第11章差错控制编码，码距和检纠错能力的关系口一种编码的最小码距d.的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力口为检测e个错码，要求最小码距do≥e+1【证】设一个码组A位于O点。若码组A中发生一个错码则我们可以认为A的位置将移动至以点为圆心，以1为半径的圆上某点，但其位置不会超出此圆。若码组A中发生两位错码，则其位置不会超出以O点为圆心，以2为半径的圆。因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位以下错码时，不可能变成另一个准用码组，因而能检测错码R汉明距离的位数等于2。do17?
17 第11章差错控制编码 ◆ 码距和检纠错能力的关系 一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错 和纠错能力 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1 【证】设一个码组A位于O点。若码组A中发生一个错码， 则我们可以认为A的位置将移动至以O点为圆心，以1为半 径的圆上某点，但其位置不会超出此圆。 若码组A中发生两位错码，则其位置不会超出以O点为圆 心，以2为半径的圆。因此，只要最小码距不小于3，码组 A发生两位以下错码时， 不可能变成另一个准用 码组，因而能检测错码 的位数等于2。 0 1 2 3 A B 汉明距离 e d0
第11章差错控制编码同理，若一种编码的最小码距为do，则将能检测(do-1)个错码。反之，若要求检测e个错码，则最小码距d.至少应不小于(e+ 1)。为了纠正t个错码，要求最小码距do≥2t+1【证】图中画出码组A和B的距离为5。码组A或B若发生不多于两位错码，则其位置均不会超出半径为2以原位置为圆心的圆。这两个圆是不重叠的。判决规则为：若接收码组落于以A为圆心的圆上就判决收到的是码组A，若落于以B为圆心的圆上就判决为码组B。这样，就能够纠汉明距离正两位错码。d.K￥18
18 第11章差错控制编码 同理，若一种编码的最小码距为d0，则将能检测(d0 - 1)个错 码。反之，若要求检测e个错码，则最小码距d0至少应不小于 ( e + 1)。 为了纠正t个错码，要求最小码距d0 2t + 1 【证】图中画出码组A和B的距离为5。码组A或B若发生不多于 两位错码，则其位置均不会超出半径为2以原位置为圆心的 圆。这两个圆是不重叠的。判决规则为：若接收码组落于以 A为圆心的圆上就判决收到的是码组A，若落于以B为圆心的 圆上就判决为码组B。 这样，就能够纠 正两位错码。 B t A 汉明距离 0 1 2 3 4 5 t d0
第11章差错控制编码若这种编码中除码组A和B外，还有许多种不同码组，但任两码组之间的码距均不小于5，则以各码组的位置为中心以2为半径画出之圆都不会互相重叠。这样，每种码组如果发生不超过两位错码都将能被纠正。因此，当最小码距do=5时，能够纠正2个错码，且最多能纠正2个。若错码达到3个，就将落入另一圆上，从而发生错判。故一般说来，为纠正个错码最小码距应不小于(2t+1)。19
19 第11章差错控制编码 若这种编码中除码组A和B外，还有许多种不同码组，但任两 码组之间的码距均不小于5，则以各码组的位置为中心以2为 半径画出之圆都不会互相重叠。这样，每种码组如果发生不 超过两位错码都将能被纠正。因此，当最小码距d0＝5时，能 够纠正2个错码，且最多能纠正2个。若错码达到3个，就将 落入另一圆上，从而发生错判。故一般说来，为纠正t个错码， 最小码距应不小于(2t + 1)
第11章差错控制编码为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距(e>t)d.≥e+t+l在解释此式之前，先来分析下图所示的例子。图中码组A和B之间距离为5。按照检错能力公式，最多能检测4个错码，即e=do-1=5-1=4，按照纠错能力公式纠错时，能纠正2个错码。但是，不能同时作到两者，因为当错码位数超过纠错能力时，该码组立即进入另一码组的圆内而被错误地“纠正了。例如，码组A若错了3位，就会被误认为码组B错了2位造成的结果，从而被错“纠”为B。这就是说，检错和纠错汉明距离公式不能同时成立do长20或同时运用
20 第11章差错控制编码 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距 在解释此式之前，先来分析下图所示的例子。图中码组A和B 之间距离为5。按照检错能力公式，最多能检测4个错码，即 e = d0 – 1 = 5 – 1 = 4，按照纠错能力公式纠错时，能纠正2个 错码。但是，不能同时作到两者，因为当错码位数超过纠错 能力时，该码组立即进入另一码组的圆内而被错误地“纠正” 了。例如，码组A若错了3位，就会被误认为码组B错了2位造 成的结果，从而被 错“纠”为B。这就 是说，检错和纠错 公式不能同时成立 或同时运用。 1 ( ) 0 d e +t + e t B t A 汉明距离 0 1 2 3 4 5 t d0
第11章差错控制编码所以，为了在可以纠正t个错码的同时，能够检测e个错码，就需要像下图所示那样，使某一码组（臂如码组A）发生e个错误之后所处的位置，与其他码组（臂如码组B）的纠错圆圈至少距离等于1，不然将落在该纠错圆上从而发生错误地“纠正”。因此，由此图可以直观看出，要求最小码距d.≥e+t+l(e>t)汉明距离这种纠错和检错结合的工作方式简称纠检结合21
21 第11章差错控制编码 所以，为了在可以纠正t个错码的同时，能够检测e个错码， 就需要像下图所示那样，使某一码组（譬如码组A）发生e 个错误之后所处的位置，与其他码组（譬如码组B）的纠 错圆圈至少距离等于1，不然将落在该纠错圆上从而发生 错误地“纠正”。因此，由此图可以直观看出，要求最小 码距 这种纠错和检错结合的工作方式简称纠检结合。 A B e 1 t t 汉明距离 1 ( ) 0 d e +t + e t