288土质边坡穗定分析一原理·方法·程序 PF∝f(μx/ 2.可靠度指标的定义及其几何解释 为表述方便,假设X,Y服从Nμxx),N(Hy,oy)的正态分布,且统计上相互独立 则极限状态方程M=X-y的概率密度分布函数同样服从N(μM,oM)的正态分布,其中 μM=μx=μy (10.9) (10.10) 对于一个服从正态分布 N(HM, OM)的状态方程,研究的目标是确定M0的概率,即图106 所示的重叠区的面积。显然有 PF>P(M=X-Y<0)=N(M)dM 10.11) 不难证明,这一积分可以唯一地表达为M的函数,即 P=P(M=X-Y<0)=1-(M) (10.12) 可靠性理论称该数值为可靠度指标,用β表示,即 μ (10.13) 有了可靠度指标后,即可通过表106确定结构的失效概率 为进一步阐述可靠度指标β的几何意义,引入标准化变量 =4=x (10.14) (10.15) 把式(10.14)和式(10.15)代入极限状态方程,即式(10.8)得 (10.16) 在图107所示的标准化变量空间中,安全状态和失效状态被状态边界面M=0分开。从 图中所示的几何关系可知 Hx=μy (10.17) b x=μ (10.18) (10.19) 因此边坡系统的安全程度或可靠度可用原点到极限状态线的最短距离d来衡量。根据几
288 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 ( / , , ) F X Y X Y P ∝ f µ µ σ σ 2. 可靠度指标的定义及其几何解释 为表述方便 假设 X Y 服从 N(µ X ,σ X ) , N(µY ,σY ) 的正态分布 且统计上相互独立 则极限状态方程 M = X −Y 的概率密度分布函数同样服从 N(µM ,σ M ) 的正态分布 其中 (10.9) µM = µ X − µY (10.10) 2 2 2 σ M = σ X +σY 对于一个服从正态分布 N(µM, σM)的状态方程 研究的目标是确定 M<0 的概率 即图 10.6 所示的重叠区的面积 显然有 (10.11) ∫−∞ > = − < = 0 PF P(M X Y 0) N(M )dM 不难证明 这一积分可以唯一地表达为 M M σ µ 的函数 即 ( 0) 1 ( ) M M PF P M X Y σ µ = = − < = − Φ (10.12) 可靠性理论称该数值为可靠度指标 用β表示 即 M M σ µ β = (10.13) 有了可靠度指标后 即可通过表 10.6 确定结构的失效概率 为进一步阐述可靠度指标β的几何意义 引入标准化变量 X X X X σ − µ ′ = (10.14) Y Y Y Y σ − µ ′ = (10.15) 把式(10.14)和式(10.15)代入极限状态方程 即式(10.8)得 (10.16) M σ X X σYY + µX µY = ′ − ′ − 在图 10.7 所示的标准化变量空间中 安全状态和失效状态被状态边界面 M=0 分开 从 图中所示的几何关系可知 X X Y a σ µ − µ = (10.17) Y X Y b σ µ − µ = (10.18) 2 2 X Y X Y X Y c σ σ σ σ µ µ + − = (10.19) 因此边坡系统的安全程度或可靠度可用原点到极限状态线的最短距离 d 来衡量 根据几
第10章边坡稳定的风险分析289 何知识可知 d=abx-Hy=pM=阝 (10.20 通过式(1020)以及可靠度指标β的定义可以看出,β可以用标准化变量空间中原点到极限 状态线的最短距离来衡量 破坏面M 安全区M>0 图10.7标准化变量空间上的极限状态面 在上述讨论中,状态方程被假定为具有两个相互独立,但仍服从正态分布的随机变量的 线性函数。当线性安全度方程所包含的随机变量的个数增加,同样服从正态分布且相互独立 时,可靠度指标β的计算可直接由式(1020)从二维推广到多维。而当随机变量不服从正态分 布,或者相互关联时,可以通过某种方式把相应的随机变量转化为服从正态分布且相互独立, 从而求得可靠度指标β( Ang and Tang,1984)。上面对线性安全度方程(功能函数)可靠度指 标的求解思路将为求解广泛存在于边坡问题中的非线性功能函数的可靠度指标提供了坚实 的基础。 3.功能函数的定义及其讨论 (1)功能函数的定义。结构可靠度通常是指在一段时间内、一定荷载条件作用下完成预 定功能或系统运行正常的一种度量。在可靠度分析中,通常定义功能函数为 g(X)=g(x1,x2,…,xn) 式中:X=(x1,x2…,xn)为一向量;x(=1,2,…m)为影响边坡系统可靠度的n个变量 g(X)反映了结构的运行性能或者状态。当g(X)>0时,边坡系统处于安全状态;当 g(X)<0时,结构处于“破坏”或“失效”状态;而g(X)=0表示系统达到极限运行状态。 通常g(X)=0称为结构的极限状态方程 如果功能函数中随机变量x(=1.2,…,m)的联合概率密度函数为fx…x(x1,x2…,xn) 则结构处于安全状态(g(X)>0)的概率为 xo“」「xx、x1
第 10 章 边坡稳定的风险分析 289 何知识可知 β σ µ σ σ µ µ = = + − = = M M X Y X Y c ab d 2 2 (10.20) 通过式(10.20)以及可靠度指标β的定义可以看出 可以用标准化变量空间中原点到极限 状态线的最短距离来衡量 β 图 10. 7 标准化变量空间上的极限状态面 在上述讨论中 状态方程被假定为具有两个相互独立 但仍服从正态分布的随机变量的 线性函数 当线性安全度方程所包含的随机变量的个数增加 同样服从正态分布且相互独立 时 可靠度指标β的计算可直接由式(10.20)从二维推广到多维 而当随机变量不服从正态分 布 或者相互关联时 可以通过某种方式把相应的随机变量转化为服从正态分布且相互独立 从而求得可靠度指标β (Ang and Tang, 1984) 上面对线性安全度方程 功能函数 可靠度指 标的求解思路将为求解广泛存在于边坡问题中的非线性功能函数的可靠度指标提供了坚实 的基础 3. 功能函数的定义及其讨论 (1) 功能函数的定义 结构可靠度通常是指在一段时间内 一定荷载条件作用下完成预 定功能或系统运行正常的一种度量 在可靠度分析中 通常定义功能函数为 ( ) ( , , , ) (10.21) 1 2 n g X = g x x L x 式中 ( , , , ) 1 2 n X = x x L x 为一向量 xi (i=1,2, …, n)为影响边坡系统可靠度的 n 个变量 g(X) 反映了结构的运行性能或者状态 当 g(X) >0 时 边坡系统处于安全状态 当 g(X) <0 时 结构处于 破坏 或 失效 状态 而 g(X) =0 表示系统达到极限运行状态 通常 g(X) =0 称为结构的极限状态方程 如果功能函数中随机变量 xi (i=1,2, …, n)的联合概率密度函数为 ( , , , ) x1 , ,x 1 2 n f x x x L n L 则结构处于安全状态( g(X) >0)的概率为 (10.22) ∫ ∫ > = ( ) 0 , , , 1 2 1 2 ( , , , ) s g X x1 x2 x n dx dx dxn P f x x x L L n L L
290土质边坡德定分析一原理·方法·程序 同样处于破坏状态(g(X)<0)的失效概率Pp可以表示为 PF fx,x2…,xn(x,x2,…,xn)dxdx2…dn (10.23) g(X)<0 由式(1022)和式(10.23)可见,无论是P还是PF都可以通过数值积分的方法得到。当功 能函数g(X)是线性,所包含的随机变量相互独立且服从正态分布时,可以用10.22节中介 绍的方法计算可靠度指标β及相应的失效概率P 在随机变量的联合概率函数不易得到,或者功能函数g(X)是非线性时,可以用下面将 要介绍的一次二阶矩法(FOSM蒙特卡洛法( Monte carlo method)和 Rosenbluth法来计算边 坡问题的可靠度指标β及相应的失效概率PF 作为向可靠度分析过渡的一个措施,在建筑和水电行业的一些规范中,规定了分项系数 极限状态设计的原则。此时,分别将式(108)中的“资源”和“需求”用抗力R和作用S来 代表,并根据结构的重要性和参数的变异特性,加入了分项系数。例如,重力坝设计规范中 的公式为 Y oS(YGGK,YoOK,aK)s-R(A,ak) (1024) 式中各项公式意义可参见规范原文。 (2)边坡稳定分析中的功能函数。在边坡稳定领域进行可靠度分析时,发现在第2章和 第3章介绍的各种计算安全系数的方法都无法变成式(108减或式(10.24)的形式。在稳定分析 中,某些物理量,如材料的重量,既可以视为作用,但也是产生抗力(摩擦力)的主要因素。 因此,在将已有边坡稳定分析和可靠度分析接轨的过程中,需要作适当的处理。下面是现有 文献中可以看到的两种作法 (a)在已有的安全系数基础上定义功能函数。将极限状态改为 Li and Lumb,1987; Lowe,et.A.1998)如下两式,即 lnF(x1,x2,…,xn)=0 (10.26) 式(10.25)和式(1026中安全系数F为随机变量x;(=1,2,…,n)的函数Li和Lumb(1987) 指出,可以有各种不同的方法定义边坡稳定分析的功能函数。F是通过不同的方法获得的安 全系数,如简化毕肖普法、 Spencer法、 Morgenstern- Price方法等。 相应的可靠度指标定义( Chowdhurg,1984;Taba,l984; Fell. et. al,1988)为 (10.27) 式中:pF和F为安全系数F的均值和标准差。 使用这一处理方案,第2章和第3章介绍的计算安全系数的各种方法均不需要作任何改 动即可进行可靠度分析
290 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 同样处于破坏状态( g(X) <0)的失效概率 PF可以表示为 (10.23) ∫ ∫ < = ( ) 0 , , , 1 2 1 2 ( , , , ) 1 2 g X F x x x n n P f x x x dx dx dx L L n L L 由式(10.22)和式(10.23)可见 无论是 Ps还是 PF都可以通过数值积分的方法得到 当功 能函数 g(X) 是线性 所包含的随机变量相互独立且服从正态分布时 可以用 10.2.2 节中介 绍的方法计算可靠度指标β及相应的失效概率 PF 在随机变量的联合概率函数不易得到 或者功能函数 g(X) 是非线性时 可以用下面将 要介绍的一次二阶矩法(FOSM) 蒙特卡洛法(Monte Carlo Method)和 Rosenbleuth 法来计算边 坡问题的可靠度指标β及相应的失效概率 PF 作为向可靠度分析过渡的一个措施 在建筑和水电行业的一些规范中 规定了分项系数 极限状态设计的原则 此时 分别将式(10.8)中的 资源 和 需求 用抗力 R 和作用 S 来 代表 并根据结构的重要性和参数的变异特性 加入了分项系数 例如 重力坝设计规范中 的公式为 ( , ) 1 ( , , ) 1 0 K m k d G K Q K K f S G Q R α γ γ γ ψ γ γ α ≤ (10.24) 式中各项公式意义可参见规范原文 (2) 边坡稳定分析中的功能函数 在边坡稳定领域进行可靠度分析时 发现在第 2 章和 第 3 章介绍的各种计算安全系数的方法都无法变成式(10.8)或式(10.24)的形式 在稳定分析 中 某些物理量 如材料的重量 既可以视为作用 但也是产生抗力 摩擦力 的主要因素 因此 在将已有边坡稳定分析和可靠度分析接轨的过程中 需要作适当的处理 下面是现有 文献中可以看到的两种作法 (a) 在已有的安全系数基础上定义功能函数 将极限状态改为(Li and Lumb, 1987; Lowe, et. Al. 1998)如下两式 即 (10.25) ( , , , ) 1 0 F x1 x2 L xn − = ln ( , , , ) 0 (10.26) F x1 x2 L xn = 式(10.25)和式(10.26)中安全系数 F 为随机变量 xi (i = 1,2,L, n) 的函数 Li 和 Lumb (1987) 指出 可以有各种不同的方法定义边坡稳定分析的功能函数 F 是通过不同的方法获得的安 全系数 如简化毕肖普法 Spencer 法 Morgenstern−Price 方法等 相应的可靠度指标定义(Chowdhurg, 1984; Tabba, 1984; Fell. et. al, 1988)为 F F σ µ β −1 = (10.27) 式中 µF和σF为安全系数 F 的均值和标准差 使用这一处理方案 第 2 章和第 3 章介绍的计算安全系数的各种方法均不需要作任何改 动即可进行可靠度分析
第10章边坡德定的风险分析291 (b)“套改”方案。这一方案要求将现有的有关结构和稳定分析的方法按式(10.24)予 以改造。一些文献中曾将第3章介绍的瑞典法和毕肖普法中分子和分母两项改为相减的形 式(陈祖煜、张广文,1994)。在重力坝设计规范中,出现了一个从未见诸于文献的适应 于式(10.24)的双折线滑面深层抗滑稳定分析公式。水工建筑物抗震规范没有改造现有的毕 肖普法,其“条文说明”在论述土石坝和静力法边坡稳定分析时,提供了按毕肖普法计算 获得的安全系数和结构系数相关联的表。但是这张表是出现在“条文说明”中,一般并 无法律约束性。这一以安全系数为基础的方法出现在该规范中,仍然是有条件的。以上种 种作法的一个共同特点是有意无意地阻止在规范正文和附录中出现“安全系数”这四个字 可靠度和分项系数极限状态分析方法是作为传统的安全系数的对立面提出的。因此,与安 全系数相关的各种分析方法也必须推倒重来。 笔者曾著文讨论了按式(1024)强行修改稳定分析的传统方法存在的种种问题(陈祖煜、 张广文,1994;陈祖煜、陈立宏,2002)。文中指出,现行的有关安全系数定义和相应的处 理方法是几十年来人们在长期实践中积累而形成被普遍接受的作法。在边坡稳定分析中的 些因素,如重力,地震惯性力,它们既是作用又是抗力,很难将其分开。同时,如式(10.24) 那样带有量纲的比较方案难以在参数敏感性和优化设计中应用。一个边坡的“抗力比作用大 10万吨”这样的结论不会给人们关于其安全度有多大的定量概念,而“安全系数为1.5”这 命题所描述的安全度却是一个客观性指标,可以作为衡量所有边坡稳定性的依据 上述作法(b反映了有关人员对边坡稳定分析领域中关于“安全系数”概念的误解。近 代岩土力学对安全系数定义已经不是早期那个概括了诸多不确定因素的“大老K”了。安全 系数F是这样一个数值,它使设计参数中的强度指标c和∫缩减为cF和所F,从而使结构达 到极限平衡状态。 其实,上述作法(a)在西方有关边坡稳定可靠度分析中文献中,早已成为普遍接受、广 泛采用的方案。10.2.1节介绍的挡土墙抗滑稳定的内容便是一例子。在这个例子中,可以发 现,传统的挡土墙稳定分析方法一点都不需要修改,安全系数还是照算。在这篇论文的结论 中, Duncan写道:“失效概率不能看成安全系数的替代品,而是一种补充。同时计算安全系 数和失效概率比单独计算任何一个更好。虽然我们还不能准确地计算安全系数和失效概率, 但是两者互补可以大大提高成果的精度。” 20世纪90年代初期,美国科学院下属的美国国家科学研究委员会( National research Council,1995)组成了一个从事可靠度和传统方法的专家人数相同的的班子,对可靠度方法 在岩土工程中的应用和存在问题进行全面的研究。此班子名为“岩土工程减灾可靠度方法研 究委员会”。研究班子由这两个领域的著名专家 Wilson Tang和 Duncan领导。1995年,该 委员会提出了“岩土工程中的可靠度方法”的研究报告( National research council,1995),这 个报告的结论的第一段内容如下:“对于可靠度方法在岩土工程中作用的问题,委员会的主 要发现是:可靠度方法,如果不是把它作为现有传统方法的替代物的话,确实可以为分析岩 土工程中包含的不确定性提供系统的、定量的途径。在工程设计和决策中,用这一方法来定 量地驾驭和分析这些不确实因素尤为有效。” 另外还注意到,这一研究报告对安全系数和可靠度分析之间的关系写下以下一段文字
第 10 章 边坡稳定的风险分析 291 (b) 套改 方案 这一方案要求将现有的有关结构和稳定分析的方法按式(10.24)予 以改造 一些文献中曾将第 3 章介绍的瑞典法和毕肖普法中分子和分母两项改为相减的形 式 陈祖煜 张广文 1994 在重力坝设计规范中 出现了一个从未见诸于文献的适应 于式(10.24)的双折线滑面深层抗滑稳定分析公式 水工建筑物抗震规范没有改造现有的毕 肖普法 其 条文说明 在论述土石坝和静力法边坡稳定分析时 提供了按毕肖普法计算 获得的安全系数和结构系数γd相关联的表 但是这张表是出现在 条文说明 中 一般并 无法律约束性 这一以安全系数为基础的方法出现在该规范中 仍然是有条件的 以上种 种作法的一个共同特点是有意无意地阻止在规范正文和附录中出现 安全系数 这四个字 可靠度和分项系数极限状态分析方法是作为传统的安全系数的对立面提出的 因此 与安 全系数相关的各种分析方法也必须推倒重来 笔者曾著文讨论了按式(10.24)强行修改稳定分析的传统方法存在的种种问题 陈祖煜 张广文 1994 陈祖煜 陈立宏 2002 文中指出 现行的有关安全系数定义和相应的处 理方法是几十年来人们在长期实践中积累而形成被普遍接受的作法 在边坡稳定分析中的一 些因素 如重力 地震惯性力 它们既是作用又是抗力 很难将其分开 同时 如式(10.24) 那样带有量纲的比较方案难以在参数敏感性和优化设计中应用 一个边坡的 抗力比作用大 10 万吨 这样的结论不会给人们关于其安全度有多大的定量概念 而 安全系数为 1.5 这 一命题所描述的安全度却是一个客观性指标 可以作为衡量所有边坡稳定性的依据 上述作法(b)反映了有关人员对边坡稳定分析领域中关于 安全系数 概念的误解 近 代岩土力学对安全系数定义已经不是早期那个概括了诸多不确定因素的 大老 K 了 安全 系数 F 是这样一个数值 它使设计参数中的强度指标 c 和 f 缩减为 c/F 和 f/F 从而使结构达 到极限平衡状态 其实 上述作法(a)在西方有关边坡稳定可靠度分析中文献中 早已成为普遍接受 广 泛采用的方案 10.2.1 节介绍的挡土墙抗滑稳定的内容便是一例子 在这个例子中 可以发 现 传统的挡土墙稳定分析方法一点都不需要修改 安全系数还是照算 在这篇论文的结论 中 Duncan 写道 失效概率不能看成安全系数的替代品 而是一种补充 同时计算安全系 数和失效概率比单独计算任何一个更好 虽然我们还不能准确地计算安全系数和失效概率 但是两者互补可以大大提高成果的精度 20 世纪 90 年代初期 美国科学院下属的美国国家科学研究委员会(National Research Council 1995)组成了一个从事可靠度和传统方法的专家人数相同的的班子 对可靠度方法 在岩土工程中的应用和存在问题进行全面的研究 此班子名为 岩土工程减灾可靠度方法研 究委员会 研究班子由这两个领域的著名专家 Wilson Tang 和 Duncan 领导 1995 年 该 委员会提出了 岩土工程中的可靠度方法 的研究报告(National Research Council, 1995) 这 个报告的结论的第一段内容如下 对于可靠度方法在岩土工程中作用的问题 委员会的主 要发现是 可靠度方法 如果不是把它作为现有传统方法的替代物的话 确实可以为分析岩 土工程中包含的不确定性提供系统的 定量的途径 在工程设计和决策中 用这一方法来定 量地驾驭和分析这些不确实因素尤为有效 另外还注意到 这一研究报告对安全系数和可靠度分析之间的关系写下以下一段文字
292土质边坡德定分析—原理·方法程序 “有时,用抗力作用这样的简单的表达式来定义安全系数不一定有明确的概念。例如,在 边坡稳定分析中,位于坡趾的土的重量可以作为一个抵抗土体主要部分的滑动力矩的平衡力 量。这一贡献既不是附加的抗力也不是减少的作用力。由于对这些贡献的处理方法不同,用 前述的简化方法计算可靠度指标时会出现一些反常现象。为了解决这一问题,在岩土工程系 统中,可以引入对安全系数具有一般意义的定义。安全系数可以表达为以下一个广义的功能 F=g(x1,x2,…xm) 式中:x,为结构自变量。 事实上,这一公式具有更为一般的意义,因为,抗力通常是土的特性和几何特性的函数 而作用力同样又是这样一些变量,加上其它一些变量。” 综上所述,作者认为,在建筑物抗滑稳定和滑坡分析中,已经有了一套成熟的建立在安 全系数基础上的可靠度分析方法。因此,进入可靠度和风险分析领域,无需引入式(10.24) 这样一个过程 10.3蒙特卡洛法( Monte carlo method) 10.3.1基本原理 蒙特卡洛法,又称统计试验法或随机抽样技巧法。它适用于随机变量的概率密度分布形 式已知或符合假定的情况,在目前可靠度计算中,是一种相对精确的方法。随着计算机技术 的不断发展,蒙特卡洛法在工程中的应用将越来越广 蒙特卡洛法是从概率的角度出发来求解失效概率的,首先对影响可靠度的随机变量进行 大量随机抽样,然后将这些抽样值逐个代入功能函数,累计功能函数值小于零的个数,由此 确定失效频率。根据定义,某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算,因此 如果抽样次数达到一定值时,得到的失效频率将逼近可靠度分析的失效概率。但是应用蒙特 卡洛法,抽样随机性的可靠性和样本数目的大小都是影响该失效概率精度的主要因素 10.3.2随机抽样过程 1.随机数的产生方法 抽样的随机性是通过产生随机数的方法来完成。这通常要分两步进行:首先产生在开区 间(0,1)上的均匀分布随机数;然后在此基础上变换成给定分布的随机数。 产生随机数的方法一般是利用随机数表、物理方法和数学方法。其中,数学方法以其速 度快、计算简单和可重复性等优点而被人们广泛地使用。随着对随机数的不断研究和改进 人们已提出了各种数学方法,例如取中法、加同余法、乘同余法、混合同余法和组合同余法 上述方法中,乘同余法更具有统计性质优良、周期长等特点。下面简要介绍一下该方法的计 算过程。 (1)选择适当的参数。将参数a、b、c和初始值x代入公式 (10.28) 式中:x、a、b、c均为正整数
292 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 有时 用抗力/作用这样的简单的表达式来定义安全系数不一定有明确的概念 例如 在 边坡稳定分析中 位于坡趾的土的重量可以作为一个抵抗土体主要部分的滑动力矩的平衡力 量 这一贡献既不是附加的抗力也不是减少的作用力 由于对这些贡献的处理方法不同 用 前述的简化方法计算可靠度指标时会出现一些反常现象 为了解决这一问题 在岩土工程系 统中 可以引入对安全系数具有一般意义的定义 安全系数可以表达为以下一个广义的功能 函数 ( , , ) F = g x1 x2 Lxm 式中 xi为结构自变量 事实上 这一公式具有更为一般的意义 因为 抗力通常是土的特性和几何特性的函数 而作用力同样又是这样一些变量 加上其它一些变量 综上所述 作者认为 在建筑物抗滑稳定和滑坡分析中 已经有了一套成熟的建立在安 全系数基础上的可靠度分析方法 因此 进入可靠度和风险分析领域 无需引入式(10.24) 这样一个过程 10. 3 蒙特卡洛法 (Monte Carlo Method) 10. 3. 1 基本原理 蒙特卡洛法 又称统计试验法或随机抽样技巧法 它适用于随机变量的概率密度分布形 式已知或符合假定的情况 在目前可靠度计算中 是一种相对精确的方法 随着计算机技术 的不断发展 蒙特卡洛法在工程中的应用将越来越广 蒙特卡洛法是从概率的角度出发来求解失效概率的 首先对影响可靠度的随机变量进行 大量随机抽样 然后将这些抽样值逐个代入功能函数 累计功能函数值小于零的个数 由此 确定失效频率 根据定义 某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算 因此 如果抽样次数达到一定值时 得到的失效频率将逼近可靠度分析的失效概率 但是应用蒙特 卡洛法 抽样随机性的可靠性和样本数目的大小都是影响该失效概率精度的主要因素 10. 3. 2 随机抽样过程 1. 随机数的产生方法 抽样的随机性是通过产生随机数的方法来完成 这通常要分两步进行 首先产生在开区 间(0,1)上的均匀分布随机数 然后在此基础上变换成给定分布的随机数 产生随机数的方法一般是利用随机数表 物理方法和数学方法 其中 数学方法以其速 度快 计算简单和可重复性等优点而被人们广泛地使用 随着对随机数的不断研究和改进 人们已提出了各种数学方法 例如取中法 加同余法 乘同余法 混合同余法和组合同余法 上述方法中 乘同余法更具有统计性质优良 周期长等特点 下面简要介绍一下该方法的计 算过程 (1) 选择适当的参数 将参数 a b c 和初始值 x0代入公式 ( )(mod ) (10.28) 1 x ax b c i+ = i + 式中 x a b c 均为正整数