第四节简谐波一、机械波的产生由弹性力联系着的微粒所组成的媒质称为弹性媒质（elasticmedium）或弹性介质。在弹性媒质中，由于各相邻质元之间存在着相互的弹力作用，因此，当媒质中任意一质元在外界力的作用下开始振动时，它将给与其相邻的质元以弹力的作用，使它们离开平衡位置，而这些质元同样受到它们相邻的质元的弹力的作用，使它们回到平衡位置，就这样在周围质元的弹力作用下它们便开始振动起来。这样，振动就由近及远地传播出去。这种机械振动在弹性媒质中的传播过程就叫机械波（mechanicalwave）。由此可见要产生简谐波，首先有要作简谐振动的物体或质点即波源（wavesource），其次要有能传播这种简谐振动的弹性媒质。当机械振动在弹性媒质中传播时，媒质中各质元的仅在各自平衡位置附近振动，并不随波前进，因此波仅仅是振动形式和能量的传播过程。按照波的传播方向和媒质中质元的振动方向不同，将机械波分为横波和纵波。如果媒质质元的振动方向与波的传播方向相互垂直，则这种波叫横波（transversewave），例如常见的水面波：如果媒质质元的振动方向与波的传播方向相同，则这种波叫纵波（longitudinalwave），例如声波。因为气体和液体内部，只有反抗体积改变的弹性，没有反抗形状改变的弹性力，而固体内既有反抗体积改变的弹性，义有反抗抗形状改变的弹性力。所以，在气体和液体内部只能传播纵波，在固体中既能传播纵波，又能传播横波。一、波的几何描述当波源在媒质中振动时，振动将向各个方向传播，经过一定时间后，振动将传到媒质中某些点，这些点上的质元就同时以同相开始振动。由这些点所连成的面叫波前（wavefont)。波前的位置是随着时间向前推进的。在媒质中所有相同位相(即位相差为零)的相邻的质元所在的点所连成的面叫波阵面或波面（wavesurface）。在任意时刻，波面有无数个，而波前只有一个，它是所有波阵面中最前面的那一个波阵面。按照波面的形状，波分为平面波（planewave）和球面波（sphericalwave）。波面是平面的波叫平面波，波面是球面的波叫球面波。波的传播方向叫波线。在均匀且各向同性的媒质中，波的传播方向（即波线）总是与波面垂直。平面波的波线是一组平行线；球面波的波线是以波源为中心沿半径方向的直线，如图2-14所示。.东波线波线波面波面波线(a)平而波(b)球面波图4-14波面和波线波的频率、波长和波速二
第四节 简 谐 波 一、机械波的产生 由弹性力联系着的微粒所组成的媒质称为弹性媒质（elastic medium）或弹性介质。 在弹性媒质中，由于各相邻质元之间存在着相互的弹力作用，因此，当媒质中任意一质 元在外界力的作用下开始振动时，它将给与其相邻的质元以弹力的作用，使它们离开平 衡位置，而这些质元同样受到它们相邻的质元的弹力的作用，使它们回到平衡位置，就 这样在周围质元的弹力作用下它们便开始振动起来。这样，振动就由近及远地传播出去。 这种机械振动在弹性媒质中的传播过程就叫机械波（mechanical wave）。由此可见要产 生简谐波，首先有要作简谐振动的物体或质点即波源（wave source）,其次要有能传播 这种简谐振动的弹性媒质。 当机械振动在弹性媒质中传播时，媒质中各质元的仅在各自平衡位置附近振动，并 不随波前进，因此波仅仅是振动形式和能量的传播过程。按照波的传播方向和媒质中质 元的振动方向不同，将机械波分为横波和纵波。如果媒质质元的振动方向与波的传播方 向相互垂直，则这种波叫横波(transverse wave)，例如常见的水面波；如果媒质质元 的振动方向与波的传播方向相同，则这种波叫纵波(longitudinal wave)，例如声波。 因为气体和液体内部，只有反抗体积改变的弹性，没有反抗形状改变的弹性力，而 固体内既有反抗体积改变的弹性，又有反抗抗形状改变的弹性力。所以，在气体和液体 内部只能传播纵波，在固体中既能传播纵波，又能传播横波。 一、 波的几何描述 当波源在媒质中振动时，振动将向各个方向传播，经过一定时间后，振动将传到媒 质中某些点，这些点上的质元就同时以同相开始振动。由这些点所连成的面叫波前(wave font)。波前的位置是随着时间向前推进的。在媒质中所有相同位相(即位相差为零)的 相邻的质元所在的点所连成的面叫波阵面或波面（wave surface）。在任意时刻，波面 有无数个，而波前只有一个，它是所有波阵面中最前面的那一个波阵面。 按照波面的形状，波分为平面波（plane wave）和球面波(spherical wave)。波面 是平面的波叫平面波，波面是球面的波叫球面波。波的传播方向叫波线。在均匀且各向 同性的媒质中，波的传播方向（即波线）总是与波面垂直。平面波的波线是一组平行线； 球面波的波线是以波源为中心沿半径方向的直线，如图 2-14 所示。 二、 波的频率、波长和波速
从波的形成和传播可知，媒质中各质元依次重复着波源的振动，因此媒质中各质元的周期和频率与波源的周期和频率相等。这样，这一频率和周期也称为波的周期和频率，通常分别用f和T表示。振动在一个周期内传播的距离叫波长（wavelength），用入表示。由于相隔一个周期后的振动状态相同，所以沿波的传播方向上相隔一个波长的两质元之间的振动状态相同，即振动位相相同。也就是说，波长是在沿同一波线上两个相邻的同相质点元所在点之间的距离。因此沿波的传播方向，每隔一个波长的距离就出现振动同位相的质元。故此，波长描述了波在空间上的周期性。单位时间内振动状态传播的距离即振动状态传播的速度称为波速（wavespeed)，常用u表示。由于振动状态是由位相确定的，振动状态的传播实际就是位相的传播，所以波速也称为相速（phasevelocity)。由波长的定义可知，波长是振动在一个周期内传播的距离，所以有波速入=入fu=T上式反映了波长、频率、波速之间的关系，它适合于任何形式的波。波的频率和周期是由波源决定，与传播的媒质无关。而波速则完全由媒质本身的性质决定。在均匀且各向同性的固体媒质中，横波的波速为G(2-24)um=p纵波的波速为y(2-25)u=Vp在液体和气体中，纵波的波速为K(2-26)=V上面三式中p为媒质密度，G为切变模量，Y为杨氏模量，K为容变模量。由此可见，波速由媒质密度和其弹性模量决定，而与波的频率、周期和波长等无关。因此，各种频率或波长的波在一定媒质中传播时，它们有着相同的速度。三、简谐波的波动方程如果波源是作简谐振动，则媒体中各质元也将作与波源频率相同的简谐振动。这种简谐振动在媒质中的传播过程就称为简谐波（simpleharmonicwave）。在前面我们已经知道任何振动都可以看作是若干简谐振动的波组合而成，同样任何波均可看成是若干简谐波组合而成。因此简谐波是最基本、最重要的波动形式。对手波来说，同一波面上的质元的振动位相相同即振动状态相同，所以只要知道波面上任意一质元的振动规律，就能够得到该波面上所有质元的振动规律。而任何波面与波线都要相交，所以只要知道波线上的质元的振动规律，就能够知道媒质中各质元的振动规律。这样，就可以把研究媒质中各质元的振动规律转化为研究波线上各质元的振动规律。下面我们从波
从波的形成和传播可知，媒质中各质元依次重复着波源的振动，因此媒质中各质元的周 期和频率与波源的周期和频率相等。这样，这一频率和周期也称为波的周期和频率，通常分 别用 f 和 T 表示。 振动在一个周期内传播的距离叫波长（wave length），用 表示。由于相隔一个周期后 的振动状态相同，所以沿波的传播方向上相隔一个波长的两质元之间的振动状态相同，即振 动位相相同。也就是说，波长是在沿同一波线上两个相邻的同相质点元所在点之间的距离。 因此沿波的传播方向，每隔一个波长的距离就出现振动同位相的质元。故此，波长描述了波 在空间上的周期性。 单位时间内振动状态传播的距离即振动状态传播的速度称为波速(wave speed)，常用 u 表示。由于振动状态是由位相确定的，振动状态的传播实际就是位相的传播，所以波速也 称为相速(phase velocity)。由波长的定义可知，波长是振动在一个周期内传播的距离，所 以有波速 f T u = = 上式反映了波长、频率、波速之间的关系，它适合于任何形式的波。 波的频率和周期是由波源决定，与传播的媒质无关。而波速则完全由媒质本身的性质决 定。 在均匀且各向同性的固体媒质中，横波的波速为 = G u横 （2-24） 纵波的波速为 Y u纵 ＝ （2-25） 在液体和气体中，纵波的波速为 K u纵 ＝ （2-26） 上面三式中 为媒质密度， G 为切变模量， Y 为杨氏模量， K 为容变模量。由此可见，波 速由媒质密度和其弹性模量决定，而与波的频率、周期和波长等无关。因此，各种频率或波 长的波在一定媒质中传播时，它们有着相同的速度。 三、 简谐波的波动方程 如果波源是作简谐振动，则媒体中各质元也将作与波源频率相同的简谐振动。这种简谐 振动在媒质中的传播过程就称为简谐波（simple harmonic wave）。在前面我们已经知道任 何振动都可以看作是若干简谐振动的波组合而成，同样任何波均可看成是若干简谐波组合而 成。因此简谐波是最基本、最重要的波动形式。 对于波来说，同一波面上的质元的振动位相相同即振动状态相同，所以只要知道波面上 任意一质元的振动规律，就能够得到该波面上所有质元的振动规律。而任何波面与波线都要 相交，所以只要知道波线上的质元的振动规律，就能够知道媒质中各质元的振动规律。这样， 就可以把研究媒质中各质元的振动规律转化为研究波线上各质元的振动规律。下面我们从波
的基本概念来推导出简谐波的数学表达式。如图2-15所示，一平面简谐波在均匀且各向同性的媒质中，沿X轴正方向以波速为u无衰减的传播，纵坐标Y表示波线OX上各质元的位移。设原点0处质元的振动方程为y=Acos(ot+p)在X轴上任意一点P，设其坐标为x，由波的传y播方向可知，点0处的质元振动在前，P点处的质元振动在后，其位相落后于0点处的质元。0点处质元的振动状态即位相传到P点处质元所需的时间为二，若0点处质元已振动时间为1，则P点处的质元的振动时间比0点处质元的振动时x间少二，即P点处质元的振动时间为t=1-1u图4-15波动方程的推导又因该简谐波沿X轴是无衰减地传播，故在X轴上各质元的振幅相同。由此P点处质元的振动方程为x)+(@]y= Acos(ot'+p)= Acos[o(t -(2-27)12元2元=2元和==代入上式将=TTy= Acos[0(t- 三) + (0]=Acos[2(六(_)+Φ(2-28)T入1或y = Acos[2元(f t- 3)+p(2-29)22元y=Acos(ot-x + ()(2-30)2上面几式表示了位移与时间t和位置x的关系，这些方程称为平面简谐波的波动方程（equationofwavemotion）。由波动方程可以求出X轴上不同点上质元在不同时刻的位移。式（2-27）到式（2-30）是当波沿X轴的正向传播时的表示形式。如果平面简谐波沿X轴的负方向传播，则P点处质元的振动在前，在0点处质元的振动在后。当0点处质元振动了1时间时，P点处质元的振动时间为t'=1+二。则P点处质元的u振动方程y= Acos(ot+0)= Acos[o(t+=)+ 9](2-31)u= Acos[2元(+)+0]同理有(2-32)T入y= Acos[2元(f t+)+0](2-33)2J = Acos(o1+ 2元)(2-34)x+β)N式（2-31）到式（2-34）是当波沿X轴的负向传播时的波动方程
的基本概念来推导出简谐波的数学表达式。 如图 2-15 所示，一平面简谐波在均匀且各向同性的媒质中，沿 X 轴正方向以波速为 u 无衰减的传播,纵坐标 Y 表示波线 OX 上各质元的位移。设原点 O 处质元的振动方程为 y = Acos(t + ) 在 X 轴上任意一点 P，设其坐标为 x ,由波的传 播方向可知，点 O 处的质元振动在前，P 点处的 质元振动在后，其位相落后于 O 点处的质元。O 点处质元的振动状态即位相传到 P 点处质元所 需的时间为 u x ,若O点处质元已振动时间为 t ,则 P 点处的质元的振动时间比 O 点处质元的振动时 间少 u x ，即 P 点处质元的振动时间为 t'= t - u x 。 又因该简谐波沿 X 轴是无衰减地传播，故在 X 轴 上各质元的振幅相同。由此 P 点处质元的振动方程为 = cos( '+) = cos[( − ) + ] u x y A t A t （2-27） 将 f T 2 2 ＝ ＝ 和 T u f = = 代入上式 cos[ ( ) ] cos[2 ( ) + ] = − + − x T t A u x y A t ＝ (2-28) 或 cos[2 ( ) + ] = − x y A f t (2-29) ) 2 cos( + y = A t − x (2-30) 上面几式表示了位移与时间 t 和位置 x 的关系，这些方程称为平面简谐波的波动方 程 （equation of wave motion）。由波动方程可以求出 X 轴上不同点上质元在不同时刻的位 移。 式（2-27）到式（2-30）是当波沿 X 轴的正向传播时的表示形式。 如果平面简谐波沿 X 轴的负方向传播，则 P 点处质元的振动在前，在 O 点处质元的振动 在后。当 O 点处质元振动了 t 时间时，P 点处质元的振动时间为 t' =t ＋ u x 。则 P 点处质元的 振动方程 = cos( '+) = cos[( ) + ] u x y A t A t＋ （2-31） 同理有 cos[2 ( ) + ] = x T t y A ＋ (2-32) cos[2 ( ) + ] = x y A f t＋ (2-33) ) 2 cos( + y = A t＋ x (2-34) 式（2-31）到式（2-34）是当波沿 X 轴的负向传播时的波动方程
下面以波沿X轴正向传播为例对（2-27）式进行分析来进一步说明平面简谐波的波动方程的物理意义。该式表明了质元振动的位移y是两个独立自变量坐标x和时间t的函数，下面我们对其进行讨论：（1）若坐标x为定值，即x=x。为常数，这时位移y仅为时间t的函数，式（2-27）可写成2元y= Acos[o(t-)+ 0]= Acos[0t +(-(2-35)xo]Tu2元上式即为平衡位置在x。处质元的振动方程，其x表示平衡位置在X轴上不同点处T的质元的位相不同。由此可知，由波动方程可以得出平衡位置在任意点处的质元的振动方程。设X轴上任意两点，其坐标分别为x,和x，，则平衡位置在这两点处的质元的振动方程分别为2元2元3Ji = Acos[ot+(β--)] 和=Acos[o1+(g-它们的位相差为2元2元.2元(2-36)(--x2)-(β--(x -x2)2入如果两点之间的距离为波长的整数倍即x-xz=ka（k为整数），则由（2-36）式得2元Ap=-x,)=2k元(x)-T即平衡位置在此两点处的质元的振动同相。因此，在波线上，相距为波长整数倍的两点处的质元的振动同相1如果两点之间的距离为半波长的奇数倍即xi-x=（k十=)入（k为整数），则由（2-236）式得2元Ap=(X-x2)=(2k+1)元入即平衡位置在此两点处的质元的振动反相。因此，在波线上，相距为半波长的奇数倍的两点处的质元的振动反相。（2）若给定时间t，即t=to为常数，这时位移y仅为位置坐标x的函数，式（2-27）可写成2元0]y= Acos[o(t。 -=)+ 0] = Acos[(αf。 + ) -(2-37)入u上式为平衡位置在X轴上各质元在1。时刻的位移分布。因此，由波动方程可以得到任意时刻媒质中各质元的位移分布。若以位移y为纵轴，x为横轴，则可以画出y随X的变化曲线，这样的曲线称为该时刻的波形曲线。（1）若位置和时间同时变化，则（2-27）式表示任意坐标为x处质元在任意时刻t的位移
下面以波沿 X 轴正向传播为例对（2-27）式进行分析来进一步说明平面简谐波的波动方 程的物理意义。该式表明了质元振动的位移 y 是两个独立自变量坐标 x 和时间 t 的函数,下 面我们对其进行讨论： （1）若坐标 x 为定值，即 x ＝ 0 x 为常数，这时位移 y 仅为时间 t 的函数，式（2-27）可写 成 )] 2 cos[ ( ) ] cos[ ( 0 0 A t x u x y A t = − + = + − (2-35) 上式即为平衡位置在 0 x 处质元的振动方程，其 0 2 x － 表示平衡位置在 X 轴上不同点处 的质元的位相不同。由此可知，由波动方程可以得出平衡位置在任意点处的质元的振动方程。 设 X 轴上任意两点，其坐标分别为 1 x 和 2 x ，则平衡位置在这两点处的质元的振动方程分别 为 )] 2 cos[ ( 1 1 y A t x = + − 和 )] 2 cos[ ( 2 2 y A t x = + − 它们的位相差为 ( ) 2 ) 2 ) ( 2 ( 2 1 1 2 x x x − x = − − ＝ － (2-36) 如果两点之间的距离为波长的整数倍即 x − x = k (k 1 2 为整数），则由（2-36）式得 − = (x x ) 2k 2 ＝ 1 2 即平衡位置在此两点处的质元的振动同相。因此，在波线上，相距为波长整数倍的两点处的 质元的振动同相。 如果两点之间的距离为半波长的奇数倍即 x − x = k ) (k 2 1 ( 1 2 ＋ 为整数），则由（2- 36）式得 − = + ( ) (2 1) 2 1 2 ＝ x x k 即平衡位置在此两点处的质元的振动反相。因此，在波线上，相距为半波长的奇数倍的两点 处的质元的振动反相。 （2）若给定时间 t ，即 t ＝ 0 t 为常数，这时位移 y 仅为位置坐标 x 的函数，式（2-27）可写 成 )] 2 cos[ ( ) ] cos[( ) 0 0 A t x u x y A t = − + = + − (2-37) 上式为平衡位置在 X 轴上各质元在 0 t 时刻的位移分布。因此，由波动方程可以得到任意时刻 媒质中各质元的位移分布。若以位移 y 为纵轴， x 为横轴，则可以画出 y 随 x 的变化曲线， 这样的曲线称为该时刻的波形曲线。 （1） 若位置和时间同时变化，则（2-27）式表示任意坐标为 x 处质元在任意时刻 t 的 位移
值得注意的是：上每（2-27）式到（2-34）式对于无衰减的平面简谐波才适用。例题3一3设一平面简谐波在某媒质中沿X轴的正向无衰减地传播，已知其波动方程为元y=5cos(200元t-0.05元x+)cmA求：（1)此波在该媒质中的其周期、频率、波长，振幅和波速。(2）x=20m处质元的振动方程。解：（1）将此波的波动方程写成如（2-27）式的形式即为X)+y=5c0s[200元(t1cm4x1034将上式与（2-27）式进行比较可得该波的振幅为A=5cm角频率为の=628rad/s波速v=4×10°m/s1频率 ==100 Hz周期T==0.01s波长元=vT=4×103×0.01=40m2元f(1）将x=20代入该波动方程得x=20m处质点的振动方程为3元、y=5cos(200元t-0.05元×20+=5c0s(200元l元）cmA4例题3一4频率f为12.5KHz的平面简谐纵波在杨氏模量E为1.9×10"Nm-2、密度p为7.6×103Kg/m的金属媒质中沿X轴的负方向无衰减地传播，已知坐标原点0处质元的振幅为0.01毫米，初位相为元。。试求（1）坐标原点0处质元的振动方程；（2）此简谐波的波动8方程；（3）在X轴上，坐标为50厘米和40厘米处两质元的质点位相差：（4）在t=0.0042秒时刻的波形。解：（1）由题意可得，坐标原点0处质元振动的频率f=12.5KHz（这由媒质中各质元振动的元。由频率了得其角频率频率与波的频率相同可得），振幅为A=0.001mm，初位相=8の=2元f=2.5元×10*rad/s，故坐标原点0处质元振动的振动方程为y= Acos(ot + g)= 0.001cos(2.5元×10*1+ ) mm9（2）由题意有，媒质的杨氏模量E=1.9×10Nm-2，密度p=7.6×10Kg/㎡，因此波在该媒质中的波速为E_[1.9×10=5.0×103m/su=p-V7.6x103由坐标原点处质元的振动方程、波是沿X轴的负方向无衰减的传播以及（2-31)式得，此波在该媒质中传播的波动方程为r-）+mmy= Acos[0(t+=) + 0] = 0.001cos[2.5元×10*(t+5.0×1039u(3)由（2-36）式得
值得注意的是：上每（2-27）式到（2-34）式对于无衰减的平面简谐波才适用。 例题 3－3 设一平面简谐波在某媒质中沿 X 轴的正向无衰减地传播，已知其波动方程为 ) 4 5cos(200 0.05 y = t − x + cm 求：(1)此波在该媒质中的其周期、频率、波长，振幅和波速。 (2) x =20m 处质元的振动方程。 解：（1）将此波的波动方程写成如（2-27）式的形式即为 ] 4 ) 4 10 5cos[200 ( 3 + = − x y t cm 将上式与（2-27）式进行比较可得 该波的振幅为 A ＝5 cm 角频率为 ＝628 rad/s 波速 v =4×103 m/s 频率 f = 100 2 = Hz 周期 f T 1 ＝ =0.01s 波长 4 10 0.01 3 ＝v T＝ ＝40m (1) 将 x =20 代入该波动方程得 x =20m 处质点的振动方程为 ) 4 3 ) 5cos(200 4 5cos(200 0.05 20 = − y = t − + t cm 例题 3－4 频率 f 为 12.5KHz 的平面简谐纵波在杨氏模量 E 为 11 2 1.9 10 − Nm 、密度 为 3 7.610 Kg/m3 的金属媒质中沿 X 轴的负方向无衰减地传播，已知坐标原点 O 处质元的振幅 为 0.01 毫米，初位相为 8 。试求（1）坐标原点 O 处质元的振动方程；（2）此简谐波的波动 方程；（3）在 X 轴上，坐标为 50 厘米和 40 厘米处两质元的质点位相差；（4）在 t = 0.0042 秒时刻的波形。 解：（1）由题意可得，坐标原点 O 处质元振动的频率 f ＝12.5KHz(这由媒质中各质元振动的 频率与波的频率相同可得)，振幅为 A ＝0.001mm，初位相 ＝ 8 。由频率 f 得其角频率 4 ＝2f = 2.510 rad/s,故坐标原点 O 处质元振动的振动方程为 ) 8 cos( ) 0.001cos(2.5 104 y = A t + = t + mm （2） 由题意有，媒质的杨氏模量 E ＝ 11 2 1.9 10 − Nm ，密度 ＝ 3 7.610 Kg/m3，因此波 在该媒质中的波速为 3 3 11 5.0 10 7.6 10 1.9 10 = = ＝ E u m/s 由坐标原点处质元的振动方程、波是沿 X 轴的负方向无衰减的传播以及（2-31）式得， 此波在该媒质中传播的波动方程为 ] 5.0 10 8 cos[ ( ) ] 0.001cos[2.5 10 ( 3 4 = + + = + 〕＋ x t u x y A t mm (3) 由（2-36）式得