7.1小波介绍（续8)小波理论与工程应用■InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献■在信号处理中，自从StephaneMallat和InridDaubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其广泛的应用11/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 11/46 7.1 小波介绍(续8) ➢ 小波理论与工程应用 ◼ Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波 器组(filter banks)之间的内在关系[2]，使离散小波分 析变成为现实 ◼ Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献 ◼ 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之 后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其 广泛的应用
7.1小波介绍小波分析小波分析小波变换变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系》小波变换■对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换通过平移母小波(motherwavelet)获得信号的时间信息通过缩放母小波的宽度(或称尺度）获得信号的频率特性对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部信号和小波之间的相互关系对比傅立叶变换提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息小波分析中常用的三个基本概念连续小波变换离散小波变换小波重构12/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 12/46 7.1 小波介绍——小波分析 ◼ 小波分析/小波变换 变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 ➢ 小波变换 ◼ 对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换 ◼ 通过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性 ◼ 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表 局部信号和小波之间的相互关系 ◼ 对比傅立叶变换 ◼ 提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息 ➢ 小波分析中常用的三个基本概念 ◼ 连续小波变换 ◼ 离散小波变换 ◼ 小波重构
7.1小波介绍小波分析（续1）连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)傅立叶分析■用一系列不同频率的正弦波表示一个信号■一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数小波分析■用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析■小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好13/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 13/46 7.1 小波介绍——小波分析(续1) ◼ 连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT) ➢ 傅立叶分析 ◼ 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 ◼ 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数 ➢ 小波分析 ◼ 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号 ◼ 一系列小波可用作表示一些函数的基函数 ➢ 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 ◼ 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶 变换用的正弦波 ➢ 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波 更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好
7.1小波介绍小波分析（续2）fitCWT的变换过程示例见图7-3，可分如下5步1．小波(t)和原始信号(t)的开始部分进行比较2．计算系数C一该部分信号平移与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似y(t-k)平移程度越高y(t-2k)y(t-3k)3．小波右移k得到的小波函数缩放为(t-k），然后重复步骤1和2，..直到信号结束4．扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为（t/2）5.重复步骤1~4图7-3连续小波变换的过程2025年10月26日14/46第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 14/46 7.1 小波介绍——小波分析(续2) ➢ CWT的变换过程示例， 见图7-3，可分如下5步 1. 小波ψ (t)和原始信号f(t)的 开始部分进行比较 2. 计算系数C——该部分信号 与小波的近似程度；C值 越高表示信号与小波相似 程度越高 3. 小波右移k得到的小波函数 为ψ (t-k) ，然后重复步骤1 和2，.直到信号结束 4. 扩展小波，如扩展一倍， 得到的小波函数为ψ (t/2) 5. 重复步骤1~4 图7-3 连续小波变换的过程
7.1小波介绍小波分析（续3）连续小波变换用下式表示C(scale, position) = /f(t)y(scale, position,t)dt，该式含义：小波变换是信号(t)与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在的整个期间里求和■CWT变换的结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子(scale)和位置(position)的函数■离散小波变换(discretewavelettransform，DWT）>用小波的基函数(basis functions)表示一个函数的方法■小波的基函数序列或称子小波(babywavelets)函数是由单个小波或称为母小波函数通过缩放和平移得到的缩放因子和平移参数都选择2i（i>0的整数)的倍数，这种变换称为双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)15/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 15/46 7.1 小波介绍——小波分析(续3) ➢ 连续小波变换用下式表示 C scale position f t scale position t dt ( , ) ( ) ( , , ) + − = ◼ 该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之 积在信号存在的整个期间里求和 ◼ CWT变换的结果是许多小波系数C ，这些系数是缩放因子(scale) 和位置(position)的函数 ◼ 离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT) ➢ 用小波的基函数(basis functions)表示一个函数的方法 ◼ 小波的基函数序列或称子小波(baby wavelets)函数是由单个小波 或称为母小波函数通过缩放和平移得到的 ◼ 缩放因子和平移参数都选择2 j (j >0的整数)的倍数，这种变换称 为双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)