Representation of X(e)in terms of X,(j),X.(j) impulse train sampling x,(t)=x(t)s(t)=>x.(nT)(t-nT) 用连续时间傅里叶变换定义求X(①) X.(j2)-x(nT)(-nT)edt =x(nT)J6(-nT)edt -oo=-0 =∑x.(nT)en let xn]=x(nT),T=@ o:digital frequency数字角频率，rad DTFT 2:analog frequency模拟角频率，rad/s =之nile-jom=-Xem)）=X(en =x.U2-7∑x.U2-k2》 是X(2) 的周期延拓 三-00 Sampling frequency采样频率，rad/s 7
[ ] ( ) j n j n x n e X e =− − = = 7 s c ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) n x t x n x t s t T t n T =− = = − c ( ) n j Tn x nT e =− − = ( ) c ( ) ( ) n s j t X j x nT t nT e dt =− − − = − let [ ] ( ), x n x nT = c =T DTFT Representation of in terms of , ( ) j X e X j s ( ) X j c ( ) 2 , s T =( ) ( ( )) 1 s c s k X j T X j k =− = = − Sampling frequency 采样频率, rad/s 用连续时间傅里叶变换定义求 X j s ( ) : 是 X j c ( ) 的周期延拓 ( ) j T X e = ( ) ( ) j t c n x Tn t nT e dt =− − − = − ω: digital frequency数字角频率, rad Ω: analog frequency模拟角频率, rad/s 冲激串采样) impulse train sampling
连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ◆在奥本海姆的《信号与系统》 教材里，在“第7章采样” 内容之前，连续时间傅里叶变换X(Go),和离散时间傅里 叶变换X(eo)中涉及的频率都用相同的频率符号o表示， 各自独立叙述没有加以区分。 X(eo)=∑nen XU而)=∫x(0e'd, n=-o0 但要注意频率的单位，一个是rad,另一个是rad/s;另外， 频率高低与o取值范围的关系：连续时间傅里叶变换 X(G@)中的ω值越大，频率越高；但是离散时间傅里叶变 换Xo)中的o值越大，频率却未必越高：X(o中的o的 值是π的奇数倍的时候，表示频率最高；ω的值是π的偶数 倍的时候，表示频率最低。 另外注意连续时间和离散时间的傅里叶变换是否具有 周期性：X()具有周期性，周期2π。 XGoj不具有周期性
( ) [ ] , n j j n X x n e e =− − = 连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ◆在奥本海姆的《信号与系统》教材里, 在 “第7章 采样” 内容之前，连续时间傅里叶变换X(jω), 和离散时间傅里 叶变换X(ejω)中涉及的频率都用相同的频率符号ω表示, 各自独立叙述没有加以区分。 8 ( ) , ( ) j t X j x t e dt − − = 但要注意频率的单位, 一个是rad, 另一个是rad/s; 另外, 频率高低与ω取值范围的关系：连续时间傅里叶变换 X(jω)中的ω值越大, 频率越高；但是离散时间傅里叶变 换X(e jω)中的ω值越大, 频率却未必越高：X(e jω)中的ω的 值是π的奇数倍的时候, 表示频率最高; ω的值是π的偶数 倍的时候, 表示频率最低。 另外注意连续时间和离散时间的傅里叶变换是否具有 周期性: X(e jω)具有周期性, 周期2π。X(jω)不具有周期性
连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 奥本海姆《信号与系统》在“第7章采样的7.4 Discrete- Time Processing of Continuous-time Signals'”一节中，因对连续 时间信号x()进行采样（得到c[n),在分析频谱时需要同 时涉及到连续时间信号的傅里叶变换和离散时间序列的 傅里叶变换。 这是两种不同的傅里叶变换，必须加以区分(7.4区分为： Ω是数字频率，Q是模拟频率)，因为两种傅里叶变换的 频谱特性，特别是频率的高低变化和周期性的有无，如上 页所述，各有不同。 X(ea)=∑xnej2n, x(Uo吵jx0eh 1h=-00 ◆(7.4节从535页的最后一段开始)特别将两种傅里叶变换 中的频率符号加以区分（仅7.4一节，其他章节没有区分）：
( ) [ ] , d d n j j n X x n e e = − − = 9 ( ) , ( ) j t X j x t e dt c c − − = ◆奥本海姆《信号与系统》在“第7章采样”的“7.4 DiscreteTime Processing of Continuous-time Signals”一节中, 因对连续 时间信号xc (t)进行采样(得到xd [n]), 在分析频谱时需要同 时涉及到连续时间信号的傅里叶变换和离散时间序列的 傅里叶变换。 ◆这是两种不同的傅里叶变换, 必须加以区分(7.4区分为: Ω是数字频率, ω是模拟频率)，因为两种傅里叶变换的 频谱特性, 特别是频率的高低变化和周期性的有无, 如上 页所述, 各有不同。 连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ◆(7.4节从535页的最后一段开始)特别将两种傅里叶变换 中的频率符号加以区分(仅7.4一节, 其他章节没有区分):
连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 X,emy=∑xmn,X.Uo」x0eodt, ◆通过对冲激串采样x,()=x()s()进行变换，将两种不同的 傅里叶变换联系了起来，不但两种变换的变换结果可建立 起表达式关系，而且两种变换的自变量频率之间也存在 比例关系：2=0T,2是数字频率，o是模拟频率。 X,e7∑X(Uo-ko》 信号与系统》 第7章7.4节中的538页最上面一段解释了 该比例关系=oT:用“4.3-5 Time and Frequency Scaling”性质解释：时间上采样，即乘1T:t/T,则频域上 乘T,即2=0T fx(t)FX(o),then z(at)←→ a 10
10 ◆通过对冲激串采样 进行变换, 将两种不同的 傅里叶变换联系了起来,不但两种变换的变换结果可建立 起表达式关系, 而且两种变换的自变量频率之间也存在 比例关系: Ω=ωT, Ω是数字频率, ω是模拟频率。 连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ( ) [ ] , d d n j j n X x n e e = − − = ( ) , ( ) j t X j x t e dt c c − − = ( ( )) 1 ( ) j d c s k X e X j k T =− = − 信号与系统》第7章7.4节中的538页最上面一段解释了 该比例关系Ω=ωT: 用“4.3-5 Time and Frequency Scaling” 性质解释: 时间上采样, 即乘1/T: t/T, 则频域上 乘T, 即Ω=ωT 。 x t x t s t s c ( )= ( ) ( ) If , then
连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 奥本海姆《信号与系统》在“第7章采样”的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals"- 节中，两种傅里叶变换的表示方法： X,(e)=∑xdnle jom, X.Uoy∫x0erdh, 这与奥本海姆《离散时间信号处理》教材中用的频率符 号正好相反（该教材中数字频率0=2T,2是模拟频率）： X(e）=∑m,XU2y∫0edt, =-o0 11
11 奥本海姆《 信号与系统》在 “第7章 采样”的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals”一 节中, 两种傅里叶变换的表示方法: 这与奥本海姆《离散时间信号处理》教材中用的频率符 号正好相反(该教材中数字频率ω=ΩT, Ω是模拟频率): ( ) [ ] , n j j n X x n e e =− − = ( ) , ( ) j t X j x t e dt − − = ( ) [ ] , d d n j j n X x n e e = − − = ( ) , ( ) j t X j x t e dt c c − − = 连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系