及 R [R-2(m-1": 2)g"a,0] (1325) 由(1.323)(13.25)可知,当m≥3时,有 (1) (1326) 其中 C我=R/! 6R一跌Rn 2 giRi) R 8;),(1.3.27) 此张量称为weyl张量或共形张量.上面证明两个非异对称 张量,若只差一正的因子,则它们的Wey张量相等 显而易见,如果a是对称的,则把a;b-41bk的指标 ik,l轮换然后相加,必定恒等于零因此,根据(1313)可知 C+C和+C (1328) C C是 (gHR-8;Rn+8Rn-留R顶) (g1t-8;8)=R (gitkRni -gilkRui) 其中AaB1=AtB1一AnBb。由(1312)可知 iπ (1330)
由(13.27)可知 0 (13.31) 值得注意的是,当m=3时,可以证明weyl张量恒等于 了(参阅[1) §14标架 在Rm的开集V中,若有m个微分向量场c{1(x),……·, m)(x),在每一点x卩是线性独立的,则称为v中的一组标 架{}.如果取山=b,此标架称为自然标榘 如果{22(x)}是V中另一组标架,则必有v中的可微分 函数A8(x)使得 c{a(x)=4*)(的(x), 1.4.1 这称为标架的变换.令cP(x),…·,cm)(x)是由方程 t (142) 所确定的量:满足 (14.3) 不难证明,对每一固定的ac(x)是V中的可微分协变向量 场.{c}称为相应于{ct}的协标架 在511中,我们曾定义x点的向量,它是对自然标架定 义的.由此而定义的张量也是对自然标架定义的。我们现在 为区别起见用,;-等来表示 对于自然标架的权的阶逆变阶协变张量对 应有唯一的对于标架{c}的张量 r时=(E)字nl…-ap…c',(14) 称为对于标架{el}的张量,这里 29
显然T与坐标的选取无关,因对于局部坐标的变换(11 2),(144)右边是不变的,因为对于坐标变换(1.12)标架向 量的变换为 a(6)=c(),aP()=(x) (14.6) 因而有 Tg=(detB)其-…邵)…) 但对于标架的变换(14.1),若令了哥为对于新的标渠 {叫的张量,便有 -=(t)T小…AA14…4-,(147) 其中 (148) A1…·Am 这里表示逆方阵A-的元素 对于局部坐标变换f:卩→,若在P中任取一组标架 {c(2)},它与由V变换而来的标架c(x)之间,必然差 一线性变换d8(x),即 c(+)9=(*) (!49) 对于如此的标架{22()}定义的张量7与原来的对于 标架{c{2(*)}定义的张量T之间,仍然有关系(147) 从(17)中可看出,T歌是G=GL(m,R)类型张 量,而对于坐标变换f:V-的联接方阵为
PVv()aA()=E-1 ax E 令r是512中所定义的线性变换对于坐标变换f:v→ 的联接函数为qv()=此即对于坐标变换(1 2),有 fP,m2x+2202 arar ak ar axa (1410) 令 e(a+richer, (1411) 6 则由计算可知,当作标架变换(149)时,有 6x2 A (1412) 匙 即r是一线性联络,它是由诱导出来的,由此可知可以 象(1.216)一样来定义权σ的张量的协变微分。 由(14.9)可知,标架c对指标j是自然标架的逆变向 量,对指标a是群GL(m,R)的协变向量,因此其协变微分 为 eib)ik aeb)+ e(b) (n) (1413) dxR 其中利用了(1411) 对于自然标架的可微分向量E的对于联络的协变 微分tk是一张量,它对应有一对于标架{e{}的张量: ∴c=的;kc}e=(e})ic X“十§a (1414) 其中
X2=eie 8 ax (14.15 是一微分算子,而 rk=Ⅳ=Xc+日et.(1416) 我们称为沿标架向量c2的协变微分.同样可以定义 权a的张量沿标架向量c的协变微分为 歌=XT飞+∑7的1如想“yg 1 T21-+:2+7e2:哥.(117) 现设V中存在二阶协变、对称、非异、可微分张量场 g;A(x).众所周知,存在可微分的向量场cl2(x)使得当V为 R一点x的充分小邻域时有 (1418) 其中 (1419) 0- 为r×r单位方阵.r-s称为g的号差( signature),满 足(1418)的标架{t称为伪正交标架,又由(1号19)可 知此方阵的逆方阵元素q〓ηb.如果号差为m,则称为 正交标架。此时,m5=B,8b=1(当a〓b,否则为零 (1418)亦可写成 gir a nobeaes (1420) 经标架变换(149)后,如果c{(x仍然为伪正交标架,则由 、xka 82 02 &i 23