二、氢原子的量子力学处理 用薛定谔方程求解氢原子中电子的能级和本 征波函数,是量子力学创立初期最令人信服的 成就。由于求解过程比较复杂,下面只介绍求解 的思路和步骤,列出结果并讨论物理意义。 质子的质量比电子的质量大的多,在氢原子 中可近似认为质子静止而电子运动,因此电子 的能量就代表整个氢原子的能量。电子受质子 的库仑力作用,势能函数为 U(r)=-4丌6
二、氢原子的量子力学处理 用薛定谔方程求解氢原子中电子的能级和本 征波函数，是量子力学创立初期最令人信服的 成就。 质子的质量比电子的质量大的多，在氢原子 中可近似认为质子静止而电子运动，因此电子 的能量就代表整个氢原子的能量。电子受质子 的库仑力作用，势能函数为 r e U r 0 2 4 ( ) = − 由于求解过程比较复杂，下面只介绍求解 的思路和步骤，列出结果并讨论物理意义
在以质子的位置为原点的直角坐标系中,电 子的能量本征方程为 h2(02020 y?|+U)/=Ey 十 2u ax a 写成球坐标系中的形式 n220e2 LZ Y=Ey r2Oror4丌6 其中力为轨道角动量平方算符。其本征值问题 的解是已知的
在以质子的位置为原点的直角坐标系中，电 子的能量本征方程为 U r E x y z = + + + − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 写成球坐标系中的形式 E r L r e r r r r 2 + = − − 2 2 0 2 2 2 2 ˆ 2 4 其中 为轨道角动量平方算符。其本征值问题 的解是已知的。 2 L ˆ
分离变量,设Y=R(r)Y(,q),代入,得 两个方程: 球谐函数 LYm(6,)=l(+1h-Ym(8,p) D的本征方程,本征值 D2=l(+1)2,=0,1,2, L=√(+1)—“角动量的大小” ar ar heter 0,02 l(+1)R(r)=0 径向方程,可解出能量本征值E和Rn(r)
( , ) ( 1) ( , ) ˆ 2 2 LYl m = l l + Yl m ( 1) ( ) 0 4 0 2 2 2 = − + + + l l R r r e E r r r r 2 2 分离变量，设 = R(r)Y( ,) ，代入，得 两个方程： ⎯ 径向方程，可解出能量本征值En和Rnl(r)。 ⎯ L ˆ2 的本征方程，本征值 L 2 = l(l +1) 2 ,l = 0,1,2, L = l(l +1) ⎯ “角动量的大小” 球谐函数
1、氢原子的能级和本征波函数 能级 E 32z2c2h2m2≈-136 与实验结 e 果完全符 n 本征波函教: m(,0,q)=Rn(r)mn(0,q) 球谐函数 l=0,1,2 n m=-l,-l+1,…,0,…,l-1,L n主量子数,l—角量子数,m—磁量子数
1,2,3, (e V) 1 13.6 1 32 2 2 2 2 0 2 4 = = − − n n n e En 本征波函数： 与实验结 果完全符 合！ n⎯主量子数， m l l l l l n n nlm r Rnl r Yl m , 1, ,0, , 1, 0,1,2, , 1 1,2,3, ( , , ) ( ) ( , ) = − − + − = − = = 1、氢原子的能级和本征波函数 l ⎯ 角量子数，m ⎯ 磁量子数。 球谐函数 能级：
当n=1,2,3时的Rm: 2 2r2 r 3a e 3√3 3/2 3a27(a 8 R -r/2a -r/3a 2 2a R31 27√6a 3/2 6a R -r/2a 21 R r/3a 2√6m32a 38130a32(a 其中 2 4兀Enh ≈0.05nm 2 e 称为玻尔半径
r a r a r a r a r a r a e a r a e R a r a R e a r a e R a r a R e a r a r a e R a R 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 1 3 3 2 3 1 2 3 2 2 0 3 2 3 2 1 0 3 2 3 0 81 30 4 2 6 1 6 1 27 6 8 2 1 2 1 27 2 3 2 1 3 3 2 2 − − − − − − = = = − = − = = − + 当n =1,2,3时的Rnl ： 0.05nm 4 2 2 0 = e a 称为玻尔半径。 其中