这个结论说明处在三维空间同一坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率密度为零。Pauli原理的这一结果可引伸出两个常用的规则：第一是Pauli不相容原理，第二是Pauli排斥原理。前者是说在一个多电子体系中，两个自旋相同的电子不能占据同个轨道，也就是说在同一原子中，两个电子的量子数不能完全相同；后者是说在一个多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。对于光子元介子、氛（H）和α粒子（He）等（自旋量子数s为整数的玻色子，则要求对称波函数。玻色子不受Pauli不相容原理的制约，多个玻色子可以占据同一一量子态。激光能够发生是与光子为玻色子有关，因为一个强的单色光束要由大量处于同一态的光子束组成，如前所述，量子力学的这些基本假设以及由这些假设引出的基本原理，已得到大量实验的检验，证明它是正确的。后面我们将以一维势箱粒子，氢原子等体系为例，用这些原理去求解这些微观体系的运动状态及其性质，并通过一些实例，了解量子力学解决问题的途径和方法。1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解为了说明量子力学处理问题的方法、形骤以及子力学的一些概念，我们以一维势箱中粒子为例，说明如何用量子力学原理来处理问题。一维势箱中粒子是指一个质量为m的粒子，在·一维元方向上运动，它受到如图1.4所示的势能的限制。图中横坐标为x轴，纵坐标为势能。当粒子处在0到1之间（I区）时，势能V一0；粒子处在其他地方，势能为无穷大。10,0<r1V1，x0和≥l26
T IIV=00V=0V01K图1.4一维势箱中粒子的势能这个势能把粒了限制在了轴上0到的范围内运动。因而在！，Ⅲ这两个区域内粒子出现的儿率为0，±为0：而在箱子内部，V一0，Schrodinger方程为d"E(1.31)8元md2d*018元mE或0h2d.-2这为，二阶齐次方程，其通解为18元"mE)18元"mEfc,sinl(1.32)±=cicoshih2根据品优函数的连续性和单值条件，当？一0和！时，应为0，即（0=ccos（0)十c2sin（0)=0,可以推出：G=0,而18元*mEi中)=c2sin1-0h2C2不能为0.故必须是8元mE;#(1.33)n=1.2.3...=n元h?n不能为0，因为n=0会使箱中中值处处为0，失去意义。由（1.33）式可得n'h?E:(1.34)8ml:只有按（1.34）式取值的E，才能使成为连续的品优涵数。因此，27
将粒子束缚在0与1之间的条件是：在一0和=1这两点上波函数也必须等于零，而这边界条件就使能量量子化。将（1.34）式及C=0代人（1.32）式，得y(r)= c2sin(nnx/l)式中的数值可由归一化条件"d=1求出。由于箱外的中=0，因而dx—1。将中值代人，根据积分公式11sin2xsin'rda =224可以得到1sin222一 (2/l)所以在箱中波函数中（)为,()=(2/l)sin(n元x/1)(1.35)下面我们根据（1.34)式和（1.35）式，讨论由量子力学处理一维势箱中粒子所得的结果及一些基本概念，并和经典力学模型进行对比。（1）由（1.34）、（1.35）两式可得出一维势箱中粒子可以存在的能级的能量值及相应的波函数(2/l)sin(n/1)E, = h2/8ml2,(1.36-1)—(2/l)sin(2元/l)E,=4h2/8ml2(1.36-2)（2/)sin(3元/1)E,- 9h2/8ml*,(1.36-3):::图1.5示出一维势箱中粒子的能级E、波函数及几率密度中中。（2）根据经典力学模型，粒子可在箱内各处运动，其能量可为零及零以上的任意数值，在箱内势能为零，所以粒子的能量全部是28
1n==3E山'y=2E2E,0-(b)(a)图1.5一维势箱中粒子的能级E、波函数?及几率密度?动能，粒子的速度V可为任意非负值，因而m/2也可为任意非负值。根据量子力学模型，能量只能按（1.34）式取分立的数值，如图1.5所示。在量子力学中，能量是量子化的，而在经典力学中能量是连续的。（3）按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为零。按量子力学模型，箱中粒子能量的最小值大于零，最小的能量h2/8mt?叫做零点能。零点能的存在是测不准关系的必然结果。能量最低的状态为基态，基态的能量即为零点能。（4）按经典力学模型，对箱中粒子来说，箱内所有位置都是一样的。但按照量子力学模型，箱中各处粒子的几率密度是不均匀的，呈现波性，如图1.5所示，但并不是粒子本身像波一样分布。粒子在箱中没有经典的运动轨道，而是反映粒子在箱中出现的几率函数的分布像波，并服从波动方程。29
（5）在箱中的粒子由于呈现波性，虫可以为正值，可以为负值，也可以为零。虫一0的点称为节点，基态没有节点，每当量子数n增加1时，节点数目也增加1从经典力学角度来看，存在节点是很难想象的，很难用直观的模型合理地解释。综上所述，由量子力学处理箱中粒子，获得有关受一定势能场束缚的粒子的共同特性：●粒子可以存在多种运动状态，它们可由也，·等描述；●能量量子化；存在零点能；没有经典运动轨道，只有几率分布；●存在节点，节点多，能量高。上述这些微观粒子的特性，统称量了效应。随着粒子质量m的增大，箱子的长度1增长，量子效应减弱。当m、1增大到宏观的数量时，量子效应消失，体系变为宏观体系，其运动规律又可用经典力学描述。根据上节叙述的量子力学假设，已知状态函数中，就可用各力学量算符计算下列一维势箱中粒子体系的各种物理量：1.粒子在箱中的平均位置坐标位置的算符无一工，因为半，至无本征值，只能求坐标位置的平均值（）。2(）一=1xsin(nra/)dr=1/2计算结果可知，粒子的平均位置在势箱的中央，其物理意义是很明显的。2.粒子的动量沿×轴分量Pih d动量算符=一禁，可以验证c，表明邮不是p的本征函数，不是，的本征值，这时只能求粒子在箱中的平均动量<)。30