第六节波的干涉一、波的叠加原理大量事实说明，几个波源产生的波在同一中媒质中传播时，无论相遇与否，都保持自己原有的的特性（频率、振动方向、波长等），按照自已原来的传播方向继续前进，不受其它波的影响。因此，在相遇的区域内，任意一点的振动都为各列波在该点所引起的振动的合成。这就是波的叠加原理（superpositionprincipleofwave）。波的叠加原理可以从许多现象中观察出来。例如，在乐队演奏时，各种乐器的声音保持原有的音色，因而我们能够从中辨别出来：当两块小石子相隔一定距离同时落入水中后，我们可以观察到，以两石块落下处为中心发出圆形波，彼此穿过又离开之后，它们仍然是以石块落入处为中心的圆。二、波的干涉由波的叠加原理可知，当几列波同时在媒质中传播时，各列波在相遇的区域都按各自原来的方式引起相应的振动，因此在该区域各处的振动就是各列波在相应位置所引起的振动的合成。如果各列波的频率或振动方向不同，则在相遇处所引的振动是比较复杂的。但实际上，最重要最基本的是两列简谐波的频率相同、振动方向相同、相差恒定的特殊情形，这时在两列简谐波在相遇处所引起的振动具有相同的振动方向、相同的频率和恒定的相差，但不同的地方其相差可能不同。由前面学过的两个同方向，同频率的简谐振动的合成的规律可知，合振动的振幅由位相差确定，同相的地方振幅最大，反相的地方振幅最小。这样在两波相遇处就会产生有些地方振动加强，而另一些地方振动减弱或完全相消的现象，这种现象就称为波的干涉（interference of wave)。能产生干涉现象的两列波称为相干波（coherentwave），能产生相干波的波源称为相干波源（coherentsources）。设两相干波源S.和S2，它们的位置如图2-20所示，其振动方程分别为JI= Alo cos(ot+P)y2 = A2o cos(ot +(P2)它们发出的波在媒质中相遇。在相遇区域内任意一点P，设S,。FP点到两波源S,和Sz的距离分别r和r,，两相干波源在P点rSio引起的振幅分别为A,和A,。由于波的速度由媒质确定和相干波的频率相同，所以它们在同种媒质中的波长相同，设为图4-20波的干洗2。则两波源S和Sz所引起的在P点的振动分别为2元yI = A, cos(ot -+0)2元y,=A, cos(ot-2+(2)1根据同频率、同方向的简谐振动的合成规律有P点处质元的振动方程为y= y +y2 = Acos(ot +P)
第六节 波的干涉 一、波的叠加原理 大量事实说明，几个波源产生的波在同一中媒质中传播时，无论相遇与否，都保持自己 原有的的特性（频率、振动方向、波长等），按照自己原来的传播方向继续前进，不受其它 波的影响。因此，在相遇的区域内，任意一点的振动都为各列波在该点所引起的振动的合成。 这就是波的叠加原理(superposition principle of wave)。 波的叠加原理可以从许多现象中观察出来。例如，在乐队演奏时，各种乐器的声音保持 原有的音色，因而我们能够从中辨别出来；当两块小石子相隔一定距离同时落入水中后，我 们可以观察到，以两石块落下处为中心发出圆形波，彼此穿过又离开之后，它们仍然是以石 块落入处为中心的圆。 二、波的干涉 由波的叠加原理可知，当几列波同时在媒质中传播时，各列波在相遇的区域都按各自原 来的方式引起相应的振动，因此在该区域各处的振动就是各列波在相应位置所引起的振动的 合成。如果各列波的频率或振动方向不同，则在相遇处所引的振动是比较复杂的。但实际上， 最重要最基本的是两列简谐波的频率相同、振动方向相同、相差恒定的特殊情形，这时在两 列简谐波在相遇处所引起的振动具有相同的振动方向、相同的频率和恒定的相差，但不同的 地方其相差可能不同。由前面学过的两个同方向，同频率的简谐振动的合成的规律可知，合 振动的振幅由位相差确定，同相的地方振幅最大，反相的地方振幅最小。这样在两波相遇处 就会产生有些地方振动加强，而另一些地方振动减弱或完全相消的现象，这种现象就称为波 的干涉(interference of wave)。能产生干涉现象的两列波称为相干波(coherent wave), 能产生相干波的波源称为相干波源(coherent sources)。 设两相干波源 S1 和 S2，它们的位置如图 2-20 所示，其振动方程分别为 cos( ) cos( ) 2 20 2 1 10 1 = + = + y A t y A t 它们发出的波在媒质中相遇。在相遇区域内任意一点 P，设 P 点到两波源 S1 和 S2 的距离分别 1 r 和 2 r ,两相干波源在 P 点 引起的振幅分别为 A1 和 A2 。由于波的速度由媒质确定和相 干波的频率相同，所以它们在同种媒质中的波长相同，设为 。则两波源 S1 和 S2 所引起的在 P 点的振动分别为 ) 2 cos( ) 2 cos( 2 2 2 2 1 1 1 1 + = − + = − y A t r y A t r 根据同频率、同方向的简谐振动 的合成规律有 P 点处质元的振动方程为 cos( ) y = y1 + y2 = A t +
式中2元(r2-r)A+A+2A2A2co[P2-P2-A=(2-51)元2元2)2m)+ A, sin(02A, sin(Pr --2(2 - 52)tgp=2m20/2))+A,cos(P2A, cos(P, -元两相干波源发出的相干波在相遇的区域内任意一点所引起的位相差为22(r, -r)(2-53)=2-T对于相遇区域内任意一点来说，它到两波源的距离是确定的即r，一r为定值，而两波源的初位相是一定的，由式(2-53)可知△βp为定值。不同的点因到两波源的距离即rz一r可能不同，因而有不同的但恒定的位相差△β。又因两列波传到任意一所引起的振幅不随时间变化，由（2-51）式可知在两列波相遇的区域各点的振幅也不随时间变化，也就是说在相遇区域内的振动的强弱是稳定分布的。由式（2-51）可知，在相遇区域内有：（1）在满足△βp=2k元（k为整数）的各点处的合振幅A=A十A,最大，这些点处的振动最强。这时两波源在这些点各自所引起的振动相互加强，这种情况称为干涉相长(constructiveinterference)。（2）在满足△β=2k元十元（k为整数）的各点处的合振幅A=A,－A,|最小。若A,=A则A=0。这时两波源在这些点各自所引起的振动相互削弱或抵消，这种情况称为干涉相消(destructiveinterference)。2元（如果P,二P即波源的初位相相同，则Ap=(r-r）。因此2产生干涉相长的条件为Ap=2k即-z=(为整数）(2-54)产生干涉相消的条件为(2-55)Ap=2k元+元即-r2=（k+)入（k为整数）2
式中 (2 - 52) ) 2 ) cos( 2 cos( ) 2 ) sin( 2 sin( ] (2 - 51) 2 ( ) 2 cos[ 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 r A r A r A r A t g r r A A A A A − + − − + − = − = ＋ ＋ − − 两相干波源发出的相干波在相遇的区域内任意一点所引起的位相差为 ) 2 2 1 2 1 r − r ＝ － － （ (2-53) 对于相遇区域内任意一点来说，它到两波源的距离是确定的即 2 1 r − r 为定值，而两波源的初 位相是一定的，由式(2-53)可知 为定值。不同的点因到两波源的距离即 2 1 r − r 可能不同， 因而有不同的但恒定的位相差 。又因两列波传到任意一所引起的振幅不随时间变化，由 （2-51）式可知在两列波相遇的区域各点的振幅也不随时间变化，也就是说在相遇区域内的 振动的强弱是稳定分布的。 由式（2-51）可知，在相遇区域内有： （1）在满足 ＝2k (k 为整数）的各点处的合振幅 A＝A1＋A2 最大，这些点处的振动最 强。这时两波源在这些点各自所引起的振动相互加强，这种情况称为干涉相 长 (constructive interference)。 （2）在满足 ＝2k＋ (k 为整数）的各点处的合振幅 | | A＝ A1 − A2 最小。若 A1 ＝A2 则 A =0。这时两波源在这些点各自所引起的振动相互削弱或抵消，这种情况称为干涉 相消(destructive interference)。 如果 1 ＝2 即波源的初位相相同，则 ( ) 2 1 2 r − r ＝ 。因此 产生干涉相长的条件为 ＝2k 即 r − r = k (k 1 2 为整数） （2-54） 产生干涉相消的条件为 ＝2k + 即 r − r = k ) (k 2 1 ( 1 2 ＋ 为整数） (2-55)
上式中的r-r,称为两波的波程差，常用8。式(2-54)和式(2-55)表明，当两个相干波源的初位相同时，在两列波相遇的区域内，波程差等于零或等于波长的整数倍的各点处合振动加强（干涉相长），波程差等于半波长的奇数东振振拆倍的各点处合振动减弱或抵消（于涉相消）。幅幅最京最敬最这些干涉规律不仅对机械波适用，对于其大大小小大?它的波如无线电波、光波等也适用。在后面学习光的波动性时将应用此结论。由式（2-54）和式（2-55）可知，对于两个固定的波源来说，所有于涉相长和于涉相消的点连在一起构成一系列以两波源所在点为焦点的双曲线。如图2-21所示，图中0,和0.为两相干光源所在位置，粗实线表示干涉相长的的地方，粗虚线表示干涉相1o90消的地方，细虚线和细实线分别表示在某一时刻由两相于光源发出的波的波谷和波图4-21波的干涉峰。例题2-6A和B两初位相相同的相干波源相距40米，频率为50Hz，波速为500米/秒，求两相干波源的连线上产生干涉相长的位置和产生干涉相消的位置。解：由题意有，波源的初位相相同，波速v为500米/秒，波源的频率f为50Hz，波源之间的距离为40米，以波源A处为坐标原点O，它们的连线AB建立X轴，正方向由A向B。所以有波长=_5002=10米波程差8=rz-=40-x-x=40-2x50由8=k2（k为整数）即40-2x=k×10得产生干涉相长的坐标为x=20-5k（k=0,±1,±2,±3,±4)由8=(k+)2（k为整数）即40-2x=（k+=)×10得221(35-10k)(k = =4,±3,±2,±1,0)产生干涉相消的坐标为x=2三、驻波驻波（standingwave)是一种特殊的干涉现象，它是由两列频率、振幅和振动方向均相同但传播方向相反的波干涉的结果。设两振幅，频率和振动方向均相同的两简谐波，一个沿X轴的正向无衰减地传播，另一个沿X轴负向无衰减地传播，其波动方程分别为2元y = Acos(ot-x+P,)2
上式中的 1 2 r − r 称为两波的波程差，常用 。式(2-54)和式(2-55)表明，当两个相干波源的 初位相同时，在两列波相遇的区域内，波程差等于零或等于波长的整数倍的各点处合振动加 强(干涉相长)，波程差等于半波长的奇数 倍的各点处合振动减弱或抵消（干涉相消）。 这些干涉规律不仅对机械波适用，对于其 它的波如无线电波、光波等也适用。在后面 学习光的波动性时将应用此结论。 由式(2-54)和式(2-55)可知，对于两个 固定的波源来说，所有干涉相长和干涉相 消的点连在一起构成一系列以两波源所在 点为焦点的双曲线。如图 2-21 所示，图中 O1 和 O2 为两相干光源所在位置，粗实线表 示干涉相长的的地方，粗虚线表示干涉相 消的地方，细虚线和细实线分别表示在某 一时刻由两相干光源发出的波的波谷和波 峰。 例题 2-6 A 和 B 两初位相相同的相干波源相 距 40 米，频率为 50Hz，波速为 500 米/秒，求两相干波源的连线上产生干涉相长的位置和 产生干涉相消的位置。 解：由题意有，波源的初位相相同，波速 v 为 500 米/秒,波源的频率 f 为 50Hz，波源之间 的距离为 40 米，以波源 A 处为坐标原点 O，它们的连线 AB 建立 X 轴，正方向由 A 向 B。所 以有 波长 ＝ 10 50 500 = = f v 米 波程差 r r 40 x x 40 2x ＝ 2 − 1 = − − = − 由 ＝k (k 为整数）即 40− 2x = k 10 得 产生干涉相长的坐标为 x = 20 − 5k (k = 0，1， 2， 3， 4) 由 k + ) (k 2 1 ＝( 为整数）即 ) 10 2 1 40 − 2x = (k + 得 产生干涉相消的坐标为 (35 10 ) 4 ) 2 1 x = − k (k = − ,3， 2，1，0 三、 驻 波 驻波(standing wave)是一种特殊的干涉现象，它是由两列频率、振幅和振动方向均相 同但传播方向相反的波干涉的结果。 设两振幅，频率和振动方向均相同的两简谐波，一个沿 X 轴的正向无衰减地传播，另一 个沿 X 轴负向无衰减地传播，其波动方程分别为 ) 2 cos( 1 + 1 y = A t − x
2元y,=Acos(ot +x+Φ2)2由上述是两列波的振动方向相同，所以它们的合成波为2元2元y= yi + y2 = Acos(ot --x+)+Acos(ot+x+Φ)元2元 x + -P2)cos(0t +P2 + P2)=2Acos(x+(2-56)元422由上式可知，合成后在X轴上各点处的质元都在作以相同的角频率①作简谐振动，随着在X轴上的坐标的变化，其振幅也在变化。但每一点处的质元的振幅不随时间变化，只是坐标的2元x+2)1。因为0≤|cos((2元x+2-)/≤1,所以在X轴函数即振幅为|2Acos(x+x+2222上各质元中振幅最大为2A，最小为0。2元+P2-L)=1即由式（2-56）可得，在COS(x+2入(_2-)(k为整数)(2-57)x=(24元处的那些点的质元振动的振幅为最大，这些点处称为波腹（antinode）。由（2-57）很容易得2(+二)=0即。在|cos(到相邻波腹之间的距离为半个波长即为二。22入_2(k为整数)x=(2k+1)^(2-58)44元处的那些点的质元振动的振幅为最小（零），即不振动，这些点处称为波节（node）。同样，由2（2-58）很容易得到相邻波节之间的距离为半个波长即为一。由上可知，驻波中两相邻波节2或波腹的距离均为半个波长，根据此特点，只要测得相邻两波节或波腹的距离就可以得出该两列波的波长。2由（2-57）和（2-58）式可以很容易得出，波腹与相邻波节距离为。由（2-56）可知，在A同一时刻，相邻两波节之间的各点处的质元的振动具有相同的位相，而波节两侧的各点处的质元的振动具有相反的位相。因此两波节之间各点处的质元同时沿同一方向到达最大值，又同时沿同一方向经过平衡位置。而波节两侧的各点处的质元同时沿相反方向到达最大值，又同时沿相反方向经过平衡位置。如图2-22所示，波在任意时刻波形都是固定的，只是各点处质元的位移大小随时间发生变化，因此这种波称为驻波
) 2 cos( 2 + 2 y = A t + x 由上述是两列波的振动方向相同，所以它们的合成波为 ) (2 - 56) 2 ) cos( 2 2 2 cos( ) 2 ) cos( 2 cos( 2 2 2 2 1 2 1 2 + + − = + = + = − + + + + A x t y y y A t x A t x 由上式可知，合成后在 X 轴上各点处的质元都在作以相同的角频率 作简谐振动，随着在 X 轴上的坐标的变化，其振幅也在变化。但每一点处的质元的振幅不随时间变化，只是坐标的 函数即振幅为 ) | 2 2 | 2 cos( 2 − 1 + A x 。因为 0≤ ) | 2 2 | cos( 2 − 1 + x ≤1，所以在 X 轴 上各质元中振幅最大为 2A ，最小为 0。 由式（2-56）可得，在 ) | 2 2 | cos( 2 − 1 + x ＝1 即 k k x ( 2 4 2 1 ) − =（ − 为整数） （2-57） 处的那些点的质元振动的振幅为最大，这些点处称为波腹(antinode)。由（2-57）很容易得 到相邻波腹之间的距离为半个波长即为 2 。在 ) | 2 2 | cos( 2 − 1 + x ＝0 即 x (2k 1 (k 1 4 4 ) 2 − = + － 为整数） （2-58） 处的那些点的质元振动的振幅为最小(零)，即不振动，这些点处称为波节(node)。同样，由 （2-58）很容易得到相邻波节之间的距离为半个波长即为 2 。由上可知，驻波中两相邻波节 或波腹的距离均为半个波长，根据此特点，只要测得相邻两波节或波腹的距离就可以得出该 两列波的波长。 由（2-57）和（2-58）式可以很容易得出，波腹与相邻波节距离为 4 。由（2-56）可知，在 同一时刻，相邻两波节之间的各点处的质元的振动具有相同的位相，而波节两侧的各点处的 质元的振动具有相反的位相。因此两波节之间各点处的质元同时沿同一方向到达最大值，又 同时沿同一方向经过平衡位置。而波节两侧的各点处的质元同时沿相反方向到达最大值，又 同时沿相反方向经过平衡位置。如图 2-22 所示，波在任意时刻波形都是固定的，只是 各点处质元的位移大小随时间发生变化，因此这种波称为驻波
当相邻两波节之间各质元同时达到各自的最大位S移时，各质元速度均为零，因而其动能也为零：但各10(a质元的形变不同，其弹性势能也不同。波腹处形变为零，势能为零：波节处形变最大，势能最大。当相邻6两波节之间各质元同时达到各自的平衡位置时，各质元的形变消失，弹性势能均为零。但各质元的速度不同，其动能也不同。波腹处速度最大，动能最大：波节处速度为零，动能为零。由上可以看出，驻波中相邻两波节之间各质元不断进行动能和势能的相互转化，但由于波节处速度始终为零，所以能量不能通过从波节一边的质元传到另一边的质元。驻波是由两列振幅、频率和振动方向均相同，传播方向相反的两列eP波合成的，因此合成驻波的两列波的能流密度大小相等，但方向相反。所以从整体上看，驻波的能流密度LINLML、MLMLSX为零即没有能量的定性流动。由此驻波无所谓传播方向。实际上驻波是媒质的一种特殊振动状态，而不是图4-222驻波作为能量传播过程的波。为了区别一般的波与驻波，常常把前一种波称为行波。驻波的形成通常是入射波和反射波相干涉的情况下发生的。反射处出现的是波节还是波腹，取决于传播波和反射波的两种媒质的性质（密度p和波速u）。通常我们把密度p和波速u的乘积即pu作为判断是波密媒质还是波疏媒质的标准。波密媒质和波疏媒质与大家熟悉的光密媒质和光疏媒质一样是一个相对概念。两种媒质中密度p和波速u的乘积即pu较大媒质称为波密媒质，乘积pu较小的媒质称为波疏媒质。实验和理论证明，当波从波密媒质传到波疏媒质在其分界面反射时，反射处为波节，反之则为波腹。例如，声波从水面反射回空气时，反射处为波节；声波从海水传到水面被反射时，反射处为波腹。反射处出现波节表明在媒质界面反射处入射波的位相与反射波的位相相反，即反射波的位相突变了元，相当于损失或附加了半个波长再反射，因此把这种入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失(lossofhalf-wave)。反射处为波腹时，表明反射前后没有位相突变，因此无半波损失。四、声源物体的固有频率任何机械振动都可在其周围的媒质中激起机械波，若频率在20～20000赫兹，则振动物体即为声源。下面我们讨论几种简单的、常见的声源物体。1、弦振动当拨动两端固定而张紧的弦线时，在弦线中产生的波沿弦线传播到端点后被反射回来。这样就会产生驻波，但是驻波的波长不是只有一个，而是很多个。弦线实际的振动是由一系列具有不同波长的驻波的合成。由于弦线两端是固定不动的，因此无论对于那一波长的驻波在两固定的端点处必然是波节，而相邻两波节之间的距离为波长的一半，所以弦线上形成驻波的波长必须满足2L=n-(n=1,2,3,4·..)2式中L为弦线长，入为波长。对于一定长度的弦线来说，由上式得能形成驻波的波长有2L入，=(n=1, 2, 3, 4...)(2-59)n
当相邻两波节之间各质元同时达到各自的最大位 移时，各质元速度均为零，因而其动能也为零；但各 质元的形变不同，其弹性势能也不同。波腹处形变为 零，势能为零；波节处形变最大，势能最大。当相邻 两波节之间各质元同时达到各自的平衡位置时，各质 元的形变消失，弹性势能均为零。但各质元的速度不 同，其动能也不同。波腹处速度最大，动能最大；波 节处速度为零，动能为零。由上可以看出，驻波中相 邻两波节之间各质元不断进行动能和势能的相互转 化，但由于波节处速度始终为零，所以能量不能通过 从波节一边的质元传到另一边的质元。驻波是由两列 振幅、频率和振动方向均相同，传播方向相反的两列 波合成的，因此合成驻波的两列波的能流密度大小相 等，但方向相反。所以从整体上看，驻波的能流密度 为零即没有能量的定性流动。由此驻波无所谓传播方 向。实际上驻波是媒质的一种特殊振动状态，而不是 作为能量传播过程的波。为了区别一般的波与驻波， 常常把前一种波称为行波。 驻波的形成通常是入射波和反射波相干涉的情况下发生的。反射处出现的是波节还是 波腹，取决于传播波和反射波的两种媒质的性质（密度 和波速 u ）。通常我们把密度 和 波速 u 的乘积即 u 作为判断是波密媒质还是波疏媒质的标准。波密媒质和波疏媒质与大家 熟悉的光密媒质和光疏媒质一样是一个相对概念。两种媒质中密度 和波速 u 的乘积即 u 较大媒质称为波密媒质，乘积 u 较小的媒质称为波疏媒质。实验和理论证明，当波从波密 媒质传到波疏媒质在其分界面反射时，反射处为波节，反之则为波腹。例如，声波从水面反 射回空气时，反射处为波节；声波从海水传到水面被反射时，反射处为波腹。 反射处出现波节表明在媒质界面反射处入射波的位相与反射波的位相相反，即反射波的 位相突变了 ，相当于损失或附加了半个波长再反射，因此把这种入射波在反射时发生反相 的现象称为半波损失(loss of half-wave)。反射处为波腹时，表明反射前后没有位相突变， 因此无半波损失。 四、声源物体的固有频率 任何机械振动都可在其周围的媒质中激起机械波，若频率在 20～20000 赫兹，则振动物体 即为声源。下面我们讨论几种简单的、常见的声源物体。 1、 弦振动 当拨动两端固定而张紧的弦线时，在弦线中产生的波沿弦线传播到端点后被反射回来。 这样就会产生驻波，但是驻波的波长不是只有一个，而是很多个。弦线实际的振动是由一系 列具有不同波长的驻波的合成。由于弦线两端是固定不动的，因此无论对于那一波长的驻波 在两固定的端点处必然是波节，而相邻两波节之间的距离为波长的一半，所以弦线上形成驻 波的波长必须满足 ＝ ( 1，2，3，4 2 = L n n .) 式中 L 为弦线长， 为波长。对于一定长度的弦线来说，由上式得能形成驻波的波长有 1 2 = n = n L n ( ，2，3，4.） （2-59）