《工程科学学报》：单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖孙朝阳郭祥如魏云灿蔡旺 Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui,SUN Chao-yang,GUO Xiang-ru,WEI Yun-can,CAI Wang 引用本文： 王春晖，孙朝阳，郭祥如，魏云灿，蔡旺.单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究).工程科学学报，2021,43(10)： 1365-1375.doi:10.13374j.issn2095-9389.2021.04.21.005 WANG Chun-hui,SUN Chao-yang,GUO Xiang-ru,WEI Yun-can,CAI Wang.Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(10):1365- 1375.doi:10.13374.issn2095-9389.2021.04.21.005 在线阅读View online::htps/ldoi.org/10.13374/.issn2095-9389.2021.04.21.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in Zr-Cu薄膜生长及力学性能的分子动力学模拟 Molecular dynamic simulations of the growth and mechanical properties of ZrCu films 工程科学学报.2019,41(4：497 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.04.010 高应变率下红砂岩"冻伤效应" "Frostbite effect"of red sandstone under high strain rates 工程科学学报.2019,41(10：1249htps:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.01.14.002 SC半导体不同晶面氧化机理及动力学的研究进展 Research progress on the oxidation mechanism and kinetics of a SiC semiconductor with different crystal surfaces 工程科学学报.2021,435)：594htps:doi.org10.13374j.issn2095-9389.2020.10.10.001 微波场下的钒渣氯化动力学 Kinetics of chlorination of vanadium slag by microwave heating 工程科学学报.2020,429外：1157 https:/doi.org/10.13374j.issn2095-9389.2019.09.20.003 外加强环式H型钢梁-方钢管角柱节点抗震性能 Seismic performance of H-shaped steel beam-to-square steel corner column connection with external strengthened ring 工程科学学报.2018,40(8：1005 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.08.015 基于深度循环神经网络的协作机器人动力学误差补偿 Error compensation of collaborative robot dynamics based on deep recurrent neural network 工程科学学报.2021,43(7)：995 https://doi..org10.13374.issn2095-9389.2020.04.30.003

单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖 孙朝阳 郭祥如 魏云灿 蔡旺 Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui, SUN Chao-yang, GUO Xiang-ru, WEI Yun-can, CAI Wang 引用本文: 王春晖, 孙朝阳, 郭祥如, 魏云灿, 蔡旺. 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究[J]. 工程科学学报, 2021, 43(10): 1365-1375. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005 WANG Chun-hui, SUN Chao-yang, GUO Xiang-ru, WEI Yun-can, CAI Wang. Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(10): 1365- 1375. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in Zr-Cu薄膜生长及力学性能的分子动力学模拟 Molecular dynamic simulations of the growth and mechanical properties of Zr—Cu films 工程科学学报. 2019, 41(4): 497 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.04.010 高应变率下红砂岩"冻伤效应" "Frostbite effect" of red sandstone under high strain rates 工程科学学报. 2019, 41(10): 1249 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.01.14.002 SiC半导体不同晶面氧化机理及动力学的研究进展 Research progress on the oxidation mechanism and kinetics of a SiC semiconductor with different crystal surfaces 工程科学学报. 2021, 43(5): 594 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.10.10.001 微波场下的钒渣氯化动力学 Kinetics of chlorination of vanadium slag by microwave heating 工程科学学报. 2020, 42(9): 1157 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.20.003 外加强环式H型钢梁-方钢管角柱节点抗震性能 Seismic performance of H-shaped steel beam-to-square steel corner column connection with external strengthened ring 工程科学学报. 2018, 40(8): 1005 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.015 基于深度循环神经网络的协作机器人动力学误差补偿 Error compensation of collaborative robot dynamics based on deep recurrent neural network 工程科学学报. 2021, 43(7): 995 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.30.003

工程科学学报.第43卷，第10期：1365-1375.2021年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.10:1365-1375,October 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005;http://cje.ustb.edu.cn 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖2)，孙朝阳2，)四，郭祥如，魏云灿12)，蔡旺2) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)北京科技大学金属轻量化成形制造北京市重点实验室，北京1000833)北京科技大学顺 德研究生院，佛山5280004)天津理工大学天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室，天津300384 ☒通信作者，E-mail:suncy@usth.edu.cn 摘要针对亚微米尺度晶体元器件在加工和服役中出现的反常力学行为和动态变形等问题，基于离散位错动力学理论建 立了单晶铜塑性变形过程的二维离散位错动力学模型.该模型考虑外加载荷、位错间相互力和自由表面镜像力对位错的作 用机制，引入了截断位错速度准则.与微压缩实验对比验证了模型的正确性，并且能够描述力加载描述的位错雪崩现象.应 用该模型分析了不同加载方式和应变率下位错演化及力学行为，结果表明：当外部约束为力加载和位移加载时，应力应变曲 线分别呈现出台阶状的应变突增和锯齿状的应力陡降.位错雪崩效应的内在机制则分别归结为位错速度的随机性和位错源 开动的间歇性：应变率在10~4×10s1范围内，单品铜屈服应力的应变率敏感性发生改变，位错演化特征由单滑移转变为多 滑移面激活的均匀变形，位错增殖逐渐代替位错源激活作为流动应力的主导机制 关键词单晶铜：离散位错动力学；加载方式：应变率；力学行为 分类号TG142.71 Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two- dimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui2,SUN Chao-yang 2 GUO Xiang-r),WEI Yun-can 2,CAl Wang2) 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Beijing Key Laboratory of Lightweight Metal Forming,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)Shunde Graduate School,University of Science and Technology Beijing.Foshan 528000,China 4)Tianjin Key Laboratory for Advanced Mechatronic System Design and Intelligent Control,School of Mechanical Engineering,Tianjin University of Technology,Tianjin 300384,China Corresponding author,E-mail:suncy @ustb.edu.cn ABSTRACT Microelectromechanical systems (MEMS)that feature components with the same geometrical size as that of an individual grain have been widely used in a variety of industries,including electronics,machinery,energy,transportation,aerospace,and architecture.Owing to the widespread engineering application of MEMS and nanoelectromechanical system devices,including sensors and actuators,submicron scale crystal materials exhibit mechanical behaviors different from those of macroscale materials,such as size effect,intermittent plastic flow,and strain rate effect,that have become significant topics in mechanics and materials research in recent years.Since dislocations are the carriers of plastic deformation,understanding the dislocation mechanism of submicron crystalline materials is crucial for designing and predicting microdevice reliability.To improve the understanding of abnormal mechanical behavior and dynamic deformation of submicron scale crystal components in processing and application,a two-dimensional discrete dislocation dynamics model of single crystal copper for plastic deformation was established based on the discrete dislocation dynamics theory.The 收稿日期：2021-04-21 基金项目：国家自然科学基金委员会与英国皇家学会合作交流资助项目(51911530209)：国家自然科学基金面上资助项目(52175285)：国 家自然科学基金NSAF联合资助项目(U1730121):北京科技大学顺德研究生院科技创新专项基金资助项目(BK19CE008)

单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖1,2)，孙朝阳1,2,3) 苣，郭祥如4)，魏云灿1,2)，蔡    旺1,2) 1) 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083    2) 北京科技大学金属轻量化成形制造北京市重点实验室, 北京 100083    3) 北京科技大学顺 德研究生院, 佛山 528000    4) 天津理工大学天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室, 天津 300384 苣通信作者， E-mail: suncy@ustb.edu.cn 摘    要    针对亚微米尺度晶体元器件在加工和服役中出现的反常力学行为和动态变形等问题，基于离散位错动力学理论建 立了单晶铜塑性变形过程的二维离散位错动力学模型. 该模型考虑外加载荷、位错间相互力和自由表面镜像力对位错的作 用机制，引入了截断位错速度准则. 与微压缩实验对比验证了模型的正确性，并且能够描述力加载描述的位错雪崩现象. 应 用该模型分析了不同加载方式和应变率下位错演化及力学行为，结果表明：当外部约束为力加载和位移加载时，应力应变曲 线分别呈现出台阶状的应变突增和锯齿状的应力陡降，位错雪崩效应的内在机制则分别归结为位错速度的随机性和位错源 开动的间歇性；应变率在 102～4×104 s −1 范围内，单晶铜屈服应力的应变率敏感性发生改变，位错演化特征由单滑移转变为多 滑移面激活的均匀变形，位错增殖逐渐代替位错源激活作为流动应力的主导机制. 关键词    单晶铜；离散位错动力学；加载方式；应变率；力学行为 分类号    TG142.71 Investigation  of  the  plastic  deformation  of  single  crystal  copper  using  a  two￾dimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui1,2) ，SUN Chao-yang1,2,3) 苣 ，GUO Xiang-ru4) ，WEI Yun-can1,2) ，CAI Wang1,2) 1) School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) Beijing Key Laboratory of Lightweight Metal Forming, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 3) Shunde Graduate School, University of Science and Technology Beijing, Foshan 528000, China 4) Tianjin Key Laboratory for Advanced Mechatronic System Design and Intelligent Control, School of Mechanical Engineering, Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China 苣 Corresponding author, E-mail: suncy@ustb.edu.cn ABSTRACT    Microelectromechanical  systems  (MEMS)  that  feature  components  with  the  same  geometrical  size  as  that  of  an individual grain have been widely used in a variety of industries, including electronics, machinery, energy, transportation, aerospace, and architecture. Owing to the widespread engineering application of MEMS and nanoelectromechanical system devices, including sensors and actuators, submicron scale crystal materials exhibit mechanical behaviors different from those of macroscale materials, such as size effect, intermittent plastic flow, and strain rate effect, that have become significant topics in mechanics and materials research in recent years.  Since  dislocations  are  the  carriers  of  plastic  deformation,  understanding  the  dislocation  mechanism  of  submicron  crystalline materials is crucial for designing and predicting microdevice reliability. To improve the understanding of abnormal mechanical behavior and dynamic deformation of submicron scale crystal components in processing and application, a two-dimensional discrete dislocation dynamics model of single crystal copper for plastic deformation was established based on the discrete dislocation dynamics theory. The 收稿日期: 2021−04−21 基金项目: 国家自然科学基金委员会与英国皇家学会合作交流资助项目（51911530209）；国家自然科学基金面上资助项目（52175285）；国 家自然科学基金 NSAF 联合资助项目（U1730121）；北京科技大学顺德研究生院科技创新专项基金资助项目（BK19CE008） 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期：1365−1375，2021 年 10 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 10: 1365−1375, October 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005; http://cje.ustb.edu.cn

·1366 工程科学学报，第43卷，第10期 effects of applied load,dislocation interactions,and image force by the free surface on dislocations were all considered in the numerical model,and the cutoff weighted dislocation velocity was also introduced.The model can be used to describe the "dislocation avalanche" effect under stress-controlled modes and interpret the dislocation evolution and mechanical behavior under different loading modes and strain rates,as demonstrated by microcompression experiments.When the external loading modes are force control and displacement control,the stress-strain curves show a step-like character under strain and a sharply serrated character under stress,respectively.The randomization of the dislocation velocity and intermittent activation of dislocation sources are the internal mechanisms of the dislocation avalanche effect.The strain rate sensitivity of the yield stress for single crystal copper changes in the strain rate range of 102-4x 10s The evolution characteristics of the dislocations change from single slip plane to uniform deformations induced by multiple slip planes activation,and the dominant mechanism for the strain rate effect of yield stress is dislocation multiplication rather than dislocation source activation. KEY WORDS single crystal copper;discrete dislocation dynamics;loading modes;strain rates;mechanical behavior 随着以传感器和激励器为代表的微机械微电 认为是位错机制从单臂位错源增殖变化到表面形 子元器件的广泛应用和发展，亚微米尺度晶体材料 核.Zheng等2o在传统二维离散位错动力学(Two- 表现出明显区别于宏观尺度材料的力学行为-， dimensional discrete dislocation dynamics,2D-DDD) 如尺寸效应B)、时空不连续性6刀以及应变率敏 模型中引入热激活位错逃逸机制，分析了应力松 感性⑧-)为了评估并预测亚微米尺度晶体元器件 弛和蠕变过程中钛合金的应变率敏感性行为.然 在加工和服役中的性能，需要搭建起反常力学响 而，上述研究仅仅聚焦纳米尺度晶体和低应变率 应与微结构演化的桥梁，分析其在不同加载方式 下变形行为.郭祥如等叫基于3D-DDD分析单晶 和应变率下的力学响应和位错机制. 镍压缩变形过程中流动应力和变形机制的应变率 实验研究表明，单向压缩的亚微米尺度单晶 效应，揭示了更高应变率下有效应力代替位错源 在不同加载方式下呈现显著的时空不连续性：在 激活应力成为流动应力的主要部分这一机理 力加载时，应力-应变曲线呈现台阶状；在位移加 Agnihotri与Van der Giessen四的多晶铜拉伸变形 载时，应力-应变曲线呈现锯齿状.离散位错则以 的工作也表达相同的观点，但是没有基于理论解 类似“雪崩”的方式贡献塑性应变，在晶体表面形 析的具体量化分析， 成很多滑移带和滑移线uo-川.Papanikolaou等a和 传统的连续介质力学理论缺乏材料的内禀长 MaaB等1通过实验发现了非常规的准周期性雪崩 度参数，无法描述亚微米尺度位错形核、运动、湮 式应变爆发.Csikor等通过三维位错动力学 灭等一系列演化反应2)，为了简化计算模型，提高 Three-dimensional discrete dislocation dynamics, 处理晶体材料的计算效率，本文主要采用2D 3D-DDD)模拟和相应变形行为的统计分析，确定 DDD模型来研究单晶铜不同加载方式和应变率的 了位错雪崩过程中应变变化的分布，并建立了其 塑性流动问题.通过与微压缩的位移加载实验结 对微晶尺寸的依赖关系.上述研究揭示了发生应 果对照，验证了模型的可行性.在此基础上，将加 变突增或者应力陡降的内在原因，并基于模型和 载方式与位错演化联系起来，解释了不同加载方 理论表征其规律性，然而未分析加载方式对间歇 式对应的特征应力-应变曲线，揭示了高应变率对 性行为的影响.Cui等s-在3D-DDD模拟中通 单晶铜位错演化和屈服应力的影响，确定了应变 过调整外部加载方式，发现单品铜微柱的力学行 率敏感性行为转变机制 为从力控制下的应变爆发转变到位移控制下的准 1单晶铜二维离散位错动力学模型 周期振荡.上述工作尚未分析不同加载方式下力 学特征转变的位错机理. 1.1二维离散位错动力学框架 在类似碰撞和冲击的高应变率服役环境中， 离散位错动力学是以晶体材料弹性连续介质 亚微米单品铜应变率相关的位错基动态变形机制 中线缺陷-位错为研究对象，通过对滑移系中大量 已成为重要的研究方向-阁Jennings等通过实 位错的集群运动和相互反应的显式表达，描述塑 验研究纳米单晶铜在不同应变率下的拉伸和压缩 性变形特征的微尺度力学建模方法.2D-DDD模 行为，发现了流动应力的应变率敏感性随着晶体 型，如图1(a),忽略三维位错交割和螺位错交滑移 尺寸的减小和应变率的上升出现转变，其原理被 等交互作用机制，将三维位错线投影到二维平面

effects of applied load, dislocation interactions, and image force by the free surface on dislocations were all considered in the numerical model, and the cutoff weighted dislocation velocity was also introduced. The model can be used to describe the “dislocation avalanche” effect under stress-controlled modes and interpret the dislocation evolution and mechanical behavior under different loading modes and strain rates, as demonstrated by microcompression experiments. When the external loading modes are force control and displacement control, the stress–strain curves show a step-like character under strain and a sharply serrated character under stress, respectively. The randomization of the dislocation velocity and intermittent activation of dislocation sources are the internal mechanisms of the dislocation avalanche effect. The strain rate sensitivity of the yield stress for single crystal copper changes in the strain rate range of 102 –4 × 104 s −1 . The evolution characteristics of the dislocations change from single slip plane to uniform deformations induced by multiple slip planes activation,  and  the  dominant  mechanism  for  the  strain  rate  effect  of  yield  stress  is  dislocation  multiplication  rather  than  dislocation source activation. KEY WORDS    single crystal copper；discrete dislocation dynamics；loading modes；strain rates；mechanical behavior 随着以传感器和激励器为代表的微机械微电 子元器件的广泛应用和发展，亚微米尺度晶体材料 表现出明显区别于宏观尺度材料的力学行为[1−2] ， 如尺寸效应[3−5]、时空不连续性[6−7] 以及应变率敏 感性[8−9] . 为了评估并预测亚微米尺度晶体元器件 在加工和服役中的性能，需要搭建起反常力学响 应与微结构演化的桥梁，分析其在不同加载方式 和应变率下的力学响应和位错机制. 实验研究表明，单向压缩的亚微米尺度单晶 在不同加载方式下呈现显著的时空不连续性：在 力加载时，应力−应变曲线呈现台阶状；在位移加 载时，应力−应变曲线呈现锯齿状. 离散位错则以 类似“雪崩”的方式贡献塑性应变，在晶体表面形 成很多滑移带和滑移线[10−11] . Papanikolaou 等[12] 和 Maaß等[13] 通过实验发现了非常规的准周期性雪崩 式应变爆发. Csikor 等[14] 通过三维位错动力学 （ Three-dimensional  discrete  dislocation  dynamics, 3D−DDD）模拟和相应变形行为的统计分析，确定 了位错雪崩过程中应变变化的分布，并建立了其 对微晶尺寸的依赖关系. 上述研究揭示了发生应 变突增或者应力陡降的内在原因，并基于模型和 理论表征其规律性，然而未分析加载方式对间歇 性行为的影响. Cui 等[15−16] 在 3D−DDD 模拟中通 过调整外部加载方式，发现单晶铜微柱的力学行 为从力控制下的应变爆发转变到位移控制下的准 周期振荡. 上述工作尚未分析不同加载方式下力 学特征转变的位错机理. 在类似碰撞和冲击的高应变率服役环境中， 亚微米单晶铜应变率相关的位错基动态变形机制 已成为重要的研究方向[17−18] . Jennings 等[19] 通过实 验研究纳米单晶铜在不同应变率下的拉伸和压缩 行为，发现了流动应力的应变率敏感性随着晶体 尺寸的减小和应变率的上升出现转变，其原理被 认为是位错机制从单臂位错源增殖变化到表面形 核. Zheng 等[20] 在传统二维离散位错动力学（Two￾dimensional  discrete  dislocation  dynamics,  2D−DDD） 模型中引入热激活位错逃逸机制，分析了应力松 弛和蠕变过程中钛合金的应变率敏感性行为. 然 而，上述研究仅仅聚焦纳米尺度晶体和低应变率 下变形行为. 郭祥如等[21] 基于 3D−DDD 分析单晶 镍压缩变形过程中流动应力和变形机制的应变率 效应，揭示了更高应变率下有效应力代替位错源 激活应力成为流动应力的主要部分这一机理. Agnihotri 与 Van der Giessen [22] 的多晶铜拉伸变形 的工作也表达相同的观点，但是没有基于理论解 析的具体量化分析. 传统的连续介质力学理论缺乏材料的內禀长 度参数，无法描述亚微米尺度位错形核、运动、湮 灭等一系列演化反应[23] ，为了简化计算模型，提高 处理晶体材料的计算效率 ，本文主要采用 2D− DDD 模型来研究单晶铜不同加载方式和应变率的 塑性流动问题. 通过与微压缩的位移加载实验结 果对照，验证了模型的可行性. 在此基础上，将加 载方式与位错演化联系起来，解释了不同加载方 式对应的特征应力−应变曲线，揭示了高应变率对 单晶铜位错演化和屈服应力的影响，确定了应变 率敏感性行为转变机制. 1    单晶铜二维离散位错动力学模型 1.1    二维离散位错动力学框架 离散位错动力学是以晶体材料弹性连续介质 中线缺陷–位错为研究对象，通过对滑移系中大量 位错的集群运动和相互反应的显式表达，描述塑 性变形特征的微尺度力学建模方法. 2D−DDD 模 型，如图 1（a），忽略三维位错交割和螺位错交滑移 等交互作用机制，将三维位错线投影到二维平面 · 1366 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期

王春晖等：单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 ·1367. (a) (b) Stress/GPa 1.0 0.5 15 -1.0 国1位错的二维简化及其应力场.()位错线在二维平面的投影示意图：(b)水平方向和(c)倾斜45°方向正刃型位错剪切应力场 Fig.1 Two dimensional simplification of and stress field of dislocation:(a)planar representation of the dislocation line on a 2D plane,stress field ( around a positive edge dislocation in the(b)horizontal direction and (c)tilt direction with an angle of 45 上，简化为平面模型中一个伏尔特拉(Volterra)奇 图中，n代表位错环所在滑移面的单位法向，b表 异点，通过关注刃型位错点的受力、运动和演化， 示位错的Burgers矢量. 研究微尺度晶体塑性变形行为. 由于位错与边界以及位错之间强相互作用， 品体中位错受到的应力来源主要是外部作用 位错结构热力学不平衡态驱动位错沿滑移系运动 和模拟区域内位错间的相互作用.根据施密特 并重新分布，基于最小势能原理，位错运动的热力 (Schmid)定律，计算外部载荷在滑移系上对位错 学构型力，即位错皮奇-凯勒(Peach-Koehler)力为： 的分解剪切应力2网，位错间的相互作用是通过位 错弹性应力场起作用，2D-DDD中刃型位错在无 fi=n. o+∑-b (6) 限大介质中的应力场公式如下2s-6: 其中，m表示位错i所在滑移面单位法向，表示 Gby(3x2+y2） xx=- (1) 位错i的Burgers矢量，ap表示外部作用应力张 2π(1-)）(x2+y2)2 量，求和项∑σ表示所有N个位错j对位错i的 Gb y2-y2） Owy= (2) 2(1-y(2+27 长程作用应力张量 当施加在位错上的驱动力大于阻碍力时，位 Gb x2-y2） 错开始运动，主要包括滑移和攀移.位错滑移是连 0y= (3) 2π(1-0(x2+y2)2 续弹性介质场中位错沿晶体特定滑移系运动的保 其中，，w,o分别是位错在x方向、y方向的 守运动，而位错攀移是在垂直滑移面通过吸收和 正应力以及剪切应力，Pa:v是泊松比，量纲为一； 释放点缺陷实现位错扩散运动的非保守运动7 (x,y)是模拟区域任意点相对位错的位置，(m, 通常在非高温变形环境下，位错运动形式以滑移 m);G和b分别为品体材料的剪切模量(Pa)和位 为主.在Peach-Koehler力作用下，考虑到位错运 错的伯格斯(Burgers)矢量的模，m.由于位错间的 动处于过阻尼状态，每个位错段的速度由作用在 相互作用的计算基于水平且平行的两滑移面，在 其上的总力和黏滞阻尼系数决定，即位错1的滑移 倾转滑移系下应力场的计算需要考虑坐标系x-y 速度表示为P42: 和滑移坐标系x'-y两个系统应力张量的变换，具 vi=fi B (7) 体公式如下2： Bo B= (8) '=R(aT..R(a) (4) 1-2| 其中，。为坐标系x-y下的应力张量，σ为滑移坐 其中，v是位错i的滑移速度，ms;B为位错滑移 标系x'-y下的应力张量，R@为产生应力场的位错 的黏性阻尼系数，Nsm;为作用在位错i上的 所在滑移系α的坐标旋转矩阵： Peach--Koehler力.是位错平均速度，ms;'s为剪 R(@)- cos()sin(o) 5) 切波速，ms.当位错运动速度较低时，采用静态 -sin()cos() 黏性阻尼系数Bo,Nsm 其中，o是滑移系a中x方向相对x方向的倾斜角 经历剧烈塑性变形后的金属晶体，其位错密 度，()：应力场旋转结果如图1(b)和图1(c)所示. 度可增加4~5个数量级，说明晶体在塑性变形过

上，简化为平面模型中一个伏尔特拉（Volterra）奇 异点，通过关注刃型位错点的受力、运动和演化， 研究微尺度晶体塑性变形行为. 晶体中位错受到的应力来源主要是外部作用 和模拟区域内位错间的相互作用. 根据施密特 （Schmid）定律，计算外部载荷在滑移系上对位错 的分解剪切应力[24] ，位错间的相互作用是通过位 错弹性应力场起作用，2D−DDD 中刃型位错在无 限大介质中的应力场公式如下[25−26] ： σxx = − Gb 2π(1−ν) y ( 3x 2 +y 2 ) ( x 2 +y 2 )2 （1） σyy = Gb 2π(1−ν) y ( x 2 −y 2 ) ( x 2 +y 2 )2 （2） σxy = Gb 2π(1−ν) x ( x 2 −y 2 ) ( x 2 +y 2 )2 （3） 其中，σxx, σyy, σxy 分别是位错在 x 方向、y 方向的 正应力以及剪切应力，Pa；ν 是泊松比，量纲为一； （ x, y）是模拟区域任意点相对位错的位置 ，（m， m）；G 和 b 分别为晶体材料的剪切模量 (Pa) 和位 错的伯格斯（Burgers）矢量的模，m. 由于位错间的 相互作用的计算基于水平且平行的两滑移面，在 倾转滑移系下应力场的计算需要考虑坐标系 x−y 和滑移坐标系 x′−y′两个系统应力张量的变换，具 体公式如下[26] ： σ ′ = R (α)T ·σ· R (α) （4） 其中，σ 为坐标系 x−y 下的应力张量，σ′为滑移坐 标系 x′−y′下的应力张量，R (α) 为产生应力场的位错 所在滑移系 α 的坐标旋转矩阵： R (α) = [ cos(φ α ) sin(φ α ) −sin(φ α ) cos(φ α ) ] （5） 其中，φ α 是滑移系 α 中 x′方向相对 x 方向的倾斜角 度，（º）；应力场旋转结果如图 1（b）和图 1（c）所示. 图中，n 代表位错环所在滑移面的单位法向，b 表 示位错的 Burgers 矢量. 由于位错与边界以及位错之间强相互作用， 位错结构热力学不平衡态驱动位错沿滑移系运动 并重新分布，基于最小势能原理，位错运动的热力 学构型力，即位错皮奇−凯勒（Peach−Koehler）力为： f i = n i ·   σ app + ∑ N j,i σ ′j   · b i （6） ∑ N j,i σ ′j 其中，n i 表示位错 i 所在滑移面单位法向，b i 表示 位错 i 的 Burgers 矢量，σ app 表示外部作用应力张 量，求和项 表示所有 N 个位错 j 对位错 i 的 长程作用应力张量. 当施加在位错上的驱动力大于阻碍力时，位 错开始运动，主要包括滑移和攀移. 位错滑移是连 续弹性介质场中位错沿晶体特定滑移系运动的保 守运动，而位错攀移是在垂直滑移面通过吸收和 释放点缺陷实现位错扩散运动的非保守运动[27] . 通常在非高温变形环境下，位错运动形式以滑移 为主. 在 Peach−Koehler 力作用下，考虑到位错运 动处于过阻尼状态，每个位错段的速度由作用在 其上的总力和黏滞阻尼系数决定，即位错 i 的滑移 速度表示为[24,28] ： v i = f i / B （7） B = B0 1−v¯ 2 / v 2 s （8） v i f i v¯ 其中， 是位错 i 的滑移速度，m·s−1 ；B 为位错滑移 的黏性阻尼系数，N·s·m−1 ； 为作用在位错 i 上的 Peach−Koehler 力. 是位错平均速度，m·s−1 ；vs 为剪 切波速，m·s−1 . 当位错运动速度较低时，采用静态 黏性阻尼系数 B0，N·s·m−1 . 经历剧烈塑性变形后的金属晶体，其位错密 度可增加 4～5 个数量级，说明晶体在塑性变形过 b n x y 0 1.0 0.5 (a) (b) (c) −0.5 −1.0 Stress/GPa σxy y' x' 图 1    位错的二维简化及其应力场. （a）位错线在二维平面的投影示意图；（b）水平方向和（c）倾斜 45°方向正刃型位错剪切应力场 Fig.1    Two dimensional simplification of and stress field of dislocation: (a) planar representation of the dislocation line on a 2D plane; stress field (σxy) around a positive edge dislocation in the (b) horizontal direction and (c) tilt direction with an angle of 45° 王春晖等： 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 · 1367 ·

·1368 工程科学学报，第43卷，第10期 程中必然发生着位错增殖.其中，弗兰克-瑞德 用偶极子上外部分解切应力正好与偶极子之的间 (Frank-Read)位错源形核是内部位错增殖的一种 互相吸引应力平衡： 主要方式.2D-DDD方法将位错源简化和近似成 Gb Lnuc=2r(l-U）Tauc (11) 滑移面上一点，当作用在点源上的分切应力x大于 临界形核强度tc并保持临界发育时间1auc后，一 当同一滑移面中一对异号位错互相吸引并靠 对带有异号Burgers矢量位错偶极子形核在位错 近会发生湮灭，在2D-DDD模型中，设置当正负位 源点两侧，其分布极性与分切应力方向对应.为使 错相互距离小于临界距离Lami,位错发生湮灭 位错源开动，作用在位错源的分解切应力需克服 Lanni是材料相关参数，m;在计算中一般取Lam=6b0 位错线弯曲时的线张力.根据奥罗万(Orowan)应 1.2离散位错动力学模型的数值实现 力判据，位错源静态平衡破坏需要的临界切应 本研究中离散位错动力学模型计算流程如 力为： 图2所示，采用前向欧拉积分算法以时间增量步 的方式进行.在每个增量步中，需要的计算主要 Tnuc =28 Gb (9) lo 是：①确定当前位错的构型、应力和应变状态； 其中，B为一个量化参数，对Frank--Read源，l,lo为 ②根据位错所处应力状态计算位错运动Peach- 位错源初始长度，m:与晶体尺寸有关.16满足一个 Koehler力；③根据式(7)~(11)的本构法则处理位 均值：心和标准差△的高斯分布，以确保位错源 错运动、Frank-Read源形核、异号湮灭等短程位 强度在一定范围内变动 错构型的变化、为了提高计算效率，节约计算成 位错临界形核时间为2,2： 本，根据应变率和计算总应变确定固定时间步增 lo 量.同时，为了考虑实际情况位错不会超过前面位 toue=22Taucb (10) 错的特点，计算中需要对相邻位错判断，若当前时 其中，1是描述位错从半椭圆到完全位错环的增 间步内发生位错越过现象则需要对位错速度进行 强因子，2为与黏性阻尼系数B有关的常数，Pas. 修正.本文主程序基于Matlab平台编写，使用C语 一对偶极子的临界形核距离Lnuc由临界形核 言编写的mex子程序计算位错间相互作用 应力确定，从而确保当一对位错偶极子产生，作 小应变假设下的2D-DDD模型，忽略了试样 nput material and calculation parameters Initialize simulation Determine the geometry of the simulation No Yes Current time<Total time? Calculate dislocation stress field Check dislocation nucleation Obtain Peach-Koehler force Post processing Calculate dislocation slip velocities Stress-strain curve Check dislocation over-jump and Plastic slip distribution correct dislocation velocities Statistical dislocation density Update dislocation positions Remove dislocations due to End annihilations and escaping from free surfaces 图22D-DDD模型的模拟流程 Fig.2 Flow chart of the 2D-DDD model

程中必然发生着位错增殖. 其中，弗兰克−瑞德 （Frank−Read）位错源形核是内部位错增殖的一种 主要方式. 2D−DDD 方法将位错源简化和近似成 滑移面上一点，当作用在点源上的分切应力 τ 大于 临界形核强度 τnuc 并保持临界发育时间 tnuc 后，一 对带有异号 Burgers 矢量位错偶极子形核在位错 源点两侧，其分布极性与分切应力方向对应. 为使 位错源开动，作用在位错源的分解切应力需克服 位错线弯曲时的线张力. 根据奥罗万（Orowan）应 力判据[21] ，位错源静态平衡破坏需要的临界切应 力为： τnuc = 2β Gb l0 （9） l ave 0 其中，β 为一个量化参数，对 Frank−Read 源，β≈1，l0 为 位错源初始长度，m；与晶体尺寸有关. l0 满足一个 均值 和标准差 Δl0 的高斯分布，以确保位错源 强度在一定范围内变动. 位错临界形核时间为[22,29] ： tnuc = η1η2 l0 2τnucb （10） 其中，η1 是描述位错从半椭圆到完全位错环的增 强因子，η2 为与黏性阻尼系数 B 有关的常数，Pa·s. 一对偶极子的临界形核距离 Lnuc 由临界形核 应力确定[25] ，从而确保当一对位错偶极子产生，作 用偶极子上外部分解切应力正好与偶极子之的间 互相吸引应力平衡： Lnuc = G 2π(1−υ) b τnuc （11） 当同一滑移面中一对异号位错互相吸引并靠 近会发生湮灭，在 2D−DDD 模型中，设置当正负位 错相互距离小于临界距离 Lanni，位错发生湮灭. Lanni 是材料相关参数，m；在计算中一般取 Lanni=6b [30] . 1.2    离散位错动力学模型的数值实现 本研究中离散位错动力学模型计算流程如 图 2 所示，采用前向欧拉积分算法以时间增量步 的方式进行. 在每个增量步中，需要的计算主要 是：①确定当前位错的构型、应力和应变状态； ②根据位错所处应力状态计算位错运动 Peach− Koehler 力；③根据式（7）～（11）的本构法则处理位 错运动、Frank−Read 源形核、异号湮灭等短程位 错构型的变化. 为了提高计算效率，节约计算成 本，根据应变率和计算总应变确定固定时间步增 量. 同时，为了考虑实际情况位错不会超过前面位 错的特点，计算中需要对相邻位错判断，若当前时 间步内发生位错越过现象则需要对位错速度进行 修正. 本文主程序基于 Matlab 平台编写，使用 C 语 言编写的 mex 子程序计算位错间相互作用. 小应变假设下的 2D−DDD 模型，忽略了试样 Post processing Initialize simulation Determine the geometry of the simulation Calculate dislocation stress field Check dislocation nucleation End Plastic slip distribution No Input material and calculation parameters Current time<Total time? Stress-strain curve Statistical dislocation density Obtain Peach-Koehler force Calculate dislocation slip velocities Check dislocation over−jump and correct dislocation velocities Update dislocation positions Remove dislocations due to annihilations and escaping from free surfaces Yes 图 2    2D−DDD 模型的模拟流程 Fig.2    Flow chart of the 2D−DDD model · 1368 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期