二、典型例题 例1验证罗尔定理对y= n sin x在上 66 的正确性 解∵D:2Aπ<X<2kπ+π,(k=0,±1,…) 丌5 且在[, 上连续 66 又y=cotx在(,5内处处存在 并且∫()=f()=-In2
例1 . ] 6 5 , 6 lnsin [ 的正确性 验证罗尔定理对 在 上 y = x 解 D : 2k x 2k + , (k = 0,1, ) ] . 6 5 , 6 且在[ 上连续 又 在 )内处处存在 6 5 , 6 cot ( y = x ) 6 5 ) ( 6 ( = 并且 f f = −ln2 二、典型例题
函数y= In sin x在,死上满足罗尔定理 的条件 由y =cotx=U, π5几 )内显然有解x T 在 取ξ=。,则∫(ξ)=0. 这就验证了命题的正确性
. ] 6 5 , 6 lnsin [ 的条件 函数 在 上满足罗尔定理 y = x 由 y = cot x = 0, 在 )内显然有解 6 5 , 6 ( . 2 x = , 2 取 = 则 f () = 0. 这就验证了命题的正确性
例2 Darboux定理设f(x)在a,b内可导 则f(x)必至少有一次取得介于f(a)与∫(b) 之间的每一个值 证首先假定f(a)·f(b)<0 不妨设f(a)>0,f(b)<0 如右图所示 由假设知f(x)在a,b上连续 故f(x)在某点处取得最大值 这里2≠a,b
例 2 Darboux定理 : 设 f (x)在[a,b]内可导 之间的每一个值 则f (x)必至少有一次取得介于 f (a)与f (b) 证 首先假定 f (a) f (b) 0 不妨设 f (a) 0, f (b) 0 如右图所示 o y x a b 由假设知 f (x)在[a,b]上连续 故f (x)在某点处取得最大值 这里 a,b
由f(a)>0→f(x)在x=a的右方邻近,有 f(x)>∫(an) 由f(b)<0→f(x)在x=b的左侧邻近,有 f(x)>∫(b) →a<9<b由 Fermat定理得 ∫'(4)=0 其次,取介于∫(a)与f(b)之间的任意数C 为明确起见,不妨设∫(a)>C>∫(b) 引进辅助函数F(x)=f(x)-Cx 则F(x)在a,b内可导→F(x)=f(x)-C
由 f (a) 0 f (x)在x = a的 右方邻近，有 f (x) f (a) 由 f (b) 0 f (x)在x = b的 左侧邻近，有 f (x) f (b) a b 由 Fermat 定理,得 f ( ) = 0 其次，取介于 f (a)与f (b) 之间的任意数 C 为明确起见，不妨设 f (a) C f (b) 引进辅助函数 F(x) = f (x) − Cx 则 F(x)在[a,b]内可导 F(x) = f (x) −C
→F(a)=f(a)-C>0 F"(b)=f(b)-C<0 由上述已证知∈(a,b)使F()=0 即f(4)=C 例3证明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c 在(0,1)内至少有一实根 「分析]如令f(x)=4ax3+3bx2+2cx-(a+b+c) 则f(0),f(1)的符号不易判别 不便使用介值定理 用Role定理来证
F(a) = f (a) −C 0 F(b) = f (b) −C 0 由上述已证知 (a,b)使F( ) = 0 即 f ( ) = C 例3 证明方程 4ax + 3bx + 2cx = a + b + c 3 2 在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 ( ) 4 3 2 ( ) 3 2 f x = ax + bx + cx − a + b + c 则 f (0), f (1) 的符号不易判别 不便使用介值定理 用 Rolle 定理来证