31(a)离散傅里叶级数DFs:问题的提出 连续时间信号傅里叶变换的定义 X(j22)= x(t)e / dt x(t )=2π X(Site/sdQ2 只有当序列x(川绝对可和,即:∑|x(n)<∞ x(η)的傅里叶变换才存在(周期序列不满足条件)
3.1 (a) 离散傅里叶级数DFS：问题的提出 连续时间信号傅里叶变换的定义 ( ) ( ) j t X j x t e 𝑥(𝑡) = 1 2𝜋 𝑋 𝑗𝑡 𝑒 𝑗𝑡𝑑 +∞ −∞ 只有当序列x(n)绝对可和，即: x(n)的傅里叶变换才存在（周期序列不满足条件）。 11 dt
31(a)离散傅里叶级数DFs:问题的提出 个周期为N的周期序列x(m)可表示为: x(n)=x(n+kN) K为任意整数 正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样,离 散周期序列也可以用离散傅里叶级数表示,也就是用周 期为N的复指数序列来表示。 =∑ jnE eA-基波 n=-0 周期为N的复指数序列的基频序列为c1(n)=e1=eN -kn k次谐波为:e4(n)=eN 由于是周期序列,其k次谐波也是周期为N的序列: k+M)n k k+M e e 12
12 正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，离 散周期序列也可以用离散傅里叶级数表示，也就是用周 期为N的复指数序列来表示。 周期为N的复指数序列的基频序列为 k次谐波为： 由于是周期序列，其k次谐波也是周期为N的序列： n N j j n e n e e ) 2 ( 1 0 ( ) kn N j k e n e 2 ( ) k n N k N n j N j k k N e n e n e e 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ~ x n x n kN K为任意整数 jn t n n x t A e 0 ( ) ~ j t e 0 ——基波 3.1 (a) 离散傅里叶级数DFS：问题的提出 一个周期为N的周期序列 ( ) 可表示为： ~ x n
3.1(b)离散傅里叶级数DFS:推导 设x(n)是以N为周期的周期序列,其傅立叶级数为: nkn f(m)=∑aeN k=-∞0 将周期序列展开成N个谐波分量的和的形式 基波分量: 2丌 C1已 K次谐波分量:a,eN 2丌 k,k=1,2,,N-1 如何确定傅立叶级数的系数a?
3.1 (b) 离散傅里叶级数DFS: 推导 设 ( ) 是以N为周期的周期序列，其傅立叶级数为： ~ x n 2 ( ) j kn N k k x n a e 将周期序列展开成N个谐波分量的和的形式 如何确定傅立叶级数的系数ak ？ 2 1 j n N a e 2 j kn N k a e 2 0 N 基波分量： K次谐波分量： 2 , 1,2,..., 1 k k k N N 13
确定傅立叶级数的系数ak 对式(On)=∑aeN 2丌 两边同乘 并对n在一个周期中求和
两边同乘 j N mn ，并对n在一个周期中求和 e 2 2 ( ) j kn N k k x n a e 对式 确定傅立叶级数的系数ak： 14
2丌 ∑(n)e ∑∑(aeN)eN=∑a∑e n=0k=-∞ k=-0n=0 N∑a(当m=时∑em=N 当m≠时∑e j-n(k-m 0) n=0 故育1 N ∑x(m)e 2 k 即:a4=∑ x(ne eN"是周期为N的周期函数,eN a也是周期函数:ak=ak+Ny 15
1 1 1 2 2 2 2 ( ) 0 0 0 1 2 ( ) 0 1 2 ( ) 0 1 2 0 ( ) ( 0 ) 1 ( ) N N N j mn j kn j mn j n k m N N N N k k n n k k n N j n k m N k k n N j n k m N n N j mn N k m n k m x n e a e e a e N a m k e N m k e x n e a a N （ ） 当 时 当 时 故有 1 2 0 2 2 2 ( ) 1 ( ) , , N j kn N k n j kn j k N n j km N N N k a x n e N e N e e a k k lN a a 即: 是周期为 的周期函数， 也是周期函数: 15