电磁场与电磁波 第4章静态场分析不心K 例1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为R和R2,如图所 示,电缆中填充均匀介质,内外导体间的电位差为U, 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解:根据轴对称的特点和无限长的假设, R2 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程, 采用圆柱坐标系 (r0)=0积分p=Alnr+B r or a U=AInr+b U B In r 由边界条件 R 0=AIrt B n R R U R E R E=-VO r rIn R1 R
电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 R2 R1 例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ， 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 R1 R2 U 解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系 1 ( ) 0 r r r r = 积分 = + A r B ln 由边界条件 1 U A R B = + ln 2 0 ln = + A R B 2 1 1 2 2 ln ln ln U U A B R R R R R = = − 2 2 1 ln ln U R R r R 则： = E = − 2 1 ˆ ln r U E a R r R =
电磁场与电磁波 第4章静态场分析不心K 例2:如图所示,在电缆中填充电导媒质,其他 条件同“例1”,求:(1)内外导体间的电位人R 及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏 电流。 解:(1)由于内、外导体的电导率很高,可以认 为电力线仍和导体表面垂直,和静电场的 边界条件一致,利用对偶原理,可以立即 得到 负=m2么=B2单位长度同轴线漏电流密度 U R2 为 R n n R R1 j=oE, rIn R 则漏电流为 R1 E,= E J·dS 2丌oU R R rIn S R R n
电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 解: (1)由于内、外导体的电导率很高，可以认 为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的 边界条件一致，利用对偶原理，可以立即 得到 2 2 2 1 ln ln U R R r R = 2 2 1 ˆ ln r U E a R r R = 2 1 2 1 ln ln U R R r R = 1 2 1 ˆ ln r U E a R r R = (2)单位长度同轴线漏电流密度 为 c 2 2 1 ln r U J E a R r R = = c 2 1 2 d ln S U I J S R R = = 例2: 如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他 条件同“例1”，求: (1)内外导体间的电位 及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏 电流。 则漏电流为 R2 R1
电磁场与电磁波 第4章静态场分析心K 2.叠加定理 ◆若￠和吸分别满足拉普拉斯方程,则女和的线性组合 =c,+ 必然满足拉普拉斯方程。 ◆证明:V=V2(am+b2)=V(m1)+V2(bn2) =av0+bvp 已知φ和满足拉普拉斯方程V=V2=0 所以:V2p=0 利用叠加定理,可以把比较复杂的场问题分解为较简单ⅰ 题的组合,便于求解
电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 2. 叠加定理 ◆ 若 和 分别满足拉普拉斯方程，则 和 的线性组合 必然满足拉普拉斯方程。 ◆ 证明： 已知 和 满足拉普拉斯方程 所以： 1 2 = + a b 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) a b a b a b = + = + = + 2 2 = = 1 2 0 2 = 0 ➢ 利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问 题的组合，便于求解。 1 2 1 2 1 2
电磁场与电磁波 第4章静态场分析心K 3.惟一性定理 ◆边值问题的分类 ■狄利克雷问题:给定整个场域边界上的位函数值φ=f(s) ■聂曼问题:给定待求位函数在边界上的法向导数0 f(s) an ■混合边值问题:给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 +f1(s) ao f2(s) an ◆惟一性定理:在给定边界条件下,泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。 用反证法可以证明。 惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用
电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 3. 惟一性定理 ◆ 边值问题的分类 ◼狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 ◼聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 ◼混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 ◆ 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。 ✓用反证法可以证明。 = f s( )f s( ) n = 1 2 f s f s ( ) ( ) n + = ➢ 惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用
电磁场与电磁波 第4章静态场分析心K 四、镜像法 ◆镜像法概念:在一定条件下,可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上 感应电荷的作用,且保持原有边界上边界条件不变, 则根据惟一性定理,空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷,这种求解方法称为镜像法。 ◆理论依据:惟一性定理是镜像法的理论依据
电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 四、镜像法 ◆镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上 感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变， 则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。 ◆理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据