多粒子体系 任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能 存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中 的不同区域。在日常使用的语言中，我们把整个宇 宙的相空间划分为若干个块。热力学第二定律的统 计力学描述的核心论断是：上述划分是极不均衡的 其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态 实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情 都未发生” 玻尔茨曼早先把在长时间τ内观察到系统处于S;状 态的时间τ：的时间之比的极限（令τ→∞） τ：/τ定义为系统处于S;状态的几率，爱因斯坦喜 爱这个定义，而对几率的配容数定义不满
多粒子体系 v 任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能 存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中 的不同区域。在日常使用的语言中，我们把整个宇 宙的相空间划分为若干个块。热力学第二定律的统 计力学描述的核心论断是：上述划分是极不均衡的， 其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态 实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情 都未发生” 。 v 玻尔茨曼早先把在长时间τ内观察到系统处于Si 状 态的时间τi的时间之比的极限（令τ→∞）： τi/τ定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜 爱这个定义，而对几率的配容数定义不满
微观配容数 。以一个长方体的容器内的气体为例来研究μ空间，将该 空间先划分为若干个大小相等的正方体单元。把N个相同 气体粒子中某个粒子处于某个单元这样的描述称作一种 排列，而把某个单元内的粒子数量这样的描述成长称作 一种分布，这里的分布不是指哪些特定的粒子处于哪些 特定的单元里。这样，一种分布就必然和若干种不同的 排列对应；一种分布所能传达的信息也要比一种排列所 传达的信息少得多。 N个粒子在相空间的r个“相格”中分布，其中在第i格中 的粒子数为n;,则N个粒子的微观态 Wx=N!/n1ln2！…nr！ 总而言之，粒子的分布越分散，排列的种类就越多，N代 表的数越大，排列的种类也越多
微观配容数 v 以一个长方体的容器内的气体为例来研究μ空间，将该 空间先划分为若干个大小相等的正方体单元。把N个相同 气体粒子中某个粒子处于某个单元这样的描述称作一种 排列，而把某个单元内的粒子数量这样的描述成长称作 一种分布，这里的分布不是指哪些特定的粒子处于哪些 特定的单元里。这样，一种分布就必然和若干种不同的 排列对应；一种分布所能传达的信息也要比一种排列所 传达的信息少得多。 v N个粒子在相空间的r个“相格”中分布，其中在第i格中 的粒子数为ni ,则N个粒子的微观态 v Wx =N!/n1!n2!…nr ! v 总而言之，粒子的分布越分散，排列的种类就越多，N代 表的数越大，排列的种类也越多
熵的几率解释 统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的 如果组成一个系统有2种方式(2是所有W的总和)，那 么经过一段较长时间后，系统处于某个特定宏观态X的概 率是Px=Wx/Q,式中W是对应于宏观态X的微观排列数。 玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排 列数的因变量，建立了一个表达式：S=knW。 宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度 量单位；如果微观状态不是连续的，它也是与之对应的微 观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系 。 某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大，也更 容易出现，但携带的信息量就越少，混乱度越大
熵的几率解释 v 统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的。 如果组成一个系统有Ω种方式（Ω是所有W的总和），那 么经过一段较长时间后，系统处于某个特定宏观态X的概 率是Px =Wx /Ω，式中Wx是对应于宏观态X的微观排列数。 v 玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排 列数的因变量，建立了一个表达式：S=klnW。 v 宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度 量单位；如果微观状态不是连续的，它也是与之对应的微 观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系。 某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大，也更 容易出现，但携带的信息量就越少，混乱度越大
能量超曲面 。在牛顿系统的相空间中，与系统所具有的特定能量E相对应 的位置的集合通常会形成一个连续区。该区的维数必然大于 2而比相空间本身的维数至少小1。这个区通常被称作能量E 的超曲面。独立的牛顿系统的总能量守恒定律必然要求任何 系统的轨迹都不能越出其能量超曲面之外。熵增定律意味着 平衡状态占据着相关的能量超曲面的绝大部分表面的面积。 如果以T为中心的时间段趋于无限长，则轨迹在超曲面的任 意一区花费的时间的分数就等于该区的面积除以超曲面的面 积。这样的轨迹一般被叫做遍历的轨迹。当我们说轨迹漫无 目的，没有特定方向地在整个区段内运行，我们也就是指其 具有遍历性。一个有限的且相对复杂的系统的能量超曲面上 的非遍历点所占的面积近乎为零
能量超曲面 v 在牛顿系统的相空间中，与系统所具有的特定能量E相对应 的位置的集合通常会形成一个连续区。该区的维数必然大于 2而比相空间本身的维数至少小1。这个区通常被称作能量E 的超曲面。独立的牛顿系统的总能量守恒定律必然要求任何 系统的轨迹都不能越出其能量超曲面之外。熵增定律意味着 平衡状态占据着相关的能量超曲面的绝大部分表面的面积。 v 如果以T为中心的时间段趋于无限长，则轨迹在超曲面的任 意一区花费的时间的分数就等于该区的面积除以超曲面的面 积。这样的轨迹一般被叫做遍历的轨迹。当我们说轨迹漫无 目的，没有特定方向地在整个区段内运行，我们也就是指其 具有遍历性。一个有限的且相对复杂的系统的能量超曲面上 的非遍历点所占的面积近乎为零
刘维定理与彭加勒定理 设想相空间中一系列的点，某个地区，某个斑 点。思考此斑点中的每一点的发展，后一系列 一 定会组成另一个斑点，此斑点假定和第一个 相比有不同的形状，处于相空间的不同位置 刘维定理是说，那两个斑点的体积必须是相同 的。在相空间中点的运动和不可压缩液体中的 水有着同样的数学结构。 必 根据彭加勒的回归定理，任何限制在它的相空 间内的有限区域内的经典系统在不久的将来总 是会回到它的原始状态，或任意地停止在它的 原始状态（相邻微观态有26N个）
刘维定理与彭加勒定理 v 设想相空间中一系列的点，某个地区，某个斑 点。思考此斑点中的每一点的发展，后一系列 一定会组成另一个斑点，此斑点假定和第一个 相比有不同的形状，处于相空间的不同位置。 刘维定理是说，那两个斑点的体积必须是相同 的。在相空间中点的运动和不可压缩液体中的 水有着同样的数学结构。 v 根据彭加勒的回归定理，任何限制在它的相空 间内的有限区域内的经典系统在不久的将来总 是会回到它的原始状态，或任意地停止在它的 原始状态（相邻微观态有26N 个）