米利都学派的泰勒斯11也就不可能有现代的科学和数学理论，那么，科学和数学就依然只是一堆常识的简单集合，那将成为一种没有理论解释支持的工作，人们将简单重复着前人的脚步，却仍然不知道为什么这个世界上的事物是如此运行的。扩底阅读托马斯·L希思男爵（Heath，SirThomasL.）著，《希腊最早的几何学，泰勒斯》，刊载于《希腊数学史》第1卷，《从泰勒斯到欧几里德》第4章，第118一140页，纽约：多佛（Dover）出版社，1981年。评价了泰勒斯对数学作出的贡献。詹姆斯·朗里格（Longrigg，James）著，查尔斯·C，吉利斯宾（CharlesC.Gillispie)编，《泰勒斯》刊载于《科学传记大词典》第13卷，第295一298页。纽约：斯克菜布诺（Scribner）出版社，1972年。内容详尽的泰勒斯传记。J.J.奥康纳(J.J.O'Connor）和E.F.罗伯逊（E.F.Robertson），《米利都学派的泰勒斯》，刊载于圣安德鲁斯大学《数学家档案》，在线阅读。网址：http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Thales.html。2005年3月25日访问。苏格兰圣安德鲁斯大学的在线人物传记。戴维·A皮特查克（Petechuk，DavidA），罗宾·V.杨（RobinV.Young)，《米利都学派的泰勒斯》，刊载于《古今著名数学家的故事》，第474一476页。底特律：戈尔（Gale)出版社，1998年。泰勒斯的生平传记摘要。鲁伊塔·赖默（Reimer，Luetta）和威尔伯特·赖默（Reimer，Wilbert)，《金字塔、橄榄和驴：泰勒斯》，刊载于《数学家也是普通人：伟大数学家生活中的故事》，第1—7页，新泽西帕西帕尼（Parsippany）：西摩（Seymour）出版社，1990年。为小学生创作的故事，包含历史事实和虚构的对话。赫博特·W.特恩布尔（Turnbull,HerbertW.），《早期的开端：泰勒斯、毕达哥拉斯和毕达哥拉斯的信徒们》，刊载于《伟大的数学家》第一章，第1一17页，纽约：纽约大学出版社，1961年。对泰勒斯数学成就深入详细的介绍
2萨默斯学派的毕达哥拉斯（约公元前560一约公元前480年）萨跌斯学派的毕达哥拉斯在数论和几何学中有了最早的发现。（图片工作室）证明了直角三角形定理的古希腊人萨默斯学派的毕达哥拉斯（PythagorasofSamos）是古希腊的数学家和宗教领袖。通过领导最早的数论研究，他证明了被他称为“完全数”“友好数”“奇数”和“三角形数”的一系列数字的基本性质。他同时还发现了一些构成音乐理论基础的数学比例，并且认为这样的比例在天文学中也同样存在。他给出了毕达哥拉斯定理的最早的证明，这是一个关于直角三角形三边长关系的定理，根据这个定理，他又很自然地发现了无理数。他阐述的有关5种正多面体的理论显示了当时希腊文化的基本特色，那就是神秘主义和数学理论奇妙融合的混合体
萨默斯学派的毕达哥拉斯13第一个学生是花钱请来学习的关于毕达哥拉斯的生卒年份和他一生中重要事件发生的日子，在公元前3一5世纪的历史学家数学家和哲学家的记录中存在着产严重的分歧，各种记录中记载的日期之间有20多年的差距。这些原始资料显示，毕达哥拉斯出生于公元前584一公元前560年之间，他的故乡是距离爱贝尼亚（现在的士耳其）海岸不远的萨默斯岛。虽然它位于雅典以东150英里的爱琴海中，但在当时萨默斯仍然是一个属于希腊人的殖民地。毕达哥拉斯生活的时代正是希腊的黄金时期，萨默斯岛则正是当时的一个繁荣的海港和学习的中心。关于毕达哥拉斯家庭情况的介绍十分简略。他的父亲姆奈萨尔克（Mnesarchus）是一个旅行商人，母亲皮塞斯（Pythais）抚养了毕达哥拉斯和他那两个不知名的哥哥。很小的时候，毕达哥拉斯就在算术和音乐这两个方面显示出了他过人的关赋，这两方面兴趣也成为陪伴他整整一生的最天的爱好。当时希腊伟大的数学家泰勒斯就生活在离毕达哥拉斯家乡不远的米利都城，在泰勒斯的教导下，毕达哥拉斯开始深人学习数学和关文学。20岁的时候，他来到埃及和色比伦尼亚（现在的伊拉克）游学，在那里他认真学习了数学、关文学和哲学一一一研究生命意义的科学。历史上流传着很多关于毕达哥拉斯的传说，其中有一个讲述他是如何成为老师的故事，很有意思。毕达哥拉斯从外面游学回到萨默斯的时候并没有任何敦学经验，他的学者地位也并没有在人们的心自中树立起来，因此一开始他连一个学生都招收不到。但他又非常渴望将自已的学问和思想传授给别人，情急之下，他居然愿意付钱给一个小男孩让他成为他自已的第一个学生。每天他都和男孩在路上相见，他给男孩讲授当天的课程，同时付给男孩当天的报酬。直到有一天，毕送哥拉斯花光了所有的积蓄，他不得不告诉男孩他们之前约定的课程该结束了，可是没想到男孩已经很喜欢听毕达哥拉斯讲课了，居然愿意付钱给毕达哥拉斯请他继续做老师。神学与数学交织的毕达哥拉斯学会公元前529年，毕达哥拉斯搬到了意大利南部的克罗顿（Croton）城，在那里
14数学的诞生他创立了一所被称为毕达哥拉斯学会的成人学校。他把学校的学生按性别分成了两组。去听他演讲的学生，确切地说是“听众”，都只许聆听不许提问，只能依靠自已的听、观察和思考来学习。在学习了5年宗教和哲学以后，成功的听众将加入高级学生组里继续学习，这时候这些数学家们已经拥有了足够的知识去提出自已的问题，表达自已的观点。他们开始研究更广泛的课题，包括天文学、音乐和数学。由手毕达哥拉斯对算术和几何重要性的反复强调，“数学家”这个词最终成为研究数学的人”的称谓。作为毕达哥拉斯学会的成员，毕达哥拉斯的学生们遵循着严格的行为准则，这些行为准则反映出其创立者坚定的信仰。因为毕达哥拉斯信仰轮回说，他相信人死了以后会转世投胎成不同的动物，所以他一直坚持吃素食，十分爱护各种动物，甚至从来不穿毛皮做成的衣物。他们从来不吃豆子或者触碰白色公鸡，因为在他们眼中这两者都是神圣的象征。毕达哥拉斯学会的人都很推崇嫌概和平等，他们分享财富，也允许女性平等参与到他们的学习和教授中来。毕达哥拉斯学会由于其成员的大量新发现而获得了很高的荣誉，但没有关于他们活动、教学和成就的详细记录资料保存下来。“万物皆数”这句名言揭示了毕达哥拉斯的哲学观点，他认为世界的基本属性是数。他告诉学生，每个数学都有其特别的性质，这些性质决定了世上一切事物的特质和表现。“1”并不能简单地认为是一个数，它体现了所有数的特质。“2”代表了女性以及观点的差异。“3”代表了男性和认同的和谐。“4”可以形象化地理解成一个正方形，它的四个角和四条边都相等，代表了一种平等、公正和公平。“5”是“3”与“2”的和，代表了男人与女人的结合，也就是婚姻。通过诸如“公平和公正”以及“一次公平的交易”等言论可以看出，毕达哥拉斯的思想已经成为希腊语盲和文化中最常用的一部分了。数字拥有的奇妙性质让毕达哥拉斯着迷。他称“7”是一个有趣的数字，因为它是2一10之间唯一一个不能通过乘法得到的数字，或者说它是2一10之间唯一一个不能被分成两个别的数字的数。像2×5=10，3×3=9，8÷4=2和6一2=3这样的等式就可以求得2一10这一系列数字，却唯独得不到7这个数字。他发现边长是4的正方形的面积和周长都是16，且只有16这个数字有这个特点。他还发现长和宽分别是6和3的矩形的面积和周长都是18，除此之外，再没有别的矩形和数字有这样的特点。毕达哥拉斯认为，“10"是一个神圣的数字，因为它是1、2、3、4的和，而这4个数学正好定义了这个物理世界的所有维度：1个点代表了广零维数，2
萨默斯学派的毕达哥拉斯15个点确定一条一维的线，3个点确定了一个二维的角，4个点则确定了一个三维的立方锥体。对数论的最早研究毕达哥拉斯对数字的研究已经超越了命理学的范畴，不再只是算术，神秘理论和魔法的大杂烩，而是拓展到了数学的一个重要分支一一一数论。他在当时能掌握的算术知识的基础上确定了很多组不同的数学，例如奇数和偶数的概念。如果一个数可以被2整除，它就是偶数，否则就是奇数。毕达哥拉斯又进一步把偶数分成偶奇数，奇偶数和偶偶数3种。偶奇数就是被2除得一个奇数的偶数，例如6=2×3.6被2除得3是奇数，所以6是偶奇数。所谓的奇偶数就是被2除两次以上才能得到奇数的偶数，例如12=2×2×3，被2除两次才得到奇数3，因此12是奇偶数。所以很自然，被2除到最后只能得到2的偶数就被称为偶偶数，例如8就是一个典型的偶偶数。毕达哥拉斯把数字排列成不同的几何形状，根据这些儿何形状将数字进行分类。他把3、6、10称为三角形数字，4、9、16称为正方形数字，因为对应这些数量的点数按照一定顺序排列就可以构成三角形和正方形。而像6、12和20这样的长方形数则可以排列成一条边比另一条边长一个单位的长方形。他还研究可以组成五边形（由五条边组成的图形）、六边形（由六条边组成的图形）的数字以及别的形状的数字。除了确定了各种数字的分类方法以外，毕达哥拉斯和他的学生们还研究了这些数字分类的性质。他们证明了每个正方形数都可以写成两个三角形数的和的形式，还证明了每个长方形数都可以看成一个三角形数的2倍以及诸如此类的很多别的特殊关系。如果一个数可以表示成两个或者若干个数的乘积形式，那么这些相乘的每个数都叫做这个数的因数，因数就相当于把原数分成若干个比它小的数，那么到底原数和组成它的因数的和的天小关系是如何呢？回答了这个问题，我们就自然而然地文确定了另外三类数，这类数被毕达哥拉斯称为完全数、盈数和号数。像6这样的数，它只能被1、2或3整除，因此它的因数就是1、2和3.而1十2十3=6，它所有因数的和恰好与它本身相等，因此6就被称为完全数。盈数则是像12这样可以被很多数整除的数，它的因数有1、2、3、4和6，它们的和显然要天于12，所以这样的数就称为盈数。而号数则是像15这样没有足够多的因数的数，它的因数1、3和