革位圆内域 , 图 ( 2万 划达个面 数是解析的 。 圈 2

一76一 纲院拳報 我們把方程(9)和(10)积分一炎，並抛去不重要的积分常数，則得 (a)+z(a+商-日2+(aza运+cz2aa (15) pa+2p(a）+b(a)-8x+j(Azdz+ci2》 把(15)式用变换(14)式，就得在單位倒的边界方程为 (o)+C0pa+(O=,)1 w'(σ) (16) o+8roto)-o,o 这里 Fo,-尽r(可+jcau(oo(o)+co(o)(ojao(onl (17) Fa,=gu(o)+faoa(ojao(o)）+co(可a(o)aj} 我們用a代表在單位圓边界Y上的值。 在(16)式雨端乘以〔2mi(σ一)-1，然后沿y积分-一次。根据柯西积分，並抛去不重要 的常数項，我們得 *,器g-★，2 (18) (g)=J,gd如-，aO,(o如 2ni.t o-t 2元iJrw'(o) 0- (18)式給予我們求()和()二个解析面数的可能只要映象函数实现了柯西积分。 最后要提到，在(13)式中的ei20值，这时应是 ei20=52.m'(3)〔1) (r≤1) m'(g) 五、保角映象的腹用 本节我們要用方程(18)，来求圆外長短幅旋输粽截面的旋牌問題。令陕象函数 z=w(3)=a(5+bg) (19) 式中n是正整数，a>0,0≤b≤1。函数(10)实现了这个映象， 我們来求方程(18)中的二个解析函数。先求第一个，由(19)式我們有 ω() () 1+nb2a+=b0+(1-ab2)5-nb(1-nb2)5-at2 +bsa 1+ =bg+1-n[1-之(-10r()* (20)

一 7 6 一 我们把 方程 ( 9 ) 和 ( 10 ) 积分一次 , 亚抛去 不重要的 积分常数 , 翎 院 李 毅 则得 , ( : ) + z 舀句 + 而 一 粤 石 : + 歹( A : · d石+ C : 牙d : 画 十孙 ` ()z 十 叮 )z 一粤 一 十 I (A ` ? dz 十 C元而 ) } ) ) ( 1 5 ) 把 ( 15 )式用变换 ( 14 )式 , 就得在 翠位 圆的边界 方程为 “ ( a) , 一 、 : ~ 。 , _ 二、 甲戈叮 j 十 = 于万 = 于甲 戈 U j 十 w 、 u 少一 r 、 ” , 口 / 田 ’ 戈a ) ( 1 6 ) `二了二又 . 0 , ( 。 ) , 。 丫、 。 j 甲 气 万 7 二灭 丫 山 戈口 少 ` ( , ) 一 * 沪( a ) = F ( 。 , 云)} 这 里 F (一 : ) 一 令 瓦万万) 一粤 一 闷 + ) 〔 吧 d 田 ( ` , 十 C 竺 舀’ d ” , ’ ( “ ) + . 料 j 〔A “ 2 ( “ ) d ` ( “ ) + C 山 ( “ ) o, ( d ) “ “ ( d )〕’ ( 17 ) 我们用 d 代 表在单位 圆题 界 少上 的 百值 。 在 ( 1 6 ) 式雨端乘以 〔邪 i ( ` 一 互)〕 一 ` , 然后沿 夕积分一次 。 根据柯西积分 , 亚抛去不重耍 的 常数填 , 我们得 。 (: ) + 责丁 : 叱) 一去` _ ` ( a ) “ ( 。 ) 鲜典少_ . 少 二 【里〔二亘少、 “ 一 ` 恻 r 乍 ` } 全_ 卫 一 【理奥奥 , 一 竺{互三之卑 一 J 艺兀 1 J r 田 ` 气` ) d 一 ` ( 1 8 ) (l s) 式抬予我俩求 戒幼 和 以劲 二个解析函 数的 可能 只耍映象函 数实现 了柯西积分 。 最后耍提到 , 在 ( 13 ) 式 中的 ie 20 值 , 这时应 是 “ ( 乙) ( 1 〕 “ (乙) ( r ` i ) 叼` 一仑2 一一r 一 甘口 2 e 五 、 保角映象的成用 本节我仍耍用 方程 ( 1 5) , 来求 圆外畏短 幅旋翰腺截面 的旋搏尚题 。 z 二 “ (否) = a (百+ b互 “ ) n 是正整数 , a > 。 , 0 、 ” 、 号 一 ; 6二数 ( 19 ) 实现 了这个 映、 金映象函数 ( 1 9 ) 式 中 我仍来求 方程 ( 1 5) 中的二个 解析函数 。 先求 第一个 , 由 ( 叉的式我们有 。 ( 乙) 苍+ b乙 “ 砰了 ~ 一 1一、 一 +1 bn `一 + 1 、 石 / 一 b互 ” + ( 1 一 。 b ? ) g一 n b ( i 一 bn ? ) 乙一 “ + 2 bn 1 十 二 ` 二 白“ - 一 b “ ` + ( ` 一b Z ,` 〔 ` 一 刀 (一 l ) · (护 、 ) “ `万 ( 2 0 )

第五期 一77一 取>1，則(20)式中的級数項是負幕項。再看()；因为()是解析的，所以 p()=a15+a22+…+an5a+… 則有 7(号）=a+g2+叶照+… 这样 得y传)-+d) (21) 其中 K=(I-nb2)a1+nban K=(n+1-m)ban+1m)(25m=n) (22) 它們都是待定系数，將在后面决定。这里我們都抛去了不重要的常数項。对(21)式取边值並 应用柯西积分。就得 ,8.-K+K++x (23) 再求(18)中第一式右端的积分项，把(19)式代入(17)式积分，最后可得 1(F(o,)do=M5+NEa+W528-1 (n>2) 2iJrG-℃ (24) 其中 M=a3[(nb2+b2+1)C-(2nb2+1)A) N=a(1+1+b)bC-(2+b2)bA) (25) W-(nC-A) 最后方程(18)第一式由(23)和(24)式可写为 (g)+K,5+…+K.5"=M5+NEn+Wg2a-1 ·:(26) 由(26)式比較系数，得 a1+K1=M amn+Kin=0 (2m≤n-1) an +K=N ain=0 (n+1≤m≤2n-2) (27) a2n-1=W a=0 (m≥2n) 把(22)式代入(27)式的前三式，得 a+a(1-nb2)+nba=M a+a+1m)ba(a+i-m)=0(2≤m≤n-D (28) an+ba =N 我們可以看到，在(28)式的第二式，是一組(n一2)个的齐次方程，也卸是2(n一2)个的实数 齐次方程，其中的未知实数也是2（一2）个。因为这些方程系数的行列式不等于雾，因此我 們得

第 五 期 一 77 一 取 n > 1 , 则 ( 2 0) 式 中的 极数项是负篡项 。 再看 叹幼 ; 因为 以劫 是解析的 , 所以 职 (乙) 一 a l 乙+ a : 乙2 + … … + a ;`乙 ” + … … lRJ 有 ; ( 一 奇 一 ) 一承 一 誉 十 … … 十 爵 十 ” ” ` ’ 了、、 J, J 韶21 ù 了、、 ` 、r 这样 。 (幼 二二 / I 、 二 , . 二万 一万 . 一 又丫 . , 一F 一 , = 丈、 1 5 十 护才一主一 ~ 】 \ , z \ 否 / “ ” ’ ` 十 K ” ` n 十呼着 一 ) 其 中 K , = ( 1 一 bn ? ) a i + n ab : , K : n ~ ( n + i 一 m ) ab ( 。 + , 一 ,。 ) ( 2 、 m 一。 ) } 它 们都是待定系数 , 将在 后面 决定 。 这 . 里我们都抛 去 了 不重要的 常数项 。 对 ( 21 )式取边 值业 应 用柯西 积分 。 就得 华 了 ` 艺孔 j J r “ ( 。 ) 沪` ( 。 ) d a 石 ,西了 ` 卜 ` ~ K l 乙 一卜 K , 护 + … … 十 K ,, 护 ( 23 ) 再求 ( 18) 中第一式右端 的积分项 , 把 ( 19 )式代入 ( 17 )式积分 , 最后可得 F ( d , ` ) d d , 一 百 = M 苍+ N 乙 a + W七 , 一 1 ( n > 2 ) ( 24 ) 了 . 1 护 飞ù一几 一2 其 中 M 一 a ” 〔( n b ? + b ? + i ) C 一 ( Z n b ? + 1 ) A〕 了! ! ` J 少 N 一 a , 〔( i + 工 . , 。 、 , 。 1 2 . 二 。 、 二 二 、 一 十 D ` 少D 七 一 、 — 一 十 D ` 少日八 J ( 2 5 ) a . b ? Z n 一 1 一 ( n C 一 A ) 最 后方程( 1 5) 第一式由( 23 )和 ( 24 )式可 写为 代乙) 十 K , 乙十 … … 十 K l库 ” ~ M 乙十 N 石 “ 十 W乙 2 “ 一 ’ 由( 2 6 )式比较系数 , 得 a i + K i 一 M a . n + K , n ~ o ( 2 至m 廷 n 一 i ) a : 、 十 K ,、 一N ( 26 ) / l l j a J , n ~ 0 a : , , 一 , ~ W a : n “ 0 ( n + i 三 nr 三湘 一 2 ) ( 2 7 ) ( m 兰艺n ) 把 招 2 )式代入 ( 27 )式的前 三式 , 得 a l + a l ( 1 一 nb Z ) + n b a 。 = M a ,n + ( n + 1 一 m ) ab ` ,、 + , 一:。 ) “ 0 a J、 + ab , ~ N ( 2 三 m 三n 一 1 ) } (28 ) 我侧可以 看到 , 在 ( 28 )式 的第二式 , 是一粗 (n 一 2 )个 的齐次方程 , 也郎是 2 (n 一 2 ) 个的 实数 齐次方程 , ` 其中的未知实 数也 是 2 (n 一 2 ) 个 。 因为这些方程系数的行列式不等于零 , 因此我 仔,得