习题解答 第八章线性空间上的函数 习题8-1 1.设V是区间[-1,1上全体连续实函数所组成的线性空间证明: R ∫1f(x)dx 是V上的一个线性函数 证明:显然ψ是V到R的一个映射.且对任意的f(x)g(x)∈V,k∈R,有 v(f(a)+g())= (f(r)+g(a)dr f(a)dr+ g(a)dx =v(f(r))+v(g(a)) w(kf(=))=, kf(r)dr=k f(r)dx=k(f(a)) 所以v是V上的一个线性函数 2.设V是数域K上的一个3维线性空间,m,n2,m3是它的一个基,f是V上的一个线性函数,且 f(m-2m+m)=2,f(m+n)=2,f(-m+m+n)=-1 求f(x1m+x22+x373) =71-2n2+n3 a3=-m+n+73 则(a1,a2,a3)=(m,m2,3)A,其中 则(mh1,m2,7)=(a1,a2,a3)A-1,所以 f(x1m+z2n2+r3m)=((mn),f(m),f(m)x2=(f(a1,f(a2,a3)-1(x2 321 202 3.V及m,m2,T3同上题.试求一线性函数g,使 g(37+m2)=2,g(n-n3)=1,g(2n1+n3)=2 g(m) g(m2)=b,g(3) 则由已知得 3a+b=2
✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☛ ☞ ✌ 8–1 1. ✍ V ✎✏✑ [−1, 1] ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✑. ✦✧: ψ : V −→ R f(x) 7−→ R1 −1 f(x)dx ✎ V ✒✢★✩✣✤✘✙. ✪✫: ✬✭ ψ ✎ V ✮ R ✢★✩✯✰. ✱✲✳✴✢ f(x), g(x) ∈ V , k ∈ R, ✵ ψ(f(x) + g(x)) = Z 1 −1 (f(x) + g(x))dx = Z 1 −1 f(x)dx + Z 1 −1 g(x)dx = ψ(f(x)) + ψ(g(x)), ψ(kf(x)) = Z 1 −1 kf(x)dx = k Z 1 −1 f(x)dx = kψ(f(x)). ✚✶ ψ ✎ V ✒✢★✩✣✤✘✙. 2. ✍ V ✎✙✷ K ✒✢★✩ 3 ✸✣✤✥✑, η1, η2, η3 ✎✹✢★✩✺, f ✎ V ✒✢★✩✣✤✘✙, ✱ f(η1 − 2η2 + η3) = 2, f(η1 + η3) = 2, f(−η1 + η2 + η3) = −1. ✻ f(x1η1 + x2η2 + x3η3). ✼ : ✽ α1 = η1 − 2η2 + η3 α2 = η1 + η3 ✾ α3 = −η1 + η2 + η3 (α1, α2, α3) = (η1, η2, η3)A, ✿❀ A = 1 1 −1 −2 0 1 1 1 1 . ✾ (η1, η2, η3) = (α1, α2, α3)A−1 , ✚✶ f(x1η1 + x2η2 + x3η3) = (f(η1), f(η2), f(η3)) x1 x2 x3 = (f(α1), f(α2), f(α3))A −1 x1 x2 x3 = (2, 2, −1) · 1 4 −1 −2 1 3 2 1 −2 0 2 x1 x2 x3 = 3 2 x1 + 1 2 x3. 3. V ❁ η1, η2, η3 ❂✒❃. ❄ ✻ ★✣✤✘✙ g, ❅ g(3η1 + η2) = 2, g(η2 − η3) = 1, g(2η1 + η3) = 2. ✼ : ✍ g(η1) = a, g(η2) = b, g(η3) = c, ✾❆❇❈❉ 3a + b = 2 b − c = 1 2a + c = 2. · 1 ·
解得 b=5,c=4.从而所求的线性函数为 g(x1m+x22+x33)=-r1+5x2+4x3 4.设V是数域K上的n维线性空间,m hn是它的一个基,a1,…,an是K中任意n个数证 明:存在v上唯一的线性函数f,使 证明:(存在性)设a=x1m+x2n2+…+xnm∈V.令 f: V a→f(a)=∑a;r 容易证明∫是V上线性函数,且满足所需条件 (唯一性)设g为V的线性函数,使 g(ni) 则对任意的a=x1m+x2m+…+xnmn∈V有 g(a)=∑9m)=∑r=f(a) 这就证明了唯一性. 5.设V=K3,a=(x1,x2,x3),B=(y,y,y),判断下列二元函数∫是否为V上的双线性函数 (1)f(a,B)=2r1+x1y-3r2+x2y (2)f(a,B)=(x1-y2)2+x21 ∈K (4)f(a,B)=(2x1+x2-3r3)(-v+y) 解:(1)是 (3)当c≠0时,否;当c=0时,是 (4)是 6.设∫为n维线性空间V上的双线性函数,令 W1={a∈v|f(a,B)=0.,vB∈V}, W2={a∈vlf(,a)=0,v∈V} 证明:W1与W2都是V的线性子空间,且dimW1=dimW2 证明:(1)由于对任意的∈V有f(0,0)=0,因此0∈W1,W1非空.又对任意的a1,a2∈W k∈K以及任意的β∈V有 f(a1+a2,B)=f(a1,B)+f(a2,B)=0 f(kan k 因此 ka1∈W 所以W1是V的线性子空间同理可证V2也是V的线性子空间
❊❉ a = −1, b = 5, c = 4. ❋●✚✻ ✢✣✤✘✙❍ g(x1η1 + x2η2 + x3η3) = −x1 + 5x2 + 4x3. 4. ✍ V ✎✙✷ K ✒✢ n ✸✣✤✥✑, η1, · · · , ηn ✎✹✢★✩✺, a1, · · · , an ✎ K ❀✳✴ n ✩✙. ✦ ✧: ■❏ V ✒❑★✢✣✤✘✙ f, ❅ f(ηi) = ai , i = 1, · · · , n. ✪✫: (■❏✤) ✍ α = x1η1 + x2η2 + · · · + xnηn ∈ V . ✽ f : V −→ K α 7−→ f(α) = Pn i=1 aixi ▲▼✦✧f ✎ V ✒✣✤✘✙, ✱◆❖✚P◗❘. (❑★✤) ✍ g ❍ V ✢✣✤✘✙, ❅ g(ηi) = ai , i = 1, · · · , n. ✾ ✲✳✴✢ α = x1η1 + x2η2 + · · · + xnηn ∈ V ✵ g(α) = Xn i=1 xig(ηi) = Xn i=1 xiai = f(α). ❙❚✦✧❯ ❑★✤. 5. ✍ V = K3 , α = (x1, x2, x3), β = (y1, y2, y3), ❱❲❳❨❩❬✘✙ f ✎❭❍ V ✒✢❪✣✤✘✙: (1) f(α, β) = 2x1y1 + x1y2 − 3x2y1 + x2y2; (2) f(α, β) = (x1 − y2) 2 + x2y1; (3) f(α, β) = c, c ∈ K; (4) f(α, β) = (2x1 + x2 − 3x3)(y1 − y2 + y3). ✼ : (1) ✎. (2) ❭. (3) ❫ c 6= 0 ❴, ❭; ❫ c = 0 ❴, ✎. (4) ✎. 6. ✍ f ❍ n ✸✣✤✥✑ V ✒✢❪✣✤✘✙, ✽ W1 = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ V }, W2 = {α ∈ V | f(β, α) = 0, ∀β ∈ V }. ✦✧: W1 ❵ W2 ❛✎ V ✢✣✤❜✥✑, ✱ dim W1 = dim W2. ✪✫: (1) ❆❝ ✲✳✴✢ β ∈ V ✵ f(0, β) = 0, ❞❡ 0 ∈ W1, W1 ❢✥. ❣✲✳✴✢ α1, α2 ∈ W1, k ∈ K ✶❁✳✴✢ β ∈ V ✵ f(α1 + α2, β) = f(α1, β) + f(α2, β) = 0, f(kα1, β) = kf(α1, β) = 0, ❞❡ α1 + α2 ∈ W1, kα1 ∈ W1. ✚✶ W1 ✎ V ✢✣✤❜✥✑. ❂❤✐✦ W2 ❥✎ V ✢✣✤❜✥✑. · 2 ·
(2)设m,……,mn为V的基∫在基m,…,mh2下的度量矩阵为B.则对任意的向量 f(a, B)=(a 从而 0→(x1…rn)为齐次线性方程组XB=0的解 所以dmW1=齐次线性方程组XB=0的解空间的维数=n- rank B 同理可证dimV2=n- ranke,所以dimW1=dimW2 7.设f为Kn上的一个二元函数,证明:f为Kn上的双线性函数的充分必要条件是存在矩阵 (K),使 证明:(→)设∫为K上双线性函数,取f的度量矩阵A,则A∈Mn(K),且 f(X,Y)=XTAY,VX,Y∈K (÷)如二元函数满足 f(X,Y)=XAY,VX,Y∈K”, 则f显然是K上双线性函数 8.对于第5题中的双线性函数,试求相应的度量矩阵 解:(1)|-310 (3)当c=0时,度量矩阵=0 9.设V=K4,如下定义V的二元函数f f(a,3)=m1m+x2y-x3-x4 其中 (1)证明:f是V上的一个双线性函数; (2)求∫在基 (2,1,-1,1) (0,2,1,0) (1,1,-2,1),n4=(0,0,1, 下的度量矩阵 3)找出一个满足f(a,a)=0的向量a≠0
(2) ✍ η1, · · · , ηn ❍ V ✢✺, f ❏✺ η1, · · · , ηn ❳✢❦❧♠♥❍ B. ✾ ✲✳✴✢♦❧ α = (x1 · · · xn) η1 . . . ηn , β = (y1 · · · yn) η1 . . . ηn , f(α, β) = (x1 · · · xn)B y1 . . . yn . ❋● α = Pn i=1 xiηi ∈ W1 ⇐⇒ (x1 · · · xn)B y1 . . . yn = 0 ∀(y1, · · · , yn) ∈ Kn ⇐⇒ (x1 · · · xn)B = 0 ⇐⇒ (x1 · · · xn) ❍♣q✣✤rs✛ XB = 0 ✢ ❊ . ✚✶ dim W1 = ♣q✣✤rs✛ XB = 0 ✢ ❊ ✥✑✢✸✙ = n − rank B. ❂❤✐✦ dim W2 = n − rank B, ✚✶ dim W1 = dim W2. 7. ✍ f ❍ Kn ✒✢★✩❩❬✘✙, ✦ ✧: f ❍ Kn ✒✢❪✣✤✘✙✢t✉✈✇◗❘✎■❏♠♥ A ∈ Mn(K), ❅ f(X, Y ) = XTAY, X, Y ∈ Kn . ✪✫: (⇒) ✍ f ❍ Kn ✒❪✣✤✘✙, ① f ✢❦❧♠♥ A, ✾ A ∈ Mn(K), ✱ f(X, Y ) = XTAY, ∀X, Y ∈ Kn . (⇐) ②❩❬✘✙◆❖ f(X, Y ) = X TAY, ∀X, Y ∈ Kn , ✾ f ✬✭✎ Kn ✒❪✣✤✘✙. 8. ✲❝③ 5 ❃❀✢❪✣✤✘✙, ❄ ✻④⑤✢❦❧♠♥. ✼ : (1) 2 1 0 −3 1 0 0 0 0 . (3) ❫ c = 0 ❴, ❦❧♠♥ = 0. (4) 2 −2 2 1 −1 1 −3 3 −3 . 9. ✍ V = K4 , ②❳⑥⑦ V ✢❩❬✘✙ f: f(α, β) = x1y1 + x2y2 − x3y3 − x4y4, ✿❀ α = (x1, x2, x3, x4), β = (y1, y2, y3, y4). (1) ✦✧: f ✎ V ✒✢★✩❪✣✤✘✙; (2) ✻ f ❏✺ η1 = (2, 1, −1, 1), η2 = (0, 2, 1, 0), η3 = (1, 1, −2, 1), η4 = (0, 0, 1, 2) ❳✢❦❧♠♥; (3) ⑧⑨★✩◆❖ f(α, α) = 0✢♦❧ α 6= 0. · 3 ·
解:(1)代入验证即可.证略 (2)我们有 010 (mh1n2n3n)=(1E2E3E4) 而f在基1,E2,E3,E4下的度量矩阵为 因此f在基m,m,T3,7下的度量矩阵为 2010 0210 1210334-1 11-21 11-21 (3)取a=(1,1,1,1),显然有f(a,a)=0. 10.设V=K4,a=(x1,x2,x3,x4),B=(y1,y2,y3,y4) f(a, B)=3T192-5T291+r3y (1)求∫在基 mh1=(2,1,-1,1),m=(1,2,1,-1) 7=(-1,1,2,1),n4=(1,-1,1,2) 下的度量矩阵 (2)另取V的基E1,E2,E3,E4 (1,E2,E3,E4)=(m,m2,m3,n)T, 其中 111 l11 1-1-1 11 求∫在E1,E21E3,∈4下的度量矩阵 解:(1)把∫在自然基下的度量矩阵记为B,把由自然基到基m1,m2,73,n4的过渡矩阵记为A,则 0300 5000 121 1-121 00-40 于是f在基m,m,T,7下的度量矩阵为 2 C=A BA
✼ : (1) ⑩❶❷✦❸✐. ✦❹. (2) ❺❻✵ (η1 η2 η3 η4) = (ε1 ε2 ε3 ε4) 2 0 1 0 1 2 1 0 −1 1 −2 1 1 0 1 2 ● f ❏✺ ε1, ε2, ε3, ε4 ❳✢❦❧♠♥❍ 1 1 −1 −1 , ❞❡ f ❏✺ η1, η2, η3, η4 ❳✢❦❧♠♥❍ 2 1 −1 1 0 2 1 0 1 1 −2 1 0 0 1 2 1 1 −1 −1 2 0 1 0 1 2 1 0 −1 1 −2 1 1 0 1 2 = 3 3 0 −1 3 3 4 −1 0 4 −3 0 −1 −1 0 −5 . (3) ① α = (1, 1, 1, 1), ✬✭✵ f(α, α) = 0. 10. ✍ V = K4 , α = (x1, x2, x3, x4), β = (y1, y2, y3, y4), f(α, β) = 3x1y2 − 5x2y1 + x3y4 − 4x4y3. (1) ✻ f ❏✺ η1 = (2, 1, −1, 1), η2 = (1, 2, 1, −1), η3 = (−1, 1, 2, 1), η4 = (1, −1, 1, 2) ❳✢❦❧♠♥; (2) ❼① V ✢✺ ε1, ε2, ε3, ε4: (ε1, ε2, ε3, ε4) = (η1, η2, η3, η4)T, ✿❀ T = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 , ✻ f ❏ ε1, ε2, ε3, ε4 ❳✢❦❧♠♥. ✼ : (1) ❽ f ❏ ❾✭✺❳✢❦❧♠♥❿❍ B, ❽ ❆ ❾✭✺✮✺ η1, η2, η3, η4 ✢➀➁♠♥❿❍ A, ✾ B = 0 3 0 0 −5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 0 , A = 2 1 −1 1 1 2 1 −1 −1 −1 2 1 1 −1 1 2 , ❝ ✎ f ❏✺ η1, η2, η3, η4 ❳✢❦❧♠♥❍ C = A TBA = −1 4 2 −17 −20 −1 22 −7 −7 −17 −4 −2 22 2 −17 −4 . · 4 ·
(2)f在基e1,E2,E3,E4下的度量矩阵为 -45939-27 39-953 11.设f是n维线性空间V上的双线性函数,证明:f非退化的充分必要条件是:从 f(a,3)=0,对所有的a∈V 可以推出B=0 证明:(→)令 W1={a∈V|f(a,B)=0,vB∈V W2={a∈v|f(,a)=0.,v∈V} 如∫非退化则由定义13及W1的定义知W1=0,从而由习题6得W2=0.因此由f(a,B)=0va∈V 可以推出a=0. ()如f(a,B)=0va∈V可以推出a=0,则W2=0,同理可得W1=0,则由定义1.3及W1的 定义知f非退化 12.设A∈Mm(K),V=Mm,n(K).定义V上的二元函数f如下: f(X,Y)=Tr(X AY),X,YE V (1)证明:f是V上的一个双线性函数 (2)求f在基E1,E12,…,E1n,…,Em1,…,Emn下的度量矩阵; (3)在什么条件下,∫是非退化的 解:(1)设X=(x1)mxn,Y=(v)mxm,A=(a1)m,则 f(X,Y Clank yki 1l=1 从而知f是双线性的 (2)由于f(Ex,E1)=6a,因此f在基E1,E12,…,E1n,…,Em1,…,Emn下的度量矩阵为 E B amIe 其中E是n阶单位方阵 3)由于|B=|4P,所以f非退化台→B≠0→|A|≠0.即∫非退化的充分必要条件是A 是可逆矩阵 13.证明:Mn(K)上的双线性函数 f(A, B)=Tr AB, A, BE Mn(K) 是非退化的 证明:设A=(a)∈Mn(K).如果 f(A, B)=Tr AB=0 VBE Mn(K) 则f(A,E)=0v,j=1 而 f(A, Eii)= Tr AEii=a
(2) f ❏✺ ε1, ε2, ε3, ε4 ❳✢❦❧♠♥❍ D = T TCT = −45 9 39 −27 9 −45 9 −117 −39 −9 5 3 27 117 3 45 . 11. ✍ f ✎ n ✸✣✤✥✑ V ✒✢❪✣✤✘✙, ✦✧: f ❢➂➃✢t✉✈✇◗❘✎: ❋ f(α, β) = 0, ✲✚✵✢ α ∈ V, ✐✶➄⑨ β = 0. ✪✫: (⇒) ✽ W1 = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ V }, W2 = {α ∈ V | f(β, α) = 0, ∀β ∈ V }. ② f ❢➂➃, ✾❆⑥⑦ 1.3 ❁ W1 ✢⑥⑦❈ W1 = 0, ❋●❆➅ ❃ 6 ❉ W2 = 0. ❞❡❆ f(α, β) = 0∀α ∈ V ✐✶➄⑨ α = 0. (⇐) ② f(α, β) = 0 ∀α ∈ V ✐✶➄⑨ α = 0, ✾ W2 = 0, ❂❤✐❉ W1 = 0, ✾❆⑥⑦ 1.3 ❁ W1 ✢ ⑥⑦❈ f ❢➂➃. 12. ✍ A ∈ Mm(K), V = Mm,n(K). ⑥⑦ V ✒✢❩❬✘✙ f ②❳: f(X, Y ) = Tr(XTAY ), X, Y ∈ V. (1) ✦✧: f ✎ V ✒✢★✩❪✣✤✘✙; (2) ✻ f ❏✺ E11, E12, · · · , E1n, · · · , Em1, · · · , Emn ❳✢❦❧♠♥; (3) ❏➆➇◗❘❳, f ✎❢➂➃✢. ✼ : (1) ✍ X = (xij )m×n, Y = (yij )m×n, A = (aij )m, ✾ f(X, Y ) = Xn i=1 Xm l=1 Xm k=1 xlialkyki, ❋●❈ f ✎❪✣✤✢. (2) ❆❝ f(Est, Euv) = δtvasu, ❞❡ f ❏✺ E11, E12, · · · , E1n, · · · , Em1, · · · , Emn ❳✢❦❧♠♥❍ B = a11E · · · a1mE . . . . . . . . . am1E · · · ammE , ✿❀E ✎ n ➈➉➊r♥. (3) ❆❝ |B| = |A| n, ✚✶ f ❢➂➃ ⇐⇒ |B| 6= 0 ⇐⇒ |A| 6= 0. ❸ f ❢➂➃✢t✉✈✇◗❘✎ A ✎✐➋♠♥. 13. ✦✧: Mn(K) ✒✢❪✣✤✘✙ f(A, B) = Tr AB, A, B ∈ Mn(K) ✎❢➂➃✢. ✪✫: ✍ A = (aij ) ∈ Mn(K). ②➌ f(A, B) = Tr AB = 0 ∀B ∈ Mn(K) ✾ f(A, Eij ) = 0 ∀i, j = 1, · · · , n. ● f(A, Eij ) = Tr AEij = aji, · 5 ·