《高等代数与解析几何》课程教学资源（习题解答）第九章 坐标变换与点变换

习题解答 第九章坐标变换与点变换 题9-1 1.两直角坐标系O;m,m2]与[O;m,2有公共原点.在原坐标系[O;m,m2]下,新坐标系的基向量 为 172 (1)写出坐标变换公式 (2)写出原坐标系中的基向量m1= 0 2=(1)在新坐标系下的坐标分量 (3)已知向量可在[O;m,m]的分量为 求它在新坐标系[O;m,n下的分量 解()因为(n)=团,n,其中T=(立 所以坐标变换公式为 7()-() (2)由(1)知:(m1,m2)=(n,n2)T-1,其中T-1 当立)所以m m m=2m+当2n,即:m 要)(要 (G2=7()可推知( T-1 3人·现在可=m-m,所以 就是v在新坐标系下的分量 2.在平面直角坐标系[O;m,m中已知新的直角坐标系O;m,2的原点O的坐标为(3,2),点 M(5,3)在新坐标系的x′轴上且点M的新坐标x>0.试用矩阵形式写出从O;m,m2]到[O;mh,h2]的 坐标变换公式 解:因为X0= 2/且由题意知O/=/5) ()1().可的单位向量( 即cosB=2v5 所以T= 因此变换公式为

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9–1 1.   [O; η1, η2] [O; η 0 1 , η0 2 ] .   [O; η1, η2] ,   : η 0 1 = Ã √ 2 √ 2 2 2 ! , η0 2 = Ã − √ 2 √ 2 2 2 ! . (1)  ; (2)    η1 = µ 1 0 ¶ , η2 = µ 0 1 ¶   !; (3) "# −→v  [O; η1, η2] ! µ 1 −1 ¶ , $%  [O; η 0 1 , η0 2 ] !. : (1) & (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2)T, ' T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , ()  µ x y ¶ = T µ x 0 y 0 ¶ = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! µ x 0 y 0 ¶ . (2) * (1) #: (η1, η2) = (η 0 1 , η0 2 )T −1 , ' T −1 = Ã √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ! , () η1 = √ 2 2 η 0 1 − √ 2 2 η 0 2 , η2 = √ 2 2 η 0 1 + √ 2 2 η 0 2 , +: η1 = Ã √ 2 2 − √ 2 2 ! , η2 = Ã √ 2 √ 2 2 2 ! . (3) , µ x y ¶ = T µ x 0 y 0 ¶ -.# µ x 0 y 0 ¶ = T −1 µ x y ¶ . / −→v = η1 − η2, () µ x 0 y 0 ¶ = Ã √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ! µ 1 −1 ¶ = µ 0 − √ 2 ¶ , 012 −→v  !. 2. 34  [O; η1, η2] , "#  [O0 ; η 0 1 , η0 2 ]  O0   (3, 2),  M(5, 3)   x 0 56, 7 M   x 0 > 0. 89:;<, [O; η1, η2] = [O0 ; η 0 1 , η0 2 ]  . : & X0 = µ 3 2 ¶ , 7*>?# −−→O0M = µ 5 3 ¶ − µ 3 2 ¶ = µ 2 1 ¶ , @ −−→O0M AB2 Ã 2 √ 5 √ 5 5 5 ! , + cos θ = 2 √ 5 5 , sin θ = √ 5 5 . () T = Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! . &C   x y 1   =   2 √ 5 5 − √ 5 5 3 √ 5 5 2 √ 5 5 2 0 0 1     x 0 y 0 1   . · 1 ·

3.设二次曲线C在直角坐标系[O;m,m]中的方程是 y+y2+2x-4y+1=0 (1)取新的直角坐标系[O;m1,n2,使O在旧坐标系下的坐标为(0.2),且有 h=-2m+号2m 试用矩阵形式写出坐标变换公式; (2)求曲线C在新坐标系下的方程 解:(1)据题设,X0= T2或),且行列式r=1.所以坐标变换公式为 2 )-(A 2 ()C的方程为百+=1 4.设有平面直角坐标系[Om,m2],若新的直角坐标系O;n,n满足:x轴和y轴在旧坐标系中 的方程分别是x-2y+2=0和2x+y+4=0. (1)求从旧坐标系到新坐标系的变换公式 (2)求直线x-y+2=0在新坐标系中的方程 (3)求直线3x+y+1=0在旧坐标系中的方程 x-2y+2=0 解:(1)因O点的坐标(xo,yo)是方程组 的解,即X0= 2x+y+4 显然x-2+2=0的方向系数为2:12x++4=0的方向系数为-1:2.所以h=2m+点m n+号n,即,)=(m)(2)由于2=1构成 右手系.所以坐标变换公式为 2√5√5 √25 (2)x-y+2=0在新坐标系中的方程为 2√5,√5 5 即x-3y=0 (3)由(1)的坐标变换公式可以得到 2y545 2√52√5

3. DEFGH C   [O; η1, η2] IJ2: x 2 − xy + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0. (1) K  [O0 ; η 0 1 , η0 2 ], L O0 M   (0, 2), 7    η 0 1 = √ 2 2 η1 + √ 2 2 η2 η 0 2 = − √ 2 2 η1 + √ 2 2 η2, 89:;< ; (2) $GH C  IJ. : (1) N>D, X0 = µ 0 2 ¶ , T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , 7OP |T| = 1. () :   x y 1   =   √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 2 0 0 1     x 0 y 0 1   . (2) C IJ x 02 6 + y 02 2 = 1. 4. D34  [O; η1, η2], Q  [O0 ; η 0 1 , η0 2 ] RS: x 0 5T y 0 5M  IJ!U2 x − 2y + 2 = 0 T 2x + y + 4 = 0. (1) $,M = ; (2) $H x − y + 2 = 0   IJ; (3) $H 3x 0 + y 0 + 1 = 0 M  IJ. : (1) & O0   (x0, y0) 2IJV ( x − 2y + 2 = 0 2x + y + 4 = 0 W, + X0 = µ x0 y0 ¶ = µ −2 0 ¶ . XYx−2y+2 = 0IZ2 : 1, 2x+y+4 = 0IZ−1 : 2. ()η 0 1 = 2 √ 5 5 η1+ √ 5 5 η2, η 0 2 = − √ 5 5 η1 + 2 √ 5 5 η2, + (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2) Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! . *[ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1, η 0 1 , η0 2 \] ^_. ()    x y 1   =   2 √ 5 5 − √ 5 5 −2 √ 5 5 2 √ 5 5 0 0 0 1     x 0 y 0 1   . (2) x − y + 2 = 0   IJ: Ã 2 √ 5 5 x 0 − √ 5 5 y 0 − 2 ! − Ã √ 5 5 x 0 + 2 √ 5 5 y 0 ! + 2 = 0, + x 0 − 3y 0 = 0. (3) * (1)  -)`=   x 0 y 0 1   =   2 √ 5 5 √ 5 5 4 √ 5 5 − √ 5 5 2 √ 5 5 − 2 √ 5 5 0 0 1     x y 1   , · 2 ·

故3x+y+1=0在旧坐标系下的方程为: 2 1=0. 即5x+5y+10+√5=0. 习题92 1.化简二次曲线的方程 5x2+4xy+2y2-24x-12y+12=0 并画出它的图形以及新的坐标轴 解:矩阵A 因此I1=Tr(4)=7>0.I2=|A|=6>0,3= 52-12 22-6=-108<0.此曲线是椭圆A的特征值是方程x2-7X+6=0的根,解得A1=6, 12-612 2=1故简化后的方程为62+02-10=0即3+=1 为画出其大致图形,需要求出坐标变换公式.对应于特征根6与1的单位特征向量分别是 )与( ￥)所以-(2) 且=1.再求曲线的中心(即新 坐标系的原点)O(xo,o),解线性方程组 5x0+29-12=0 得X0 因此坐标变换公式是 25_√5 y52y51 求出新坐标系中x轴与y轴在旧坐标系中的方程分别是x-2y=0(即y=0)与2x+y-5=0(即 第1题图

@ 3x 0 + y 0 + 1 = 0 M IJ: 3 Ã 2 √ 5 5 x + √ 5 5 y + 4 √ 5 5 ! + Ã − √ 5 5 x + 2 √ 5 5 y − 2 √ 5 5 ! + 1 = 0, + 5x + 5y + 10 + √ 5 = 0. ￾
9–2 1. abEFGHIJ 5x 2 + 4xy + 2y 2 − 24x − 12y + 12 = 0, cd%e<)f 5. : :; A = µ 5 2 2 2 ¶ , B = µ −12 −6 ¶ , &C I1 = Tr(A) = 7 > 0, I2 = |A| = 6 > 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 2 −12 2 2 −6 −12 −6 12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −108 < 0. CGH2gh. A ijk2IJ λ 2 − 7λ + 6 = 0 l, W` λ1 = 6, λ2 = 1. @bamIJ 6x 02 + y 02 − 108 6 = 0, + x 02 3 + y 02 18 = 1. d'noe<, pq$ . rs[ijl 6 1 ABij!U2 µ 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ µ − √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ , () T = Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. t$GH u (+ ) O0 (x0, y0), WHvIJV ( 5x0 + 2y0 − 12 = 0 2x0 + 2y0 − 6 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = µ 2 1 ¶ . &C 2   x y 1   =   2 √ 5 5 − √ 5 5 2 √ 5 5 2 √ 5 5 1 0 0 1     x 0 y 0 1   . $  x 0 5 y 0 5M  IJ!U2 x − 2y = 0 (+ y 0 = 0) 2x + y − 5 = 0 (+ x 0 = 0). 0 
￾ 1 2   4     8   < C HLMPQRJVPT[Z \ _ ab bf g i k k m m o o p q r s t t u v w x y y n / . n ￾n / / ￾0
 0 / o | n / m z y x w v v t t s r q q o o n l l k i h f d b ^ \ X[ZPWVUSRPNMHE    9  
 5   
2  ￾2 0   uuuuuuu@P  t t t t t t t t t t p ￾  ￾ 00000 000000 00000 00000 00000 000H   ,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p   !:F z / 
   (7 h w -  x y x 0 y 0 O O0 ￾ 1
· 3 ·

2.化简二次曲线方程 并画出它的图形以及新的坐标轴 解矩阵A=(-2-2),B=(2),因此h=T(4)=-1<0,h=|A=-6<0. 2-22=6>0.此曲线是双曲线A的特征值是方程2+A-6=0的根,解得A1=2,A2=-3 故简化后的方程为2x2-3y/2-1=0,即 为画出其大致图形,需要求出坐标变换公式.对应于特征根2与-3的单位特征向量分别是 2√5√5 与 所以T 2)且=1再水曲线的中心即新 坐标系的原点)O(x0,3),解线性方程组 得X 因此坐标变换公式是 2 求出新坐标系中x轴与y轴在旧坐标系中的方程分别是x+2y-3=0与2x-y+4=0. 3.化简二次曲线方程 x2-3ry+y2+10x-10y+21=0 并作出它的图形以及新的坐标轴 解:矩阵A 因此l1=Tr(A) 号1-5=-号<0此曲线是双曲线A的特征值是方程 5=0的根,解

2. abEFGHIJ x 2 − 4xy − 2y 2 + 10x + 4y = 0, cd%e<)f 5. : :; A = µ 1 −2 −2 −2 ¶ , B = µ 5 2 ¶ , &C I1 = Tr(A) = −1 < 0, I2 = |A| = −6 < 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −2 5 −2 −2 2 5 2 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 6 > 0. CGH2wGH. A ijk2IJ λ 2 + λ − 6 = 0 l, W` λ1 = 2, λ2 = −3. @bamIJ 2x 02 − 3y 02 − 1 = 0, + x 02 1 2 − y 02 1 3 = 1. d'noe<, pq$ . rs[ijl 2 −3 ABij!U2 µ 2 √ 5 5 , − √ 5 5 ¶ µ √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ , () T = Ã 2 √ 5 5 √ 5 5 − √ 5 5 2 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. t$GH u (+ ) O0 (x0, y0), WHvIJV ( x0 − 2y0 + 5 = 0 −2x0 − 2y0 + 2 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = µ −1 2 ¶ . &C 2   x y 1   =   2 √ 5 5 √ 5 5 −1 − √ 5 5 2 √ 5 5 2 0 0 1     x 0 y 0 1   . $  x 0 5 y 0 5M  IJ!U2 x + 2y − 3 = 0 2x − y + 4 = 0. r s r s s s t u v - l  m / o 52H E   4 ￾   ￾
8   E HIJ56778 ￾ / m . k v u t s s s r s r r r r r r r r r r i , uuuu@ t t t t t t t t t p  ￾                            8  PPPPPPPPPPPPPPPPP   !:F z / 
 
  #I X x y x 0 y 0 O O0 ￾ 2
3. abEFGHIJ x 2 − 3xy + y 2 + 10x − 10y + 21 = 0, cx%e<)f 5. : :; A = Ã 1 − 3 2 − 3 2 1 ! , B = µ 5 −5 ¶ , &C I1 = Tr(A) = 2 > 0, I2 = |A| = − 5 4 < 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − 3 2 5 − 3 2 1 −5 5 −5 21 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − 5 4 < 0. CGH2wGH. A ijk2IJ λ 2 − 2λ − 5 4 = 0 l, W` · 4 ·

A=,=-,故简化后的方程为2-y2+1=0即2-2=1 为画出其大致图形,需要求出坐标变换公式对应于特征根号与-号的单位特征向量分别是 (乎-号1)(号)() 且|=1.再求曲线的中心(即新坐标系的 原点)O(x0,vo),解线性方程组 得X 因此坐标变换公式是 求出新坐标系中x轴与y轴在旧坐标系中的方程分别是x+y=0与x-y+4=0. 第3题图 4.化简二次曲线方程 4x2-4xy+y2+6x-8y+3=0 并画出它的图形以及新的坐标轴 解:矩阵A 因此I1=Tr(4)=5>0,I2=|4=0,I3 4-23 21-4|=-25<0.此曲线是抛物线A的特征值是方程x2-5A=0的根解得A=01=5,对 3-43 应于特与的单向量分别(4)中(24要)明(2)

λ1 = 5 2 , λ2 = − 1 2 . @bamIJ 5 2 x 02 − 1 2 y 02 + 1 = 0, + y 02 2 − x 02 2 5 = 1. d'noe<, pq$ . rs[ijl 5 2 − 1 2 ABij!U2 µ √ 2 2 , − √ 2 2 ¶ µ √ 2 2 , √ 2 2 ¶ , () T = Ã √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ! , 7 |T| = 1. t$GH u (+  ) O0 (x0, y0), WHvIJV ( x0 − 3 2 y0 + 5 = 0 − 3 2 x0 + y0 − 5 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = µ −2 2 ¶ . &C 2   x y 1   =   √ 2 2 √ 2 2 −2 − √ 2 2 √ 2 2 2 0 0 1     x 0 y 0 1   . $  x 0 5 y 0 5M  IJ!U2 x + y = 0 x − y + 4 = 0. 9:OPRU&*  -  ￾/             4  
 1  ￾
 3  4            6  ￾.  ,  &#SPON:886 uuuuu t t t t t t t t t t t 0  ￾ s s s s s s s s s q s q q q q q q q q q   !:F z / 
  V j * x y x 0 y 0 O O0 ￾ 3
4. abEFGHIJ 4x 2 − 4xy + y 2 + 6x − 8y + 3 = 0, cd%e<)f 5. : :; A = µ 4 −2 −2 1 ¶ , B = µ 3 −4 ¶ , &C I1 = Tr(A) = 5 > 0, I2 = |A| = 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −2 3 −2 1 −4 3 −4 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −25 < 0. CGH2yzH. Aijk2IJλ 2−5λ = 0l, W`λ1 = 0, λ2 = 5. r s[ijl0 5ABij!U2µ √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ µ − 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ , ()T = Ã √ 5 5 − 2 √ 5 5 2 √ 5 5 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. · 5 ·