信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 (2)零状态响应yt)满足 yr”(t)+3y;(+2y(t)=28(t)+6e(t)并有 70-)=yr(0-)=0 由于上式等号右端含有8(),故y含有8(t),从而 y;(跃变,即y;(0+)≠y;(0-),而y在t=0连续,即 y0+)=y0-)=0,积分得 Wr(0+)Yr0)+3/%(0+)=y0)+2M2/()d=2+6r e(tdt 因此 yr(0+ )=2-yr(0-)=2 对>0时,有y;(t+3y:(t)+2y/(=6 不难求得其齐次解为Cnet+Cne2,其特解为常数3, 于是有y()=Cne+Cpe2+3 代入初始值求得 yt)=-4e+e2+3,t≥0 第214 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--1111 页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 （ 2 ）零状态响应 y f(t) 满足 y f ”(t) + 3y f ’(t) + 2y f(t) = 2 δ(t) + 6 ε(t) 并有 y f(0-) = y f ’(0-) = 0 由于上式等号右端含有δ(t)，故 y f ”(t)含有δ(t)，从而 y f ’(t)跃变，即 y f ’(0+) ≠ y f ’(0-)，而 y f(t) 在t = 0连续，即 y f(0+) = y f(0-) = 0，积分得 [y f ’(0+)- y f ’(0-)]+ 3[y f(0+)- y f(0-)]+2 ∫ ∫ + − + − = + 0 0 0 0 y ( t ) d t 2 6 ( t ) d t f ε 因此， y f ’(0+)= 2 – y f’(0-)=2 对t>0时，有 y f ”(t) + 3y f ’(t) + 2y f(t) = 6 不难求得其齐次解为 Cf1 e-t + Cf2 e-2t，其特解为常数 3， 于是有 y f(t)=Cf1 e-t + Cf2 e-2t + 3 代入初始值求得 y f(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t ≥0
信号与系统电容 2.2冲激响应和阶跃响应 2.3冲激响应和阶跃响应 、冲激响应 由单位冲激函数8(所引起的零状态响应称为单位 冲激响应,简称冲激响应,记为h(t)。h(t)=T[{0},6(t 例1描述某系统的微分方程为yt)+5y(t)+6y)=f(t) 求其冲激响应h(t) 解根据h(的定义有 h”(t)+5ht)+6h(t)=6(t) h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。 第|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--1212页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位 冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)] 例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)
信号与系统电容 2.2冲激响应和阶跃响应 因方程右端有8(t),故利用系数平衡法。h”()中含 8(t),h'(t)含e(t),h'(0+)≠h'(0-),h(t)在七=0连续, 即h(0+)=h(0-)。积分得 lh`(0+)-h(0)+5[h(0+)-h(0-)+6h(Mh=1 考虑h(0+)=h(0-),由上式可得 h(0)=h(0-)=0,h(0+)=1+h'(0-)=1 对忪>0时,有h(t)+5h'(t)+6h(t)=0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-2,-3。故系统的冲激响应为 h()=(C1e2+C2e3)e(t) 代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以 h(t)=(e-2t-e 3re(t) 第2-1页「41 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--1313页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应 因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含 δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续， 即h(0+)=h(0-)。积分得 [h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1 ∫ +−00 h(t)dt 考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h’(0-) = 1 对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t) 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以 h(t)=( e-2t - e-3t)ε(t)
信号与系统电容 2.2冲激响应和阶跃响应 例2描述某系统的微分方程为 y"(t)+sy'(t)+6y(t)=f”《(t)+2r"(t)+3f() 求其冲激响应ht) 解根据h(t)的定义有 h”(t)+5h'(t)+6h(t)=6”t+26(t)+38(t)(1) h’(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程可知,h(t)中含6(t) 故令h(t)=a6(t)+p1t)Ip(t)为不含8(t)的某函数] h'(t=a8(t)+bo(t+p2(t) h"(t)=a8”(t)+b6(t)+c(t)+p3(t 代入式(1),有 第|4|■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--1414页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应 例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 故令 h(t) = aδ(t) + p1(t) [pi(t) 为不含δ(t) 的某函数] h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t) 代入式(1)，有
信号与系统电容 2.2冲激响应和阶跃响应 aδ”(t)+b'(t)+co(t)+p3(t)+5|an8'(t)+b6(t)+p2(t) +6|ab(t)+p1t)l=6”(t)+28(t)+36(t) 整理得 a”(t)+(b+5a)s(t)+(c+5b+6a)o(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t) =6"(t)+26(t)+38(t) 利用6(t)系数匹配,得a=1,b=-3,c=12 所以h(t)=6(t)+p h(t)=6(t)-36(t)+p2(t) (3) h"(t)=8”(t)-3'(t)+126(t)+p3(t)(4) 对式(3)从0-到0积分得h(0+)-h(0-)=-3 对式(4)从0-到0+积分得h(0+)-h(0-)=12 故h(0+)=-3,h'0+)=12 贝L4⊥⊥■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--1515页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应 aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p3(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) ] + 6[aδ(t) + p1(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) 整理得 aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t) 利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 所以 h(t) = δ(t) + p1(t) （2） h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p2(t) （3） h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ p3(t) （4） 对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3 对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12 故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12