3设A,B∈ Matnxn(F),g(x)∈Fx].证明:如果A与B相似,则g(A)与g(B)也相似 证A与B相似,即存在可逆矩阵C,使CAC=B,从而 B2=(C-lAC)(C.lACFC-AC, B3=(C-AC)(C-ACFCA'C Bk=(C-Ak-IC)(C-lACFC-lAC i g(x=akx +ak-1x -+.+ aIx +ao Q g(B)ak Bk+ak-1Bk-1.+a1B+ aoE=akC-lA'C +ak-1 C-lAk-C++ar C-IA'C+aoE C-g(A)C 所以g(A)与g(B也相似 4.设A,B是n×n矩阵,证明:如果B是可逆的,则AB~-BA 证令C=B1,对AB右乘B,左乘B得 BABB-1=BA 所以ABBA 5∵设V是F上的线性变换,dim(V)=nn>2,σ是Ⅴ的一个线性变换,证明:如果σ在任何基下 的矩阵都相等,则σ是数乘变换 证设V的一个基为{β,β,…,βm},则{2B1,B2,…,}也是V的一个基,因G在任 何基下的矩阵都相等,设A=(a)nxm,则应有 o(B1)=a+apb2+…+anBn 另一方面,根据线性变换的性质应有 a(2B)=20(B1)=2aB+2aB2+…+2an|Bn (3) 比较(2)(3)式得a=a31=.=a1=0 类似地,可证明,当i时,a=0,即o在任何基下的矩阵是同一个对角矩阵 又根据{B2,β1,β3,…,Bm}也是V的一个基,可得a2=a 类似地,可证明,当i≠j时,a=an,即o在任何基下的矩阵是数乘矩阵,σ是数乘变换 6取τ:R→R,τ(b=b3,τ是双射,按例832所定义的加法与数量乘积各是什么?证明:R 关于此(不寻常的)加法与数量乘积成为线性空间 解按例832所定义可得aeb=r(r(a)+r(b)=a+vb=va+vb) ka=(kr(a)=(k√a)=k2a 2)(aob)=(Va+Vb)ec=(Va+vb+Vc)=a@(bec) 3)a0=(a+0)=a 5)1a=1 6)(kl)@a=(kl)a= k(1a=l8(ka)
3.设 A，B∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果 A 与 B 相似，则 g(A)与 g(B)也相似． 证 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 C，使 C -1AC=B，从而 B 2=(C -1AC) (C -1AC)= C -1A2C，B 3= (C -1A2C) (C -1AC)= C -1A3C，..., B k= (C -1Ak-1C) (C -1AC)= C -1AkC 设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+ a1x 1+ a0 则 g(B)=akB k+ak-1B k-1+...+ a1B 1+ a0E= akC -1AkC +ak-1 C -1Ak-1C +...+ a1 C -1A1C + a0E = C -1g(A)C 所以 g(A)与 g(B)也相似． 4. 设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 B 是可逆的，则 AB~BA． 证 令 C= B -1，对 AB 右乘 B -1，左乘 B 得 BABB -1=BA 所以 AB~BA． 5 * .设 V 是 F 上的线性变换，dim(V)=n,n>2,σ是 V 的一个线性变换，证明：如果σ在任何基下 的矩阵都相等，则σ是数乘变换． 证 设 V 的一个基为{β1，β2，...，βn}，则{2β1，β2，...，βn}也是 V 的一个基，因σ在任 何基下的矩阵都相等，设 A=(aij)n×n，则应有 σ(β1)=a11β1+ a21β2+ ...+ an1βn （1） σ(2β1)=a112β1+ a21β2+ ...+ an1βn （2） 另一方面，根据线性变换的性质应有 σ(2β1)= 2σ(β1)=2a11β1+ 2a21β2+ ...+ 2an1βn （3） 比较（2）（3）式得 a21= a31=...= a21=0 类似地，可证明，当 i≠j 时，aij=0,即σ在任何基下的矩阵是同一个对角矩阵． 又根据{β2，β1，β3，...，βn}也是 V 的一个基，可得 a12= a21 类似地，可证明，当 i≠j 时，aii= ajj，即σ在任何基下的矩阵是数乘矩阵，σ是数乘变换． 6 * .取τ：R→R，τ(b)=b 3，τ是双射，按例 8.3.2 所定义的加法与数量乘积各是什么？证明：R 关于此（不寻常的）加法与数量乘积成为线性空间． 解 按例 8.3.2 所定义可得 ab=τ(τ -1(a)+ τ -1(b))= τ( 3 a + 3 b )=( 3 a + 3 b ) 3 ka=τ(kτ -1(a))= τ(k 3 a )=k 3a 1) ab==( 3 a + 3 b ) 3=( 3 b + 3 a ) 3= ba 2) (ab)c=( 3 a + 3 b ) 3c =( 3 a + 3 b + 3 c ) 3=a(bc) 3) a0=( 3 a +0) 3=a 4) a(-a)= ( 3 a + 3 a ) 3=0 5) 1a=1 3a=a 6) (kl) a=(kl) 3a= k(la)=l(ka)
7)(k+)8a=k+1)a(kla+1ay=(Vka+k2ay=(kea)ea) 8)k(aeb=k(a+Vb)=k(a+Vb)=(k2a+k3b)=(ksae(kb) 所以R关于此(不寻常的)加法与数量乘积成为线性空间 习题8.4 1①设是习题82的第二题中的线性变换,证明:1-2 是σ的一个特征向量 ②设σ是习题81的第三题中的线性变换.e-ex是不是σ的一个特征向量?cosx是不是σ的一 个特征向量? 证①设B= 根据习题82的第二题有 21)(1-2)(1-2 O(BAB= 所以 是o的一个特征向量 ②根据习题8.1的第三题有 (e-eF dt =e k-e*+(e-*x-e =0=0(e*-e-x) o( coSx F(cos x)dt=sinx -SINx 不存在数使cosx=2sinx 所以ex-ex是σ的一个特征向量.cox不是σ的一个特征向量 2求下列矩阵的所有特征值和属于每一个特征值的特征子空间的一个基 033 ①021 186 解①令队EAF04-2-1=0 得λ1=2,2=3
7) (k+l)a=(k+l) 3a=(k 3 a +l 3 a ) 3 =( 3 3 k a + 3 3 k a ) 3 = (ka)(la) 8) k(ab)= k( 3 a + 3 b ) 3=k 3( 3 a + 3 b ) 3=( 3 3 k a + 3 3 k b ) 3= (ka)(kb) 所以 R 关于此（不寻常的）加法与数量乘积成为线性空间． 习题 8.4 1.①设σ是习题 8.2 的第二题中的线性变换，证明： 1 2 1 2 是σ的一个特征向量． ②设σ是习题 8.1 的第三题中的线性变换．e x-e -x是不是σ的一个特征向量？cosx 是不是σ的一 个特征向量？ 证 ① 设 B= 1 2 1 2 ，根据习题 8.2 的第二题有 σ(B)=AB= 1 0 2 1 1 2 1 2 = 1 2 1 2 =1B 所以 1 2 1 2 是σ的一个特征向量． ② 根据习题 8.1 的第三题有 σ(e x-e -x)= x x t t (e e )dt =e x-e -x+(e -x-e x)=0=0(e x-e -x) σ(cosx)= x x (cos x)dt =sinx+sinx=2sinx 不存在数λ使 λcosx=2sinx 所以 e x-e -x是σ的一个特征向量．cosx 不是σ的一个特征向量． 2.求下列矩阵的所有特征值和属于每一个特征值的特征子空间的一个基． ① 0 0 3 0 2 1 2 3 1 ② 2 14 10 1 8 6 0 3 3 ③ 2 4 2 2 2 4 1 2 2 ④ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解 ①令 |λE-A|= 0 0 3 0 2 1 2 3 1 =0 得λ1=2，λ2=3