信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 关于0-和0+初始值 若输入ft是在仁=0时接入系统,则确定待定系数 C时用t=0时刻的初始值,即y(0+)(f=0,1,2…,n 而y(+)包含了输入信号的作用,不便于描述系 统的历史信息。 在t=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程,就需要从已知的初始状态 y(0)设法求得y(0+)。下列举例说明。 26页 c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--66页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数 Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n- 1)。 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系 统的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的微分方程为 y"(t)+3y'(t)+2y(t)=2r(t)+6ft) 已知y(0-)=2,y(0-)=0,f()=e(t),求y(04)和y(0)。 解:将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 (t)+3y(t)+2y(t)=28(t)+6e(t) (1) 利用系数匹配法分析:上式对于七0-成立,在0-<t<0 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为28(),故y”(t应包含冲激函数,从 而y(t)在t=0处将发生跃变,即y(0+)≠y(0) 但y(t)不含冲激函数,否则y”(t将含有δ(t)项。由 于y'(t)中不含δ(t),故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+)=y(0-)=2 7页N⊥41 c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--77页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从 而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由 于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+) = y(0-) = 2 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 对式(1)两端积分有 0+ 0 0+ o y(t)dt+3y'(t)dt+2 y(odt=2 8(t)dt a(t)dt 由于积分在无穷小区间[0-,OJ进行的,且y(t)在t=0连续, 故 0+ y(O)t=0,e()dt=0 于是由上式得 y(4)-y(0-)+3y(0+)-y(0-)|=2 考虑y(+)=y(0-)=2,所以 y`(04)-y(0-)=2,y'(0+)=y(0-)+2=2 由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各 阶导数)时,响应y(t)及其各阶导数中,有些在0处将 发生跃变。但如果右端不含时,则不会跃变。 2-8页 c西安电科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--88页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 对式(1)两端积分有 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +− +− +− +− +− + + = + 00 00 00 00 00 y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 δ (t)dt 6 ε (t)dt 由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 ∫ ∫ +− +− = = 00 00 y(t)dt 0, ε (t)dt 0 于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t)=y3(t)+y(t),也可以分别用经典法求解 注意:对t=0时接入激励ft)的系统,初始值 0(0+),y)(0)=0,1,2,…,n-1)的计算。 y(0)=yO(0-)+y(0-) 0(0+)=y30(0+)+y0(0+) 对于零输入响应,由于激励为零,故有 yO(0+)=y(0)=y0(0) 对于零状态响应,在t0时刻激励尚未接入,故应有 y①)(0-)=0 y00+)的求法下面举例说明 2一9页 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--99页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yx(j)(0+), yf(j)(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。 y(j)(0-)= yx(j)(0-)+ yf(j)(0-) y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yf(j)(0-)=0 yf(j)(0+)的求法下面举例说明
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的微分方程为 y"(t)+3y'(t)+2y(t)=2r(t)+6ft) 已知y(0-)=2,y(0-)=0,f(t)=ε(t)。求该系统的零输 入响应和零状态响应。 解:(1)零输入响应y(t)激励为0,故y满足 y"(t)+3yx'(t)+2y(t)=0 yO+)=y(0-)=y(0)=2 y(0+)=y(0-)=y(0-)=0 该齐次方程的特征根为-1,-2,故 y (t=Cet+ Cye -zt 代入初始值并解得系数为C3=4,C、2=-2,代入得 y、(t)=4e-t-2e2,t>0 第20|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--1010页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输 入响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应yx(t) 激励为0 ，故yx(t)满足 yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1， – 2，故 yx(t) = Cx1e –t + Cx2e –2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ，代入得 yx(t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0