(7)|z|>2,且|x-2|<2: (8)1mz>1,且|z|<2; (9)y<1m2≤y2； ao|>1 20.证明：复平面上的直线方程可以写成 a2十a=c(a≠0，a为复常数，c为实常数). 21.求下列方程(t为实参数)所给出的曲线： (1)x=(1十i)t(-∞<t<十∞)； (2)z=acost-+ibsint(0≤t≤2π，a>0,b>0); (3)=什（≠0）： (4)x=f+是(t>0). 22.试写出方程x2十2x十y2=1的复数形式
"2#%$%-$%且%$&$%)$$ "8#*+$-!%且%$%)$$ "=##!)*+$'#$$ "!,# $&! $'! -!! $," 证明!复平面上的直线方程可以写成 &$$'&$$%."&#,%&为复常数%.为实常数#! $!" 求下列方程"@为实参数#所给出的曲线! "!#$%"!'##@"&B)@)'B#$ "$#$%+9:;@'#,;#<@",'@'$!%+-,%,-,#$ "-#$%@'# @ "@#,#$ ".#$%@$'# @$ "@-,#! $$" 试写出方程"$'$"'#$%!的复数形式! $$
第2章复变数函数 本章先引入复变数函数、极限、连续和导数的概念，然后讨论 复变函数论的主要研究对象—解析函数，这类函数在理论和实 际问题中都有着广泛的应用，接着介绍一些常用的复初等函数及 它们的基本性质. 2.1复变数函数 定义1设E是复平面上的一个点集，若对于E中的每一点 ,按一定规律有一个复数心与之对应，则称在E上定义了一个复 单值函数，记作w=f(z)(x∈E):如果对于自变量：的一个值，按 规律与之对应的0不止一个，则称=f(z)是多值函数. 例如，0=小，0=，fe)=(:≠0)都是单值函数：而 =(n为自然数，n≥2)，w=Arg之（≠0）都是多值函数.在以 下的讨论中，如不作特殊声明，所谈到的函数都是单值函数. 设z=x十iy,=u十iw,则一个复函数w=f(z)相当于两个以 x,y为自变量的实二元函数： u=u(x,y),v=v(x,y). 例如函数0=z2,令z=x十iy,=u十iw,则由 +iw=(x+iy)2=(x2-y2)+i2xy, u=x2-y2,v=2xy. 为了赋予复变数函数w=f(z)以几何意义，我们取两张复数 平面：？平面和心平面.对于x平面上点集E中的每个点，我们在 平面上描出相应的点w(即f(z).当之在之平面上跑遍E时，心 就相应地跑遍平面上的一个点集E'(图2.1).这样一来，函数心 23
第$章 复变数函数 本章先引入复变数函数,极限,连续和导数的概念!然后讨论 复变函数论的主要研究对象///解析函数!这类函数在理论和实 际问题中都有着广泛的应用!接着介绍一些常用的复初等函数及 它们的基本性质! $"! 复变数函数 定义! 设>是复平面上的一个点集!若对于> 中的每一点 $!按一定规律有一个复数0 与之对应!则称在> 上定义了一个复 单值函数!记作0%B"$#"$">#&如果对于自变量$的一个值!按 规律与之对应的0 不止一个!则称0%B"$#是多值函数! 例如!0%%$%!0%$$!B"$#%! $ "$#,#都是单值函数&而 0%) 槡$ ")为自然数!)2$#!0%564$ "$#,#都是多值函数!在以 下的讨论中!如不作特殊声明!所谈到的函数都是单值函数! 设$%"'##!0%C'#D!则一个复函数0%B"$#相当于两个以 "!#为自变量的实二元函数' C&C""!##! D&D""!##! !!例如函数0%$$!令$%"'##!0%C'#D!则由 C'#D& ""'###$ & ""$ (#$#'#$"#! 有 C&"$ (#$! D&$"#! !!为了赋予复变数函数0%B"$#以几何意义!我们取两张复数 平面'$平面和0 平面!对于$平面上点集> 中的每个点$!我们在 0 平面上描出相应的点0"即B"$##!当$在$平面上跑遍> 时!0 就相应地跑遍0 平面上的一个点集>E"图$"!#!这样一来!函数0 -$
=f(x)就可以看成是一个变换（或映照），它把之平面上的一个点 集E变换成平面上的一个点集E,E常记作f(E).在映照= f()下，6=f(o)及E=f(E)分别称为点0及点集E的像，而 点及点集E则分别称为o及E的原像， ◆y w=f代z) 图2.1 对于单值函数=f(),每个点之只能对应一个像点，但是 一个像点的原像却可能不止一个.例如函数=2，点=士1的像 点都是=1，即点=1有两个原像=1和之=一1. 定义2设w=f()是集合E上的单值函数，如果对于E中 的任意两个不同点1及2，它们在（函数值）集合E中对应的点 心=f(1)及2=f(2)也不同，则称=f(x)是集E中的一个 一映照（或双方单值映照）.或者说，=f()双方单值地把集E映 成集E 上述概念（即把一个复变函数看成一个变换）虽然非常简单， 可是在复变函数理论的发展中却起着重要作用.下面举几个具体 例子来说明这些概念 例1考虑函数w=ax,其中，a是不为零的复常数.显然，这 是一个把整个之平面映为整个心平面的一一映照.依我们对∞所 规定的运算，它把：平面上的无穷远点映为心平面上的无穷远点， 因此它把闭之平面双方单值地映为闭平面， 令 a =r(cos0+isin), 品
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则函数w=ax是由下面两个函数复合而成的： w=(cos0+isin0)z, w=rO. 如果把x,w,心都看作是同一个平面 上的点，由于w与x的模相同，而ω 个y 的辐角等于≈的辐角加0，因此上面 的第一个映照是之平面上的一个旋 转.由于w与w有相同的辐角，心的 模是ω的模的r倍，因此第二个映照 是一个以原点为中心的相似变换（图 0 2.2).综上所述，映照w=a2是由 个旋转映照和一个相似映照复合而 图2.2 得的. 例2求下列点集在映照心=2下的像 1)平行于坐标轴的直线： 2)双曲线族x2-y2=a及2xy=c2 3)半圆环域：1<|z<2,0<arg<元 解1)先求直线x=q的像令=x十iy,=u十iu,则 u=x2-y2,0=2xy. 将x=c1代入上面两式，得 u=62-y,=241y 从这两个方程中消去y,得（当c1≠0时） 这是心平面上一族开口朝左的抛物线.此外，易见？平面上的虚轴 x=0被变换成 u=一3y2,=0, 这是心平面上的负实轴（包括原点）.同样道理，它把y=c变换成 u=x-c2,v=2cx, 消去x,得 u=若-心c≠0. 25
则函数0%+$是由下面两个函数复合而成的' )& "9:;"'#;#<"#$! 0 &1)! 图$'$ 如果把$!)!0 都看作是同一个平面 上的点!由于)与$ 的模相同!而) 的辐角等于$ 的辐角加"!因此上面 的第一个映照是$平面上的一个旋 转!由于0 与) 有相同的辐角!0 的 模是) 的模的1倍!因此第二个映照 是一个以原点为中心的相似变换"图 $"$#!综上所述!映照0%+$是由一 个旋转映照和一个相似映照复合而 得的! 例$ 求下列点集在映照0%$$ 下的像' !#平行于坐标轴的直线& $#双曲线族"$&#$%.! 及$"#%.$& -#半圆环域'!)%$%)$!,)764$)!! 解 !#先求直线"%.! 的像!令$%"'##!0%C'#D!则 C&"$ (#$! D&$"#! 将"%.! 代入上面两式!得 C&.! $ (#$! D&$.!#! 从这两个方程中消去#!得"当.!#,时# C&.! $ ( D$ .! $! 这是0 平面上一族开口朝左的抛物线!此外!易见$平面上的虚轴 "%,被变换成 C&(#$! D&,! 这是0 平面上的负实轴"包括原点#!同样道理!它把#%.变换成 C&"$ (.$! D&$."! 消去"!得 C& D$ .$ (.$ ".#,#! 0$
这是心平面上一族开口朝右的抛物线，而实轴y=0则被变换成心 平面上的正实轴（包括原点）. 2)因为u=x2-y2,所以双曲线x2-y2=c1的像曲线上的点 (,v)满足方程 u=q1. 又点(x,y)在双曲线上变化时，v=2xy可取全体实数，故x2一y =c1在映照=22下的像是w平面上的直线u=G1. 同理，双曲线2xy=c2在映照w=2下的像是直线v=c2. 3)令=re0,则w=z2=r2e2.由题设 1<r<2,0<0<π， 年 1<2<4,0<20=argw<2π 所以，要求的像区域是0平面上沿u轴（实轴）上线段[1,4幻剪开了 的圆环：l<|u<4,0<arg2元 2.2函数的极限和连续性 定义1设函数w=f(z)在点的某个去心邻域0<|z一 <ρ内有定义，而且实极限 lim I f()-wo=0, 就称当之趋于xo时f(:)的极限值为0，记作 limf（z)=o, 这个定义用“e8”的语言来说就是：对任意ε>0，存在6>0，使 得当0<|z-0|<6()时，有|f()-6<e. 这个定义在几何上意味着：当变点进人。的一个充分小的6 邻域时，它们的像点就落入的一个给定的e邻域（图2.3）.。 有了极限的概念，就可以定义函数的连续性， 定义2如果等式 limf(z)=f(zo) 成立，就称函数f(x)在点连续.如果f(z)在区域D中的每点都 26
这是0 平面上一族开口朝右的抛物线!而实轴#%,则被变换成0 平面上的正实轴"包括原点#! $#因为C%"$&#$!所以双曲线"$&#$%.! 的像曲线上的点 "C!D#满足方程 C&.!! 又点""!##在双曲线上变化时!D%$"#可取全体实数!故"$&#$ %.!在映照0%$$ 下的像是0 平面上的直线C%.!! 同理!双曲线$"#%.$ 在映照0%$$ 下的像是直线D%.$! -#令$%1)#"!则0%$$%1$ )#$"!由题设 !)1)$! ,)")!! 故 !)1$ ).! ,)$"&7640 )$!! 所以!要求的像区域是0 平面上沿C轴"实轴#上线段-!!.剪开了 的圆环'!)%0%).!,)7640)$!! $"$ 函数的极限和连续性 定义! 设函数0%B"$#在点$, 的某个去心邻域,)%$&$,% )#内有定义!而且实极限 A#+$/$, %B"$#(0,%&,! 就称当$趋于$, 时B"$#的极限值为0,!记作 A#+$/$, B"$#&0,! !!这个定义用*%9(+的语言来说就是'对任意%-,!存在(-,!使 得当,)%$&$,%)("('##时!有%B"$#&0,%)%! 这个定义在几何上意味着'当变点进入$, 的一个充分小的( 邻域时!它们的像点就落入0, 的一个给定的%邻域"图$"-#! 有了极限的概念!就可以定义函数的连续性! 定义$ 如果等式 A#+$/$, B"$#&B"$,# 成立!就称函数B"$#在点$, 连续!如果B"$#在区域? 中的每点都 1$