2.随机过程的概率分布函数和概率密度函数 设()为一随机过程,则(t1)为一随机变量,此 随机变量的分布函数为 F1(x,4)=P{5(4)≤x}(2-1) 称之为随机过程颈()的一维分布函数。如果 OF1(x1,t1) f(x1,t1) (2-12) ox 存在,则称为随机过程ξ()的一维概率密度函数
2．随机过程的概率分布函数和概率密度函数 设ξ(t)为一随机过程，则ξ(t 1 )为一随机变量，此 随机变量的分布函数为 称之为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果 存在，则称为随机过程ξ(t)的一维概率密度函数 。 ( , ) { ( ) } (2 11) F1 x1 t 1 = P t 1 x1 − ( , ) (2 12) ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 = − f x t x F x t
般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述 随机过程的完整统计特性是极不充分的,通常需要在 足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数。 (的m维分布函数定义为 F(x,x,…,x;,4,…) P{(4)≤x,(2)≤x2,…,5(t)≤xn}(2-13) 如果 F1(x1,x2,…,xn;,2,…,tn) Ox, a Mud 152 5n:1,12 )(2-14) 存在,则称之为随机过程(的n维概率密度函数
一般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述 随机过程的完整统计特性是极不充分的，通常需要在 足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数。 ξ(t)的n维分布函数定义为 如果 存在，则称之为随机过程ξ(t)的n维概率密度函数。 { ( ) , ( ) , , ( ) } (2 13) ( , , , ; , , , ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 − = n n n n P t x t x t x F x x x t t t ( , , , ; , , , ) (2 14) ( , , , ; , , , ) 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 − = n n n n n f x x x t t t x x x F x x x t t t
1.随机过程的统计特性(数字特征) (1)数学期望:随机过程(的数学期望定义为 a()=E{()=x(x.1)tx(2-15) 它本该在t1时刻求得,但t1是任意的,所以它是时间的函数。 (2)方差:随机过程(的方差定义为: a()=D5(O)=E((0)-(2}=[x-ao)2f(x:)kt(2-16) nx2(x)-2x(D0(x)d女+[a02(,x x'f(x, t dx-2a(t) xf(, t)dx+[a(t)]f(,t)dx x2f(x,1)dx-[a()2(2-17
1．随机过程的统计特性（数字特征） （1）数学期望：随机过程ξ(t)的数学期望定义为 它本该在t 1时刻求得，但t 1是任意的，所以它是时间的函数。 （2）方差：随机过程ξ(t)的方差定义为： ( ) { ( )} ( , ) (2 15) = = 1 − − a t E t x f x t dx ( ) { ( )} {{ ( ) [ ( )]} } [ ( )] ( , ) (2 16) 1 2 2 2 = = − = − − − t D t E t E t x a t f x t dx ( , ) [ ( )] (2 17) ( , ) 2 ( ) ( , ) [ ( )] ( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) [ ( )] ( , ) 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 = − − = − + = − + − − − − − − − x f x t dx a t x f x t dx a t x f x t dx a t f x t dx x f x t dx x a t f x t dx a t f x t dx
(3)协方差函数和相关函数: 协方差函数定义为 B(t1,t2)=E{4(t1)-a(t1)[5(t2)-a(t2)] ∫[x-a(4x2-a()/(x,:15)2(2-18) 相关函数定义为 R(12)=E[5(41)5(t2) =x(x,x:1)(2=19) 从式(2-18)和式(2-19)可以得到B(t1,t,) 和R(t1,12)之间的关系: B(1,t2)=R(1,t2)EL(1)·[(t2)(2-20)
（3）协方差函数和相关函数： 协方差函数定义为 相关函数定义为 从式（2-18）和式（2-19）可以得到B（t 1，t 2） 和R（t 1，t 2）之间的关系： [ ( )][ ( )] ( , ; , ) (2 18) ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 = − − − = − − − − x a t x a t f x x t t dx dx B t t E t a t t a t ( , ; , ) (2 19) ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = − = − − x x f x x t t dx dx R t t E t t ( , ) ( , ) [ ( )] [ ( )] (2 20) B t 1 t 2 = R t 1 t 2 −E t 1 E t 2 −
由于B(1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一随机过程 的相关程度的,所以,它们又常分别称为自协方差函数 和自相关函数。 若对于两个或多个随机过程,可以有互协方差函数 和互相关函数描述。设(1)和n()表示两个随机过程,贝 互协方差函数和互相关函数分别定义为 Ban(4,12)=E{[5(4)-a:(1川(2)-an(t2)}(2-21) Rn(122)=E|5(1)7(t2) (2-22) 可以看出,随机过程的统计特性原则上都与时间t有 关,是时间的函数。而对于相关函数R(t1,2),若取 12=1+,即τ是t2和1之间的时间间隔,则R(t1,2)可 表示为R(1,t1+),而t1是任意的,R(t1,t1+)可以 表示为R(t,什τ),这说明,相关函数是起始时刻t和 时间间隔的函数
由于B（t 1，t 2）和R（t 1，t 2）是衡量同一随机过程 的相关程度的，所以，它们又常分别称为自协方差函数 和自相关函数。 若对于两个或多个随机过程，可以有互协方差函数 和互相关函数描述。设ξ(t)和η(t)表示两个随机过程，则 互协方差函数和互相关函数分别定义为 ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} (2 21) B t 1 t 2 = E t 1 − a t 1 t 2 − a t 2 − ( , ) [ ( ) ( )] (2 22) R t 1 t 2 = E t 1 t 2 − 可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间t有 关，是时间的函数。而对于相关函数R（t 1，t 2），若取 t 2 = t 1+τ，即τ是t 2和t 1之间的时间间隔，则R（t 1，t 2）可 表示为R（t 1，t 1+τ），而t 1是任意的，R（t 1，t 1+τ）可以 表示为R（t，t+τ），这说明，相关函数是起始时刻t和 时间间隔τ的函数