31(a)周期序列DFS:引言 Jean-Baptiste-Joseph Fourier(1768-1830)I 法国欧塞尔 Auxerre一个裁缝家庭,八岁时沦为孤儿, 就读地方军校。 21岁, Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解 的著名论作,这一工作使他在巴黎的数学界出名 1795年任巴黎综合工科大学助教 1798年随拿破仑军队远征埃及,受到拿破仑器重, 回国后被任命为格伦诺布尔省省长。 就是在此期间, Fourier完成了其经典之作 Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中,他证明了任一周期函数都可以表 示成正弦函数和的形式,其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。由 于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士,1822年成为科 学院终身秘书
Jean-Baptiste-Joseph Fourier(1768～1830)生于 法国欧塞尔Auxerre一个裁缝家庭,八岁时沦为孤儿， 就读地方军校。 21岁，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解 的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。 1795年任巴黎综合工科大学助教。 1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重， 回国后被任命为格伦诺布尔省省长。 就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表 示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。由 于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科 学院终身秘书。 3.1 (a) 周期序列DFS:引言 6
31(a)周期序列DFS:引言 1753年, Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式 ,但是他未能给出所需的加权系数。 傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文,但经拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝,1811年又提交了经修改的 论文,该文获科学院大奖,却未正式发表。1822年,傅里叶终于出 版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在 些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论, 三角级数后来就以傅里叶名字命名。 拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人,他们所处的时代在法国是处于 拿破仑时代,国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心, 在当时众多的科学大师中,拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们 中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加 的论文,其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日
3.1 (a) 周期序列DFS:引言 1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式 ，但是他未能给出所需的加权系数。 傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的 论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1822年，傅里叶终于出 版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在 一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论， 三角级数后来就以傅里叶名字命名。 拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于 拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心， 在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们 中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加 的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。 7
31(a)周期序列DFS:引言 傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数 构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基 函数是因为它们是正交的),后世称为傅里叶级数 ●开辟了近代数学的一个巨大分支一傅里叶级数,在物理, 数学,工程技术上都有广泛的应用.由于理论的优美,被誉为 首数学的诗 用于通信中,任何信号都可以表示成几个三角函数的叠加 因为收敛,所以取有限和便可以很好地达到实际应用时 的精度要求),而三角函数的信号是最容易产生的。这在 很长的一段时间内都是通信的基础
3.1 (a) 周期序列DFS: 引言 傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数 构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基 函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数。 开辟了近代数学的一个巨大分支----傅里叶级数,在物理, 数学,工程技术上都有广泛的应用.由于理论的优美,被誉为 “一首数学的诗” 。 用于通信中，任何信号都可以表示成几个三角函数的叠加 （因为收敛，所以取有限和便可以很好地达到实际应用时 的精度要求），而三角函数的信号是最容易产生的。这在 很长的一段时间内都是通信的基础。 8
31引言离散傅里叶级数DFS 口周期序列 D Fourier Series DFS) {[k -4-3-2-101234567 口非周期序列? 有限长度序列 DTFT 无限长度序列 DFT
周期序列 0 1 2 3 k -4 -3 -2 -1 4 5 6 7 [ ] ~ x k 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 非周期序列? 有限长度序列 无限长度序列 D Fourier Series (DFS) DTFT DFT 3.1 引言 离散傅里叶级数DFS 9
在时域抽样(离散化)相当于频域周期化 时域离散化 频域周期化 (a) -909 P(2) (b) x(g2) /20g2,/2 时域? 一频域离散化 ▲X(n
x(t) t 0 T 2T x[k] k 0 1 2 时域离散化 －Ωc 0 Ω c Xa (jΩ ) P (jΩ ) －Ωs Ω s Ω Ω 0 Xa (jΩ ) Ω 0 Xa (jΩ ) Ω Ω c Ω s （ a ） （ b ） （ c ） （ d ） ＾ ＾ 2 s 0 －Ωs Ω s －Ωs δ s 2 s 2 频域离散化 频域周期化 X(n0 ) 0 时域? 在时域抽样（离散化）相当于频域周期化 10