D0L:10.13374/5.issn1001-053x.2012.02.016 第34卷第2期 北京科技大学学报 Vol.34 No.2 2012年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.2012 T一S模糊控制系统的虚拟等价系统及稳定性判据 张维存李擎四 张超陈鹏刘小丽 北京科技大学自动化学院，北京100083 区通信作者，E-mail:liqing(@ies.ustb.edu.cn 摘要针对未知确定性被控对象和未知非线性时变对象，通过构造虚拟等价系统的方法研究T一$模糊控制系统的稳定性 采用虚拟等价系统的目的在于降低原问题的难度，改进现有稳定性判据的保守性.分析结果表明，T一S模糊控制系统的稳定 性主要取决于局部模型的精度、模糊规则的正确性以及局部控制器的镇定性 关键词控制系统：模糊控制：稳定性判据：等价系统 分类号TP273·.4 Virtual equivalent system and stability criteria for T-S model based fuzzy control systems ZHANG Wei-eun,LI Qing,ZHANG Chao,CHEN Peng,LIU Xiao-li School of Automation.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China Corresponding author,E-mail:liqing@ies.ustb.edu.en ABSTRACT The stability of a T-S model based fuzzy control system for both the discrete,linear time-invariant object and the nonlin- ear time-varying object is analyzed with the help of constructing a related virtual equivalent system.The purpose of adopting the virtual equivalent system is to reduce the difficulty of analyzing the stability of the fuzzy control system and to improve the conditions of existing stability criteria.The results indicate that the stability of the fuzzy control system depends on the precision of local models,the effec- tiveness of fuzzy rules,and the stabilizing characteristic of each local controller. KEY WORDS control systems;fuzzy control:stability criteria;equivalent systems 模糊控制近年来在理论和实践两方面均得到了 层则基于线性系统模型进行设计，这样一来就有可 蓬勃发展，但仍然存在一些问题有待进一步研究，主 能利用成熟的控制理论成果来分析模糊控制系统的 要是尚未形成完善的稳定性和鲁棒性分析方法以及 稳定性.正因为如此，关于T一S模糊系统的稳定性 系统的设计方法，包括模糊规则的获取和优化以及 分析近年来成为众多研究人员关注的热点，发表的 隶属函数的选取等 论文很多，提出了各种思想和分析方法回，例如公 任何一个自动控制系统要正常工作，首先必须 共李雅普诺夫函数法[)、分段李雅普诺夫函数 是稳定的，对模糊控制系统来说依然如此.由于模 法41和模糊李雅普诺夫函数法7一川.但是，正如文 糊系统本质上的非线性和缺乏统一的系统描述，人 献[2]所指出的，上述几种分析方法都还存在一定 们难以利用现有的控制理论和分析方法对模糊控制 的保守性，仍然有待进一步探索更加具有通用性和 系统进行分析和设计，因此其稳定性分析一直是一 实用性的分析方法. 个难点课题.T-S模糊控制系统的提出为模糊控 本文基于虚拟等价系统回提出一种分析和判 制领域带来了新的曙光，其实质在于将“模糊”从控 断模糊控制系统稳定性的新途径.虚拟等价系统的 制系统的底层提升到了高层“模糊”不再直接参与 概念和方法起源于分析自适应控制系统的稳定性和 控制，而是参与控制的“调度”，真正执行控制的底 收敛性。现有的自适应控制系统的稳定性、收敛性 收稿日期：20110104 基金项目：北京市重点学科建设项目资助(XK100080537)
第 34 卷 第 2 期 2012 年 2 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 2 Feb． 2012 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统及稳定性判据 张维存 李 擎 张 超 陈 鹏 刘小丽 北京科技大学自动化学院，北京 100083 通信作者，E-mail: liqing@ ies． ustb． edu． cn 摘 要 针对未知确定性被控对象和未知非线性时变对象，通过构造虚拟等价系统的方法研究 T--S 模糊控制系统的稳定性． 采用虚拟等价系统的目的在于降低原问题的难度，改进现有稳定性判据的保守性． 分析结果表明，T--S 模糊控制系统的稳定 性主要取决于局部模型的精度、模糊规则的正确性以及局部控制器的镇定性． 关键词 控制系统; 模糊控制; 稳定性判据; 等价系统 分类号 TP273 + . 4 Virtual equivalent system and stability criteria for T-S model based fuzzy control systems ZHANG Wei-cun，LI Qing ，ZHANG Chao，CHEN Peng，LIU Xiao-li School of Automation，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: liqing@ ies． ustb． edu． cn ABSTRACT The stability of a T-S model based fuzzy control system for both the discrete，linear time-invariant object and the nonlinear time-varying object is analyzed with the help of constructing a related virtual equivalent system． The purpose of adopting the virtual equivalent system is to reduce the difficulty of analyzing the stability of the fuzzy control system and to improve the conditions of existing stability criteria． The results indicate that the stability of the fuzzy control system depends on the precision of local models，the effectiveness of fuzzy rules，and the stabilizing characteristic of each local controller． KEY WORDS control systems; fuzzy control; stability criteria; equivalent systems 收稿日期: 2011--01--04 基金项目: 北京市重点学科建设项目资助( XK100080537) 模糊控制近年来在理论和实践两方面均得到了 蓬勃发展，但仍然存在一些问题有待进一步研究，主 要是尚未形成完善的稳定性和鲁棒性分析方法以及 系统的设计方法，包括模糊规则的获取和优化以及 隶属函数的选取等． 任何一个自动控制系统要正常工作，首先必须 是稳定的，对模糊控制系统来说依然如此． 由于模 糊系统本质上的非线性和缺乏统一的系统描述，人 们难以利用现有的控制理论和分析方法对模糊控制 系统进行分析和设计，因此其稳定性分析一直是一 个难点课题． T--S 模糊控制系统［1］的提出为模糊控 制领域带来了新的曙光，其实质在于将“模糊”从控 制系统的底层提升到了高层，“模糊”不再直接参与 控制，而是参与控制的“调度”，真正执行控制的底 层则基于线性系统模型进行设计，这样一来就有可 能利用成熟的控制理论成果来分析模糊控制系统的 稳定性． 正因为如此，关于 T--S 模糊系统的稳定性 分析近年来成为众多研究人员关注的热点，发表的 论文很多，提出了各种思想和分析方法［2］，例如公 共李雅 普 诺 夫 函 数 法［3］、分 段 李 雅 普 诺 夫 函 数 法［4--6］和模糊李雅普诺夫函数法［7--11］． 但是，正如文 献［2］所指出的，上述几种分析方法都还存在一定 的保守性，仍然有待进一步探索更加具有通用性和 实用性的分析方法． 本文基于虚拟等价系统［12］提出一种分析和判 断模糊控制系统稳定性的新途径． 虚拟等价系统的 概念和方法起源于分析自适应控制系统的稳定性和 收敛性． 现有的自适应控制系统的稳定性、收敛性 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.02.016
·208· 北京科技大学学报 第34卷 和鲁棒性定理的成立条件都过于苛刻，实际应用的 这类模糊系统采用多个局部线性系统模型实现 自适应控制系统很难满足这些条件，因而缺乏实际 整体上的非线性，形式简单，易于工程应用 上的指导意义.为了改变上述缺陷，虚拟等价系统 用如图1所示的系统方框图来描述这类模糊控 应运而生，其特点是给出的稳定性和收敛性条件是 制系统的结构特征.其中，∑p为未知的被控对象， 可以在线计算和监控的.所谓的虚拟等价系统就是 这里将状态空间模型等同于传递函数模型看待. 一种人为构造的、输入一输出意义上与原系统等价 的系统，由于虚拟等价系统的结构特点，使得它比原 系统易于分析和处理.通过它可以将原来的非线性 x(t) 主导（结构非线性）问题转化为一个线性主导（结构 线性、补偿信号非线性)问题，进而降低解决原问题 的难度.本文首先考虑线性时不变(L四)确定性受控 图1T-S模糊控制系统的结构图 对象，给出相应的稳定性判据：然后在此基础上，考虑 Fig.1 Structure block diagram of a T-$model based fuzzy control 非线性时变不确定对象，给出相应的稳定性判据. system 1LTⅢ被控对象的模糊控制系统稳定性 从图1可以看出基于T一S模型的模糊控制系 1.1TS模糊控制系统的虚拟等价系统 统与加权多模型自适应控制系统非常相似，实际上 T-s模型最早是由Takagi和Sugeno!提出的， 它与增益调度控制也存在结构相似性 规则输出段采用加权方法或切换方法，这里考虑加 图1中，1，l=1,2,…,m实际上代表了对被控 权方法，即所谓的并行分布补偿(PDC)方法. 对象的“辨识”，考虑被控对象为未知确定性的LTI R:IF z is F1,z2 is F2,and..z is F, 系统，若模糊规则设计合理，那么设计各个子控制器 (t)=Ax()+B,(, 所针对的局部模型中必定包含被控对象的真实模 THEN y(t)=Cx(t), 型，不妨记为M,而且该模型所对应的归一化隶属 l∈L=1,2,…,m. 度函数山，将最终取值为“1”，而其余的归一化隶属 其中，R为第1条模糊推理规则，m为模糊规则的数 度函数u,i≠l将最终取值为“0”.在此条件下，为 目，Fj=1,2,…,)为模糊集合，x(t)∈R"为状态 了便于分析和理解，人为构造图1所示系统的输入 输出意义上的等价系统，即所谓的虚拟等价系统，如 向量，u()∈R”为输入向量，y()∈R?为输出向 量，(A,B,C)为第1个局部模型的矩阵.z()= 图2所示.图中，u()为C,产生的输出，(t)同图 1,△u(t)=u(t)-u(t). [21,之2，…，之，]为系统的可测变量，例如z()可以取 为状态变量.把局部模型 △ [(t)=Ax(t)+Biu(t), x(t) Ly(t)=Cx(t) 简记为M,l∈L=1,2,…,m.在此基础上设计出多 图2TS模糊控制系统的虚拟等价系统 个局部控制器C,其输出为局部控制量4，(t)= Fig.2 Virtual equivalent system for the T$model based fuzzy con- Kx(t),K,为局部控制器的反馈增益矩阵，全局控 trol system 制量由下式决定： 1.2主要结果 u(t)= Σ()(. 定理1针对未知确定性被控对象P(LTI)的 加权系数山4，l=1,2,…,m是归一化的隶属度函数， T-S模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 满足以下条件： 稳定的： (1)模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象 (） 1= 的不确定性，即被控对象的真实模型包含在m个局 部模型当中； 山1≥0， ∑山=1 (2)模糊规则的隶属度函数能够识别或辨识真 实的对象模型，即对应于真实模型的归一化隶属度 式中，F()为z:在模糊集F中的隶属度 函数最终为1，其余为0：
北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 和鲁棒性定理的成立条件都过于苛刻，实际应用的 自适应控制系统很难满足这些条件，因而缺乏实际 上的指导意义． 为了改变上述缺陷，虚拟等价系统 应运而生，其特点是给出的稳定性和收敛性条件是 可以在线计算和监控的． 所谓的虚拟等价系统就是 一种人为构造的、输入--输出意义上与原系统等价 的系统，由于虚拟等价系统的结构特点，使得它比原 系统易于分析和处理． 通过它可以将原来的非线性 主导( 结构非线性) 问题转化为一个线性主导( 结构 线性、补偿信号非线性) 问题，进而降低解决原问题 的难度． 本文首先考虑线性时不变( LTI) 确定性受控 对象，给出相应的稳定性判据; 然后在此基础上，考虑 非线性时变不确定对象，给出相应的稳定性判据． 1 LTI 被控对象的模糊控制系统稳定性 1. 1 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 T--S 模型最早是由 Takagi 和 Sugeno ［1］提出的， 规则输出段采用加权方法或切换方法，这里考虑加 权方法，即所谓的并行分布补偿( PDC) 方法． Rl : IF z1 is Fl 1，z2 is Fl 2，and …，zv is Fl v， THEN x ·( t) = Alx( t) + Blu( t) ， y( t) = Clx( t) ， l∈L = 1，2，…，m { . 其中，Rl 为第 l 条模糊推理规则，m 为模糊规则的数 目，Fl j( j = 1，2，…，v) 为模糊集合，x( t) ∈Rn 为状态 向量，u( t) ∈Rp 为输入向量，y( t) ∈Rq 为输出向 量，( Al，Bl，Cl ) 为第 l 个局部模型的矩阵． z( t) = ［z1，z2，…，zv ］为系统的可测变量，例如 z( t) 可以取 为状态变量． 把局部模型 x ·( t) = Alx( t) + Blu( t) ， {y( t) = Clx( t) 简记为 Ml，l∈L = 1，2，…，m． 在此基础上设计出多 个局部控制器 Cl，其输出为局部控制量 ul ( t) = Klx( t) ，Kl 为局部控制器的反馈增益矩阵，全局控 制量由下式决定: u( t) = ∑ m l = 1 μl ( t) ul ( t) . 加权系数 μl，l = 1，2，…，m 是归一化的隶属度函数， 满足以下条件: μl = ξl ( z) ∑ m j = 1 ξj ( z) ，ξl ( z) = ∏ v i = 1 Fl i ( zi ) ， μl≥0，∑ m l = 1 μl = 1. 式中，Fl i ( zi ) 为 zi 在模糊集 Fl i 中的隶属度． 这类模糊系统采用多个局部线性系统模型实现 整体上的非线性，形式简单，易于工程应用． 用如图 1 所示的系统方框图来描述这类模糊控 制系统的结构特征． 其中，ΣP 为未知的被控对象， 这里将状态空间模型等同于传递函数模型看待． 图 1 T--S 模糊控制系统的结构图 Fig． 1 Structure block diagram of a T-S model based fuzzy control system 从图 1 可以看出基于 T--S 模型的模糊控制系 统与加权多模型自适应控制系统非常相似，实际上 它与增益调度控制也存在结构相似性． 图 1 中，μl，l = 1，2，…，m 实际上代表了对被控 对象的“辨识”，考虑被控对象为未知确定性的 LTI 系统，若模糊规则设计合理，那么设计各个子控制器 所针对的局部模型中必定包含被控对象的真实模 型，不妨记为 Ml，而且该模型所对应的归一化隶属 度函数 μl 将最终取值为“1”，而其余的归一化隶属 度函数 μi，i≠l 将最终取值为“0”． 在此条件下，为 了便于分析和理解，人为构造图 1 所示系统的输入 输出意义上的等价系统，即所谓的虚拟等价系统，如 图 2 所示． 图中，ul ( t) 为 Cl 产生的输出，u( t) 同图 1，Δu( t) = u( t) － ul ( t) ． 图 2 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 Fig． 2 Virtual equivalent system for the T-S model based fuzzy control system 1. 2 主要结果 定理 1 针对未知确定性被控对象 P( LTI) 的 T--S 模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 稳定的: ( 1) 模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象 的不确定性，即被控对象的真实模型包含在 m 个局 部模型当中; ( 2) 模糊规则的隶属度函数能够识别或辨识真 实的对象模型，即对应于真实模型的归一化隶属度 函数最终为 1，其余为 0; ·208·
第2期 张维存等：TS模糊控制系统的虚拟等价系统及稳定性判据 ·209· (3)每个局部控制器镇定它所对应的局部模型. ‖x()L0. 证明由定理的三个条件，不妨记被控对象的 x(t)Il 真实模型为M,相应地有：4→l:,0,i∈L,i≠l.在 因此原假设|x()‖无界不能成立，于是证得 此条件下，推导图2中△u()=()-山(t)的性质： ‖x(t)l<e, 从而 =(0-u)=,K,()- x(t)→x(), 1Kx(t)+…+K(t)+…+uK.x(t)- 即虚拟等价系统全局渐近稳定，进而T-$模糊控制 Kx(t)=o(x(t)). 系统全局渐近稳定 接下来，由于如图2所示虚拟等价系统是一个线性 证毕. 定常系统，故可分解为图3和图4两个子系统 2非线性时变被控对象的模糊控制系统稳 ' 定性 图3虚拟等价系统的分解子系统【 2.1TS模糊控制系统的虚拟等价系统 Fig.3 Decomposed subsystem I of the virtual equivalent system 控制系统的描述同L.1,被控对象没有直接约束， 可以考虑为任意的非线性时变对象，但是假定其真实 △( +M, 模型可以被多个局部线性时不变模型所覆盖或逼近. 用如图5所示的系统方框图来描述这类模糊 控制系统的结构特征，其中，∑为未知的被控 图4虚拟等价系统的分解子系统Ⅱ 对象 Fig.4 Decomposed subsystem II of the virtual equivalent system 图1和图2系统的初始状态为x(0),图3和图 4系统的初始状态分别为x(0)和x”"(0),且满足 0 x(t x(0)=x(0)+x"(0),由条件(3)可知，如图3所示 系统为全局渐近稳定系统，即存在c>0,入>0，使得 lx()‖≤ce“Ix(0)I. 对于图4所示系统，由于闭环系统稳定， 图5T-S模糊控制系统的结构图 必有 Fig.5 Structure block diagram of a T model based fuzzy control system Ix"(t)‖=O(I△u(t)I), 且输入信号满足 图5中，若模糊规则设计合理，其所考虑的局部 △()=o(Ix(t)I）). 模型集合必定包含被控对象在足够多的工作点的线 因此有 性模型，而且归一化隶属度函数以：，i∈L在控制系 x"()=o(‖x()I), 统工作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型. 由线性叠加定理有 在此条件下，构造图5所示的模糊控制系统的输入 x(t)=x(t)+x"(t), 输出等价系统一虚拟等价系统如图6所示.图中： 进一步得到 u:(t)为C:产生的输出：u(t)同图1；△u(t)= 0≤Ix()I≤Ix(t)+Ix"(t)I= u(t)-u:();xn(t)为局部模型M,i∈L所产生的 Ix)+o((I). 状态变量；e(t)=x(t)-xm(t)为用多个局部线性模 下面用反证法证明‖x()I有界，即‖x()‖< 型M,i∈L逼近未知对象∑m0所产生的误差.图6 ∞，为此反设‖x()!无界，因此必有无穷子列 与图2的本质不同在于，图6从结构上来说是一个 ‖x(t)‖→∞，且满足 线性切换系统，而图2是一个线性定常系统 0≤‖x(t)‖≤Ix()‖+o(lr(t)l). 2.2主要结果 上式两端同除以‖x()‖，得到 定理2针对非线性时变未知被控对象Σ)的 0≤‖r月LsIx)1 TS模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 Ixwi≤I)T+o(1). 稳定的： 由于‖x()‖有界，所以上式意味着一个错误结论 (1)模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象
第 2 期 张维存等: T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统及稳定性判据 ( 3) 每个局部控制器镇定它所对应的局部模型． 证明 由定理的三个条件，不妨记被控对象的 真实模型为 Ml，相应地有: μl→1; μi→0，i∈L，i≠l． 在 此条件下，推导图2 中 Δu( t) = u( t) － ul ( t) 的性质: Δu( t) = u( t) － ul ( t) = ∑ m i = 1 μiKix( t) － Klx( t) = μ1K1 x( t) + … + μlKlx( t) + … + μm Km x( t) － Klx( t) = o( ‖x( t) ‖) ． 接下来，由于如图 2 所示虚拟等价系统是一个线性 定常系统，故可分解为图 3 和图 4 两个子系统． 图 3 虚拟等价系统的分解子系统 Ⅰ Fig． 3 Decomposed subsystem Ⅰ of the virtual equivalent system 图 4 虚拟等价系统的分解子系统 Ⅱ Fig． 4 Decomposed subsystem Ⅱ of the virtual equivalent system 图 1 和图 2 系统的初始状态为 x( 0) ，图 3 和图 4 系统的初始状态分别为 x' ( 0) 和 x″( 0) ，且满足 x( 0) = x'( 0) + x″( 0) ，由条件( 3) 可知，如图 3 所示 系统为全局渐近稳定系统，即存在 c ＞ 0，λ ＞ 0，使得 ‖x'( t) ‖≤ce － λt ‖x'( 0) ‖． 对于 图 4 所 示 系 统，由 于 闭 环 系 统 稳 定， 必有［13］ ‖x″( t) ‖ = O( ‖Δu( t) ‖) ， 且输入信号满足 Δu( t) = o( ‖x( t) ‖) . 因此有 x″( t) = o( ‖x( t) ‖) ， 由线性叠加定理有 x( t) = x'( t) + x″( t) ， 进一步得到 0≤‖x( t) ‖≤‖x'( t) ‖ + ‖x″( t) ‖ = ‖x'( t) ‖ + o( ‖x( t) ‖) . 下面用反证法证明‖x( t) ‖有界，即‖x( t) ‖ ＜ ∞ ，为此反设‖x ( t) ‖无界，因此必有无穷子列 ‖x( tk ) ‖→∞ ，且满足 0≤‖x( tk ) ‖≤‖x'( tk ) ‖ + o( ‖x( tk ) ‖) . 上式两端同除以‖x( tk ) ‖，得到 0≤‖x( tk ) ‖ ‖x( tk ) ‖≤‖x'( tk ) ‖ ‖x( tk ) ‖ + o( 1) . 由于‖x'( tk ) ‖有界，所以上式意味着一个错误结论 ‖x( tk ) ‖ ‖x( tk ) ‖→0. 因此原假设‖x( t) ‖无界不能成立，于是证得 ‖x( t) ‖ ＜ ∞ ， 从而 x( t) →x'( t) ， 即虚拟等价系统全局渐近稳定，进而 T--S 模糊控制 系统全局渐近稳定． 证毕． 2 非线性时变被控对象的模糊控制系统稳 定性 2. 1 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 控制系统的描述同 1. 1，被控对象没有直接约束， 可以考虑为任意的非线性时变对象，但是假定其真实 模型可以被多个局部线性时不变模型所覆盖或逼近． 用如图 5 所示的系统方框图来描述这类模糊 控制系统的结构特征，其中，ΣP( t) 为未知的被控 对象． 图 5 T--S 模糊控制系统的结构图 Fig． 5 Structure block diagram of a T-S model based fuzzy control system 图 5 中，若模糊规则设计合理，其所考虑的局部 模型集合必定包含被控对象在足够多的工作点的线 性模型，而且归一化隶属度函数 μi，i∈L 在控制系 统工作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型． 在此条件下，构造图 5 所示的模糊控制系统的输入 输出等价系统—虚拟等价系统如图 6 所示． 图中: ui ( t) 为 Ci 产生的输出; u ( t) 同图 1; Δu ( t) = u( t) － ui ( t) ; xm ( t) 为局部模型 Mi，i∈L 所产生的 状态变量; e( t) = x( t) － xm ( t) 为用多个局部线性模 型 Mi，i∈L 逼近未知对象 ΣP( t) 所产生的误差． 图 6 与图 2 的本质不同在于，图 6 从结构上来说是一个 线性切换系统，而图 2 是一个线性定常系统． 2. 2 主要结果 定理 2 针对非线性时变未知被控对象 ΣP( t) 的 T--S 模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 稳定的: ( 1) 模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象 ·209·
◆210· 北京科技大学学报 第34卷 △u(O 3 结论 u() u(t) x() 本文用虚拟等价系统的概念和方法分析基于 T-S模型的模糊控制系统的稳定性，所得到的判据 图6TS模糊控制系统的虚拟等价系统 说明，模糊控制系统的稳定性主要取决于三个方面： Fig.6 Virtual equivalent system for the T-$model based fuzzy con- 第一，模糊规则的局部模型集合能够覆盖被控对象 trol system 的不确定性：第二，模糊规则的归一化隶属度函数应 的不确定性，即被控对象的真实模型可以用m个局 该能够识别或辨识真实的对象模型：第三，每个局部 部模型所逼近，且逼近误差‖e(t)‖0： 控制器镇定相应的局部模型. (2)归一化隶属度函数4：，i∈L在控制系统工 作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型： 参考文献 (3)每个局部控制器镇定它所对应的局部模 [1]Takagi T.Sugeno M.Fuzzy identification of systems and its appli- 型，且局部模型之间的切换间隔足够长. cations to modeling and control.IEEE Trans Syst Man Cybern. 1985.15(1):116 证明首先将如图6所示系统分解为两个子系 [2]Feng G.A survey on analysis and design of model-based furzy 统，分别如图7和图8所示.用数学归纳法可以证 control systems.IEEE Trans Fuzzy Syst,2006.14(5):676 明分解前后的等价性（细节省略）· [3]Tanaka K,Sugeno M.Stability analysis and design of fuzzy control systems.Fuzzy Sets Syst.1992,45(2):135 △u( [4]Cao SG.Rees N W.Feng G.Stability analysis and design for a x' class of continuous-ime fuzzy control systems.Int Control, u' 1996.646):1069 图7分解子系统I [5]Cao S G,Rees N W.Feng G.H control of nonlinear continuous- Fig.7 Decomposed subsystem I of the virtual equivalent system time systems based on dynamical fuzzy models.Int I Syst Sci. 1996.27(9):821 [6]Cao S G,Rees N W.Feng G.Analysis and design for a class of complex control systems:Part II.Fuzzy controller design.Auto- matica,1997,33(6):1029 [7]Choi D J.Park P.H state-feedback controller design for dis- 图8分解子系统Ⅱ crete-ime fuzzy systems using fuzzy weighting-dependent Lyapunov Fig.8 Decomposed subsystem II of the virtual equivalent system functions.IEEE Trans Fuzzy Syst,2003,11(2):271 [8]Guerra T M,Vermeiren L.LMI-based relaxed nonquadratic stabi- 第一步，分析图7子系统，由定理所给条件(2) lization conditions for nonlinear systems in the Takagi-Sugeno's 和(3)的前半部分，若假想将被控对象和相应的控 form.Automatica,2004.40(5):823 [9]Tanaka K,Hori T.Wang H O.A multiple Lyapunov function ap- 制器“冻结”在某个工作点，即M:和C:的下标“冻 proach to stabilization of fuzzy control systems.IEEE Trans Fuzy 结”不变，那么图7子系统等价于如图2所示系统， st,2003,11(4):582 是一个全局渐近稳定的系统 [10]Wang Y.Sun Z Q.Sun F C.Stability analysis and control of 在此基础上，由定理条件(3)的后半部分知道， discrete-time fuzzy systems:a fuzzy Lyapunoy function approach /Proceeding of 5th Asian Control Conference,Vol.3.Mel- 如图7所示系统是一个慢切换系统，且各个组成系 boumne,2004:1855 统是稳定的线性系统，因此根据切换系统理论14-] [11]Zhou S S,Feng G.Lam J.et al.Robust H control for discrete- 可以得出结论：如图7所示子系统是全局渐进稳定 time fuzzy systems via basis-dependent Lyapunov functions. 的，即x(t)全局渐近稳定. 1 nf Sci,2005,174(3/4):197 [12]Zhang W C.On the stability and convergence of self-tuning con- 第二步，再看如图8所示子系统，由于其为闭环 trolirtual equivalent system approach.Int Control.2010.83 稳定系统，故有 (5):879 lx"(t)‖=O(le(t)I), [13]Desoer C A.Vidyasagar M.Feedback Systems:Input-Output 进一步考虑到定理条件(1)，即‖e(t)‖→0，有 Properties.New York:Academic Press,1975 x"()0,进而有x()=x(t)+x"(t)→x(t),即 [14]Liberzon D,Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Syst Mag,1999.19(5):59 TS模糊控制系统全局渐进稳定. [15]Shorten R,Wirth F.Mason 0,et al.Stability criteria for 证毕. switched and hybrid systems.SIAM Rev.2007.49(4):545
北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 图 6 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 Fig． 6 Virtual equivalent system for the T-S model based fuzzy control system 的不确定性，即被控对象的真实模型可以用 m 个局 部模型所逼近，且逼近误差‖e( t) ‖→0; ( 2) 归一化隶属度函数 μi，i∈L 在控制系统工 作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型; ( 3) 每个局部控制器镇定它所对应的局部模 型，且局部模型之间的切换间隔足够长． 证明 首先将如图 6 所示系统分解为两个子系 统，分别如图 7 和图 8 所示． 用数学归纳法可以证 明分解前后的等价性( 细节省略) ． 图 7 分解子系统Ⅰ Fig． 7 Decomposed subsystem Ⅰ of the virtual equivalent system 图 8 分解子系统Ⅱ Fig． 8 Decomposed subsystem Ⅱ of the virtual equivalent system 第一步，分析图 7 子系统，由定理所给条件( 2) 和( 3) 的前半部分，若假想将被控对象和相应的控 制器“冻结”在某个工作点，即 Mi 和 Ci 的下标“冻 结”不变，那么图 7 子系统等价于如图 2 所示系统， 是一个全局渐近稳定的系统． 在此基础上，由定理条件( 3) 的后半部分知道， 如图 7 所示系统是一个慢切换系统，且各个组成系 统是稳定的线性系统，因此根据切换系统理论［14--15］ 可以得出结论: 如图 7 所示子系统是全局渐进稳定 的，即 x'( t) 全局渐近稳定． 第二步，再看如图 8 所示子系统，由于其为闭环 稳定系统，故有 ‖x″( t) ‖ = O( ‖e( t) ‖) ， 进一步考虑到定理条件( 1) ，即‖e ( t) ‖→0，有 x″( t) →0，进而有 x( t) = x'( t) + x″( t) →x'( t) ，即 T--S模糊控制系统全局渐进稳定． 证毕． 3 结论 本文用虚拟等价系统的概念和方法分析基于 T--S 模型的模糊控制系统的稳定性，所得到的判据 说明，模糊控制系统的稳定性主要取决于三个方面: 第一，模糊规则的局部模型集合能够覆盖被控对象 的不确定性; 第二，模糊规则的归一化隶属度函数应 该能够识别或辨识真实的对象模型; 第三，每个局部 控制器镇定相应的局部模型． 参 考 文 献 ［1］ Takagi T，Sugeno M． Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control． IEEE Trans Syst Man Cybern， 1985，15( 1) : 116 ［2］ Feng G． A survey on analysis and design of model-based fuzzy control systems． IEEE Trans Fuzzy Syst，2006，14( 5) : 676 ［3］ Tanaka K，Sugeno M． Stability analysis and design of fuzzy control systems． Fuzzy Sets Syst，1992，45( 2) : 135 ［4］ Cao S G，Rees N W，Feng G． Stability analysis and design for a class of continuous-time fuzzy control systems． Int J Control， 1996，64( 6) : 1069 ［5］ Cao S G，Rees N W，Feng G． H∞ control of nonlinear continuoustime systems based on dynamical fuzzy models． Int J Syst Sci， 1996，27( 9) : 821 ［6］ Cao S G，Rees N W，Feng G． Analysis and design for a class of complex control systems: Part Ⅱ． Fuzzy controller design． Automatica，1997，33( 6) : 1029 ［7］ Choi D J，Park P． H∞ state-feedback controller design for discrete-time fuzzy systems using fuzzy weighting-dependent Lyapunov functions． IEEE Trans Fuzzy Syst，2003，11( 2) : 271 ［8］ Guerra T M，Vermeiren L． LMI-based relaxed nonquadratic stabilization conditions for nonlinear systems in the Takagi-Sugeno's form． Automatica，2004，40( 5) : 823 ［9］ Tanaka K，Hori T，Wang H O． A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems． IEEE Trans Fuzzy Syst，2003，11( 4) : 582 ［10］ Wang Y，Sun Z Q，Sun F C． Stability analysis and control of discrete-time fuzzy systems: a fuzzy Lyapunov function approach / / Proceeding of 5th Asian Control Conference，Vol． 3． Melbourne，2004: 1855 ［11］ Zhou S S，Feng G，Lam J，et al． Robust H∞ control for discretetime fuzzy systems via basis-dependent Lyapunov functions． Inf Sci，2005，174( 3 /4) : 197 ［12］ Zhang W C． On the stability and convergence of self-tuning control-virtual equivalent system approach． Int J Control，2010，83 ( 5) : 879 ［13］ Desoer C A，Vidyasagar M． Feedback Systems: Input-Output Properties． New York: Academic Press，1975 ［14］ Liberzon D，Morse A S． Basic problems in stability and design of switched systems． IEEE Control Syst Mag，1999，19( 5) : 59 ［15］ Shorten R，Wirth F，Mason O，et al． Stability criteria for switched and hybrid systems． SIAM Rev，2007，49( 4) : 545 ·210·