统计物理学 - 费米系统与理想费米气体

上式实际只是对参数α给出了一个定义，要得出M和R的关系我们需要把P的合适表达式代入。讨论以下几种情况：1．电子气温度T>%，这时电子气可看作经典玻尔兹曼气体，有β=等-盐8元m,R代入后得：R=αM"，这不适用于白矮星。3mkgT2．电子气密度很低，非相对论动力学适用（X<<l）。把前面公式代入得：MWR-4K5 K3.电子气密度很高，相对论效应很重要（x>>I）。把前面公式代入得：M4/3,M?M2/3R4R4R2/h=R= M2/3 /1-(M/Mo)2/3,M。=R64gym取α=1，我们发现M。~10g~Mmm这个情形有一个预言，即白矮星质量不能超过M。更精确的考虑发现M。=1.4M，这已被天文观察证实。M0Mo

上式实际只是对参数α给出了一个定义，要得出M和R的关系我们需要把 的合适表达式代入。 讨论以下几种情况： 1. 电子气温度 ：这时电子气可看作经典玻尔兹曼气体，有 代入后得: ，这不适用于白矮星。 2. 电子气密度很低，非相对论动力学适用（ ）。把前面公式代入得： 3. 电子气密度很高，相对论效应很重要（ ）。把前面公式代入得： 取α＝1，我们发现 这个情形有一个预言，即白矮星质量不能超过 ， 更精确的考虑发现 ，这已被天文观察 证实。 T  TF P0 0 3 8 3 R M m k T k T P p B B   = = k T m R M B p  3 2 = xF 1 . 5 1/3 4 K K M R  = xF 1 3/ 2 2 3/ 2 3/ 2 0 2/3 0 2/3 4 2 2 2/3 4 4/3 64 27 1 ( / ) ,              =        = − = =        − mpc K K R M M M M R M K R M R M K     M  g  Msun 33 0 10 M0 M Msun 1.4 0 =

7.3朗道抗磁性抗磁性指的是磁化率x<0，而顺磁性指的是磁化率x>0。在外磁场中对物质磁性起作用的因素有两个：其一是电子自旋倾向于平行磁场方向排列，这产生顺磁性；其二是在磁场中电子受洛伦兹力产生圆周轨道运动，其运动轨道是量子化的，这导致抗磁性。朗道能级：在磁场中运动的非相对论性电子的哈密顿量为(p+=a)H'-HO.H2meeh其中=是波尔磁子，是泡利矩阵，A是矢势。上式第一项与抗磁性有关，第二项与顺磁112性有关，遗里我们只考虑第一项。再设磁场为沿z轴的均匀磁场，则A可取为A=(-Hy,0,0)因此哈密顿量为：A=(p+e-[8-+内+2mC设波函数为：y(x,y,z)=e(kx+k=)f(y),代入到薛定鄂方程得Eo- o-roh'k?=eHo=hck,6=6-Yo =mc2meH我们得到了一个振动中心在%，固有频率为谐振子，其能量本征值为：(P)-+ha(+)(j = 0,1,2,...)2其中P，=hk，，这称为朗道能级

7.3 朗道抗磁性 抗磁性指的是磁化率χ<0，而顺磁性指的是磁化率χ>0。 在外磁场中对物质磁性起作用的因素有两个：其一是电子自旋倾向于平行磁场方向排列，这 产生顺磁性；其二是在磁场中电子受洛伦兹力产生圆周轨道运动，其运动轨道是量子化的， 这导致抗磁性。 朗道能级： 在磁场中运动的非相对论性电子的哈密顿量为： 其中 是波尔磁子，σ是泡利矩阵，A是矢势。上式第一项与抗磁性有关，第二项与顺磁 性有关，这里我们只考虑第一项。再设磁场为沿z轴的均匀磁场，则A可取为A=(-Hy,0,0) 因此哈密顿量为： 设波函数为： 代入到薛定鄂方程得 我们得到了一个振动中心在 ，固有频率为 谐振子，其能量本征值为： 其中 ，这称为朗道能级。 A H c e p m H      −        = + 0 2 2 1 mc e 2 0   =         + +        = −      = + 2 2 2 2 2 1 2 1 ˆ x py pz y c eH p m A c e p m H   ( , , ) ( ), ( ) x y z e f y i k x k z x + z  = . 2 , , ( ) ( ) ( ), 2 1 2 1 2 2 0 0 2 0 2 0 2 m k k eH c y mc eH p m y y f y f y m z x y   = =  = − =        + −      0 y 0  ( 0,1,2,) 2 1 2 ( , ) 0 2  =      = + j + j m p p j z  z  z z p = k

朗道能级与k无关，因此能级的简并度应等于k的允许值的个数，k，的取值又必须保证振动中心y。=hck/(eH)在容器内。令系统处于一个边长为L的立方体内，由周期性边界条件得k的允许值为2m,/L(n,=0,1,+2)，再考虑yE[0,L)得k，的取值数（简并度）为g=eHL/(hc)由于相邻两个能级间距为hの=heH(mc)故能级密度为g/(h）=(2mL)/h2.这与自由粒子能级密度相同。磁场只是把准连续能谱变为了离散能谱（见右图）。H>0磁化率：H=0巨配分函数为：三=(1+ze-c)j=sj=4这里入为量子数的集合，元=（p.,j,α）,α=12..g，因此J=3In+e(]pgn+e-()j=2α=l j=0 p:j-1heH1平均粒子数为：N=2dp1+ze-M(P~Vmcteh4.j=023hmc离散能谱准连续能谱高温极限：上面N的表达式中，为确保N有限，要求z>0。把In三按z的幂展开，只保留到一阶，得hoo2zgLXdp.e-Be(p)_zgLzgL1In三~X2kgTh2 1-e6元2x/=0amehot由磁化强度M=k得磁化率为：aH3k,TaH2mc3k,Tu2mc这为一个负值

朗道能级与 无关，因此能级的简并度应等于 的允许值的个数， 的取值又必须保证振动中 心 在容器内。 令系统处于一个边长为L的立方体内，由周期性边界条件得 的允许值为 ，再考虑 得 的取值数（简并度）为 由于相邻两个能级间距为 故能级密度为 这与自由粒子能级密度相同。磁场只是把准连续能谱变为了 离散能谱（见右图）。 磁化率： 巨配分函数为： 这里λ为量子数的集合， ，因此 平均粒子数为： 高温极限： 上面N的表达式中，为确保N有限，要求z→0。把lnΞ按z的幂展开，只保留到一阶，得 由磁化强度 ，得磁化率为： 这为一个负值。 x k x k x k /( ) 0 y = ckx eH x k 2 / ( = 0,1,2, ) nx L nx [0, ] y0  L x k /( ). 2 g = eHL hc /( ) 0 = eH mc /( ) (2 )/ . 2 2 g 0 = mL h ( ) −  = +    1 ze p j g z  = { , ,}, =1,2,,     ( , ) 1 0 0 ( , ) ln ln 1 ln 1 p j j z g j p p j z z z dp g ze h L ze    −  =  − =  = −  = + =  +   ( , ) 3 0 0 1 2 1   z V ze dp h gL N p j j z z  + = −  =   . 2 , 6 1 2 1 1 2 ln 0 2 2 ( , ) 0 0 k T x x x zgL e zgL e dp e h zgL B x x p j j z z              − −   = − − −  =   T V z B H V M k T , , ln                = 2 2 3 3 2 1 3 2 1         −       −   = mc e mc k T e k T z H M B B     