第9章钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算 9.1概述 在前面几章里，根据持久状况承载能力极限状态计算原则，己详细介绍了钢筋混凝土 构件的承载力计算及设计方法。但是，钢筋混凝士构件除了可能由于材料强度破坏或失稳等 原因达到承载能力极限状态以外，还可能由于构件变形或裂缝过大影响了构件的适用性及耐 久性，而达不到结构正常使用要求。因此，钢筋混凝士构件除要求进行持久状况承载能力极 限状态计算外，还要进行持久状况正常使用极限状态的计算，以及短暂状况的构件应力计算。 本章以钢筋混凝土受弯构件为例，介绍《公路桥规》对钢筋混凝土构件进行这类计算 的要求与方法。 对于钢筋湿凝土受查构件，《公路桥规》规定必须讲行使用阶段的变形和最大裂缝窗度 验算，除此之外，还应进行受弯构件在施工阶段的混凝土和钢筋应力验算 与承载能力极限状态计算相比，钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算有如下特点 1)钢筋混凝土受弯构件的承载能力极限状态是取构件破坏阶段，例如，其正截面承载 力计算即取图3-10所示的Ⅲa状态为计算图式基础：而使用阶段一般取图3-10所示的第Ⅱ 阶段，即梁带裂缝工作阶段。 2)在钢筋混凝土受弯构件的设计中，其承载力计算决定了构件设计尺寸、材料、配筋 数量及钢筋布置，以保证截面承载能力要大于最不利荷载效应：yM。≤M。,计算内容分 为截面设计和截面复核两部分。使用阶段计算是按照构件使用条件对己设计的构件进行计 算，以保证在正常使用状态下的裂缝宽度和变形小于规范规定的各项限值，这种计算称为验 算”。当构件验算不满足要求时，必须按承载能力极限状态要求对已设计好的构件进行修正 调整，直至满足两种极限状态的设计要求。 3)承载能力极限状态计算时汽车荷载应计入冲击系数，作用（或荷载）效应及结构构 件的抗力均应采用考虑了分项系数的设计值：在多种作用（或荷载）效应情况下，应将各设 计值效应进行最不利组合，并根据参与组合的作用（或荷载）效应情况，取用不同的效应组 合系数。 正常使用极限状态计算时作用（或荷载）效应应取用短期效应和长期效应的一种或两 种组合，并且《公路桥规》明确规定这时汽车荷载可不计冲击系数的。 上述讨论中提到的短期效应组合就是永久作用（结构自重）标准值与可变作用频遇值 效应的组合：长期效应组合则为永久作用标淮值与可变作用准永久值效应的组合。 有关作用短期效应组合和作用长期效应组合的要求参见第2意所述。 在钢筋混凝士受弯构件正常使用阶段的验算和应力验算中，要用到“换算截面”的概 念，因此，本章将先介绍受弯构件换算截面的概念及其计算方法，然后介绍正常使用阶段利 施工阶段各项验算的方法。 9.2换算截面 钢筋混凝土受弯构件受力进入第Ⅱ工作阶段的特征是弯曲竖向裂缝已形成并开展，中 和轴以下大部分混凝土已退出工作，由钢筋承受拉力，应力为。，但还远小于其屈服强度， 受压区混凝土的压应力图形大致是抛物线形。而受弯构件的荷载挠度（跨中）关系曲线是 一条接近于直线的曲线。因而，钢筋混凝土受弯构件的第Ⅱ工作阶段又可称为开裂后弹性
9-1 第 9 章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算 9.1 概 述 在前面几章里，根据持久状况承载能力极限状态计算原则，已详细介绍了钢筋混凝土 构件的承载力计算及设计方法。但是，钢筋混凝土构件除了可能由于材料强度破坏或失稳等 原因达到承载能力极限状态以外，还可能由于构件变形或裂缝过大影响了构件的适用性及耐 久性，而达不到结构正常使用要求。因此，钢筋混凝土构件除要求进行持久状况承载能力极 限状态计算外，还要进行持久状况正常使用极限状态的计算，以及短暂状况的构件应力计算。 本章以钢筋混凝土受弯构件为例，介绍《公路桥规》对钢筋混凝土构件进行这类计算 的要求与方法。 对于钢筋混凝土受弯构件，《公路桥规》规定必须进行使用阶段的变形和最大裂缝宽度 验算，除此之外，还应进行受弯构件在施工阶段的混凝土和钢筋应力验算。 与承载能力极限状态计算相比，钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算有如下特点： 1) 钢筋混凝土受弯构件的承载能力极限状态是取构件破坏阶段，例如，其正截面承载 力计算即取图 3-10 所示的Ⅲa 状态为计算图式基础；而使用阶段一般取图 3-10 所示的第 II 阶段，即梁带裂缝工作阶段。 2) 在钢筋混凝土受弯构件的设计中，其承载力计算决定了构件设计尺寸、材料、配筋 数量及钢筋布置，以保证截面承载能力要大于最不利荷载效应： 0Md ≤ Mu ，计算内容分 为截面设计和截面复核两部分。使用阶段计算是按照构件使用条件对已设计的构件进行计 算，以保证在正常使用状态下的裂缝宽度和变形小于规范规定的各项限值，这种计算称为“验 算”。当构件验算不满足要求时，必须按承载能力极限状态要求对已设计好的构件进行修正、 调整，直至满足两种极限状态的设计要求。 3) 承载能力极限状态计算时汽车荷载应计入冲击系数，作用（或荷载）效应及结构构 件的抗力均应采用考虑了分项系数的设计值；在多种作用（或荷载）效应情况下，应将各设 计值效应进行最不利组合，并根据参与组合的作用（或荷载）效应情况，取用不同的效应组 合系数。 正常使用极限状态计算时作用（或荷载）效应应取用短期效应和长期效应的一种或两 种组合，并且《公路桥规》明确规定这时汽车荷载可不计冲击系数的。 上述讨论中提到的短期效应组合就是永久作用（结构自重）标准值与可变作用频遇值 效应的组合；长期效应组合则为永久作用标准值与可变作用准永久值效应的组合。 有关作用短期效应组合和作用长期效应组合的要求参见第 2 章所述。 在钢筋混凝土受弯构件正常使用阶段的验算和应力验算中，要用到“换算截面”的概 念，因此，本章将先介绍受弯构件换算截面的概念及其计算方法，然后介绍正常使用阶段和 施工阶段各项验算的方法。 9.2 换算截面 钢筋混凝土受弯构件受力进入第 II 工作阶段的特征是弯曲竖向裂缝已形成并开展，中 和轴以下大部分混凝土已退出工作，由钢筋承受拉力，应力为 s 但还远小于其屈服强度， 受压区混凝土的压应力图形大致是抛物线形。而受弯构件的荷载-挠度（跨中）关系曲线是 一条接近于直线的曲线。因而，钢筋混凝土受弯构件的第 II 工作阶段又可称为开裂后弹性
阶段。 对于第工作阶段的计算，一般右下面的二项基本假定 平截面假定 即认为梁的正截面在梁受力 并发生弯曲变形以后，仍保持为平面。 根据平截面假定， 平行于梁中和轴的各纵向纤维的应变与其到中和轴的距离成正比， 同时，由于钢筋与混凝土之间的粘结力，钢筋与其同一水平线的混凝土应变相等，因此，由 图91可得到 E/x=E/(h-x) (91) 6,=6。 (9-2) 式中6。、6。一一分别为混凝士的受拉和受压平均应变： 6,一与混凝土的受拉平均应变为￡。的同一水平位置处的钢筋平均拉应变： x一一受压区高度： 么，一一截面有效高度。 图9受弯构件的开裂截面 a)开裂截面b)应力分布c)开裂截面的计算图式 (2)弹性体假定。钢筋混凝土受弯构件在第Ⅱ工作阶段时，混凝土受压区的应力分布 图形是曲线形，但此时曲线并不丰满，与直线形相差不大，可以近似地看作直线分布，即受 玉风混凝土的应力与平均应变成正比。故右： (9-3) 同时，假定在受拉钢筋水平位置处混凝土的平均拉应变与应力成正比，即 0.=6.E (94) ?)受拉风湿十完全不能承受拉应力。拉应力完全由钢筋承受 由上述三个基本假定作出的钢筋混凝土受弯构件在第Ⅱ工作阶段的计算图式见图91 由式(9-2)和式(94)可得到 o。=eE.=EE 因为 6,=o/E 故有 (9.5) 9.2
9-2 阶段。 对于第 II 工作阶段的计算，一般有下面的三项基本假定。 （1）平截面假定，即认为梁的正截面在梁受力并发生弯曲变形以后，仍保持为平面。 根据平截面假定，平行于梁中和轴的各纵向纤维的应变与其到中和轴的距离成正比。 同时，由于钢筋与混凝土之间的粘结力，钢筋与其同一水平线的混凝土应变相等，因此，由 图 9-1 可得到 ' 0 ( ) c c x h x = − （9-1） s c = （9-2） 式中 c 、 ' c ——分别为混凝土的受拉和受压平均应变； s ——与混凝土的受拉平均应变为 c 的同一水平位置处的钢筋平均拉应变； x ——受压区高度； 0 h ——截面有效高度。 = ) ) ) 图 9-1 受弯构件的开裂截面 a)开裂截面 b)应力分布 c)开裂截面的计算图式 （2）弹性体假定。钢筋混凝土受弯构件在第 II 工作阶段时，混凝土受压区的应力分布 图形是曲线形，但此时曲线并不丰满，与直线形相差不大，可以近似地看作直线分布，即受 压区混凝土的应力与平均应变成正比。故有： ' ' c c c = E （9-3） 同时，假定在受拉钢筋水平位置处混凝土的平均拉应变与应力成正比，即 c c c = E （9-4） （3）受拉区混凝土完全不能承受拉应力。拉应力完全由钢筋承受。 由上述三个基本假定作出的钢筋混凝土受弯构件在第 II 工作阶段的计算图式见图 9-1。 由式（9-2）和式（9-4）可得到 c c c s c = = E E 因为 s s s = E 故有 s c c s Es s E E = = （9-5）
式中的α：，称为钢筋混凝土枸件截面的换算系数，等于钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比 值ae=E,/E。 式(95)表明在钢筋同一水平位置处混凝土拉应力σ。为钢筋应力c,的1/α，倍，换言 之，钢筋的拉应力，是同一水平位置处混凝土拉应力。的a,倍。 由钢筋混凝士受弯构件第Ⅱ工作阶段计算假定而得到的计算图式与材料力学中匀质梁 计算图式非常接近，主要区别是钢筋混凝士梁的受拉区混凝土不参予工作。因此，如果能将 钢筋和受压区混凝土两种材料组成的实际截面换算一种拉压性能相同的假想材料组成的匀 质截面（称换算截面），这样一来，换算截面可以看作是由匀质弹性材料组成的截面，从而 能采用材料力学公式进行截面计算 通常，将钢筋截面积A,换算成假想的受拉混凝土截面积A,位于钢筋的重心处（图 9.2)。 图9-2换算截面图 a原截而b换算截而 假想的混凝土所承受的总拉力应该与钢筋承受的总拉力相等，故： A,G,=AG 又由式(9-5)知o。=0,/aa,则可得到 A=A0,/o。=aExA (9-6) 将A。=口g,A,称为钢筋的换算面积，而将受压区的混凝土面积和受拉区的钢筋换算面 积所组成的截面称为钢筋混凝士构件开裂截面的换算截面（图9-2）。这样就可以按材料力 学的方法来计算换算截面的几何特性】 对于图92所示的单筋矩形截面，换算截面的几何特性计算表达式为 换算截面面积4 A=bx +ag A. (9.7】 换算截面对中和轴的静矩S。: 受压区 (9-8) 受拉区 S.=EA,(h-x) (9-9)
9-3 式中的 Es 称为钢筋混凝土构件截面的换算系数，等于钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比 值 / Es s c = E E 。 式（9-5）表明在钢筋同一水平位置处混凝土拉应力 c 为钢筋应力 s 的 1/Es 倍，换言 之，钢筋的拉应力 s 是同一水平位置处混凝土拉应力 c 的 Es 倍。 由钢筋混凝土受弯构件第 II 工作阶段计算假定而得到的计算图式与材料力学中匀质梁 计算图式非常接近，主要区别是钢筋混凝土梁的受拉区混凝土不参予工作。因此，如果能将 钢筋和受压区混凝土两种材料组成的实际截面换算一种拉压性能相同的假想材料组成的匀 质截面（称换算截面），这样一来，换算截面可以看作是由匀质弹性材料组成的截面，从而 能采用材料力学公式进行截面计算。 通常，将钢筋截面积 As 换算成假想的受拉混凝土截面积 Asc ，位于钢筋的重心处（图 9-2）。 ) ) 图 9-2 换算截面图 a)原截面 b)换算截面 假想的混凝土所承受的总拉力应该与钢筋承受的总拉力相等，故： A A s s sc c = 又由式（9-5）知 / c s Es = ，则可得到 / A A A sc s s c Es s = = （9-6） 将 Asc = E s As 称为钢筋的换算面积，而将受压区的混凝土面积和受拉区的钢筋换算面 积所组成的截面称为钢筋混凝土构件开裂截面的换算截面（图 9-2）。这样就可以按材料力 学的方法来计算换算截面的几何特性。 对于图 9-2 所示的单筋矩形截面，换算截面的几何特性计算表达式为 换算截面面积 A0 A bx A 0 = +Es s （9-7） 换算截面对中和轴的静矩 0 S ： 受压区 1 2 2 oc S bx = （9-8） 受拉区 S A h x ot Es s = − ( 0 ) （9-9）
换算截面惯性矩1。 =3r+a,4,-x (9-10) 对于受弯构件，开裂截面的中和轴通过其换算截面的形心轴，即S=S,可得到 iha4(h=s) 化简后解得换算截面的受压区高度为 x-“4,+2-1 (9-11) b aE,A, 图9-3是受压翼缘有效宽度为b,时，T形截面的换算截面计算图式。 1四2222H 图93开裂状态下T形截面换算计算图式 a)第一类T型裁面b)第二类T型截面 当受压区高度x≤受压翼板高度h,时，为第一类T型截面，可按宽度为b,的矩形截面， 应用式(97)至式(911)来计算开裂截面的换算截面几何特性。 当受压区高度X>h,表明中和轴位于T形截面的肋部，为第二类T型截面。这时， 换算截面的受压区高度x计算式为 x=√P+B-A (9.12) A=,A+6-bh,B-2a,46+6- 6 开裂截面的换算截面对其中和轴的惯性1。为 5以色-b-+4-对 (9-13) 3 在钢筋混凝土受弯构件的使用阶段和施工阶段的计算中，有时会遇到全截面换算截面 的概念。 9.4
9-4 换算截面惯性矩 cr I ( ) 2 3 0 1 3 cr E s s I bx A h x = + − （9-10） 对于受弯构件，开裂截面的中和轴通过其换算截面的形心轴，即 Soc = Sot ，可得到 ( ) 2 0 1 2 Es s bx A h x = − 化简后解得换算截面的受压区高度为 0 2 1 1 Es s Es s A bh x b A = + − （9-11） 图 9-3 是受压翼缘有效宽度为 ' f b 时，T 形截面的换算截面计算图式。 ) ) 图 9-3 开裂状态下 T 形截面换算计算图式 a)第一类 T 型截面 b)第二类 T 型截面 当受压区高度 x ≤受压翼板高度 ' f h 时，为第一类 T 型截面，可按宽度为 ' f b 的矩形截面， 应用式（9-7）至式（9-11）来计算开裂截面的换算截面几何特性。 当受压区高度 x > ' f h ，表明中和轴位于 T 形截面的肋部，为第二类 T 型截面。这时， 换算截面的受压区高度 x 计算式为 2 x A B A = + − （9-12） ( ) b A b b h A E s s f f ' ' + − = ， ( )( ) 2 ' ' 0 2 E s s f f A h b b h B b + − = 开裂截面的换算截面对其中和轴的惯性 cr I 为 ( )( ) ( ) 3 ' ' ' 3 2 0 3 3 f f f cr E s s b x b b x h I A h x − − = − + − （9-13） 在钢筋混凝土受弯构件的使用阶段和施工阶段的计算中，有时会遇到全截面换算截面 的概念
图94全面换算示意图 a)原截面b)换算截面 全截面的换算截面是混凝士全截面面积和钢筋的换算面积所组成的被面。对于图94所 示的T形截面，全截面的换算截面几何特性计算式为 换算截面面积： A=bh+(b-b)H+(@E,-1)A (9.14) 受压区高度： to.-1 (9-15) 换算截面对中和轴的惯性矩： =i的+咖-矿+位6，-6G+何-6y停-对 +(a,-)A(h-x) (9-16) 9.3应力计算 对于钢筋混凝土受弯构件，《公路桥规》要求进行施工阶段的应力计算，即短暂状况的 应力验 钢筋混凝土桑在施工阶段，特别是梁的运输、安装过程中，梁的支承条件、受力图式 会发生变化。例如，图95b)所示简支梁的吊装，吊点的位置并不在梁设计的支座截面，当 吊点位置α较大时，将会在吊点截面处引起较大负弯矩。又如图95c)所示，采用“钧鱼法” 架设简支梁，在安装施工中，其受力简图不再是简支体系。因此，应该根据受弯构件在施工 中的实际受力体系进行正截面和斜截面的应力计算。 《公路桥规》规定进行施工阶段验算，施工荷载除有特别规定外均采用标准值，当有 组合时不考虑荷载组合系数。构件在吊装时，构件重力应乘以动力系数1.2或0.85，并可视 构件具体情况适当增减。当用吊机（吊车）行驶于桥梁进行安装时，应对已安装的构件进行验 算，吊机（车）应乘以1.15的荷载系数，但当由吊机（车）产生的效应设计值小于按持久 状况承载能力极限状态计算的荷载效应设计值时，则可不必验算。 对于钢筋混凝土受弯构件麓工阶段的应力计算，可按第Ⅱ工作阶段进行。《公路桥规》 规定受弯构件正截面应力应符合下列条件 (1)受压区混凝土边缘纤维应力 o≤0.80f (2)受拉钢筋应力 on≤0.75fa 95
9-5 ) ) 图 9-4 全截面换算示意图 a)原截面 b)换算截面 全截面的换算截面是混凝土全截面面积和钢筋的换算面积所组成的截面。对于图 9-4 所 示的 T 形截面，全截面的换算截面几何特性计算式为 换算截面面积： A bh b b h A 0 = + − + − ( f f E s s ) ( 1) （9-14） 受压区高度： ( ) 2 2 0 0 1 1 ( )( ) 1 2 2 f f E s s bh b b h A h x A + − + − = （9-15） 换算截面对中和轴的惯性矩： 1 1 1 3 2 ' ' 3 ' 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 12 2 12 2 f o f f f f h I bh bh h x b b h b b h x = + − + − + − − ( ) ( ) 2 0 1 + − − E s s A h x (9-16） 9.3 应力计算 对于钢筋混凝土受弯构件，《公路桥规》要求进行施工阶段的应力计算，即短暂状况的 应力验算。 钢筋混凝土梁在施工阶段，特别是梁的运输、安装过程中，梁的支承条件、受力图式 会发生变化。例如，图 9-5b)所示简支梁的吊装，吊点的位置并不在梁设计的支座截面，当 吊点位置 a 较大时，将会在吊点截面处引起较大负弯矩。又如图 9-5c)所示，采用“钩鱼法” 架设简支梁，在安装施工中，其受力简图不再是简支体系。因此，应该根据受弯构件在施工 中的实际受力体系进行正截面和斜截面的应力计算。 《公路桥规》规定进行施工阶段验算，施工荷载除有特别规定外均采用标准值，当有 组合时不考虑荷载组合系数。构件在吊装时，构件重力应乘以动力系数 1.2 或 0.85，并可视 构件具体情况适当增减。当用吊机(吊车)行驶于桥梁进行安装时，应对已安装的构件进行验 算，吊机（车）应乘以 1.15 的荷载系数，但当由吊机（车）产生的效应设计值小于按持久 状况承载能力极限状态计算的荷载效应设计值时，则可不必验算。 对于钢筋混凝土受弯构件施工阶段的应力计算，可按第 II 工作阶段进行。《公路桥规》 规定受弯构件正截面应力应符合下列条件： （1）受压区混凝土边缘纤维应力 t cc ≤ 0.80 ck f （2）受拉钢筋应力 t si ≤ sk 0.75 f