7.1小波介绍（续3F(o) = f(t)e-joi dtF(o)ejotf(t) =2元where e-jot = cos ot - jsin ot■只有频率分辨率而没有时间分辨率■可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候6/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 6/46 7.1 小波介绍(续3) where cos sin j t e t j t − = − ( ) ( ) ( ) ( )e j t j t F f t e dt f t F + − − + − = = 1 2 ◼ 只有频率分辨率而没有时间分辨率 ◼ 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候
7.1小波介绍（续4)1909: Alfred HaarAlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwavelets)7/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 7/46 7.1 小波介绍(续4) ➢ 1909: Alfred Haar ◼ Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
7.1 小波介绍(续5)1945: Gabor开发了STFT(short time Fourier transform)STFT(t,の)= [ s(t)g(t-t)e-jo dtwhere: s(t) = signalg(t)= windowing function3五元本f时间STFT的时间-频率关系图8/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 8/46 7.1 小波介绍(续5) ➢ 1945: Gabor ◼ 开发了STFT (short time Fourier transform) ( , ) ( ) where: ( ) signal ( )= windo ( wing ) function j t STFT s t e dt g s t g t t − = = − STFT的时间-频率关系图
7.1小波介绍（续6:1980 : Morlet■20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家JeanMorlet提出小波变换（wavelettransform，WT)的概念。20世纪80年代，开发了连续小波变换（continuouswavelet transform , CWT)> 1986 : Y.Meyer■法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数■用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(0的整数)的倍数构造了L?(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展2025年10月26日9/46第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 9/46 7.1 小波介绍(续6) ➢ 1980：Morlet ◼ 20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 ◼ 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT) ➢ 1986：Y.Meyer ◼ 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 ◼ 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j (j≥0的 整数)的倍数构造了L 2 (R)空间的规范正交基，使 小波分析得到发展
7.1小波介绍（续71988：Mallat算法法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1]，该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位10/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 10/46 7.1 小波介绍(续7) ➢ 1988：Mallat算法 ◼ 法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空 间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交 小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1] ◼ 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法， 其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的 地位