具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影同步

D0I:10.13374/i.issnl001053x.2010.06.023 第32卷第6期 北京科技大学学报 Vol32 No 6 2010年6月 Journal ofUniversity of Science and Technobgy Bejjing Jun 2010 具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影 同步 王健安刘贺平 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要研究了一类具有未知扇区非线性输入且含有未知不确定性和外部干扰的主从混沌系统的投影同步问题.首先选择 了一个合适的滑模面，然后基于LPu0稳定性理论设计滑模控制器和自适应更新规则.所设计的控制器不受未知不确定 性和外部干扰的影响，具有很强的鲁棒性.通过对不确定主从Du和gHO血s系统的仿真研究，验证了所设计控制器的有 效性. 关键词混沌系统：投影同步：自适应滑模控制：非线性输入 分类号TP273 Adaptive slid ing mode projective synch ronization of chaotic system s with un known sector input nonlnearity WANG Jianan LUHePng Schpol of homation Engmneerng University of Science and Technokgy Beijing Beijing100083 China ABSTRACT The projective synchronization of a cass ofmaster slave chaotic sysem wih unknown secpr nput nonlinearity un known uncertainty and extemal d isurbance was discussed By choosing an appropriate sli ng mode surace a slid ng mode controller and adap tive update kws were designed to ach eve synch ro izaton based on helyapunov stability heory The proposed con toller has strong robust poperty since it is beyond the inpact of uknown uncerainty and extemal disurbance Sinu ltion results of the uncertain m asterslave Duffng Homes systems show the efficiency of the prposed con troller KEY WORDS chaotic syste proective synchrongzatian adaptive sldling mode contol input nonlnearity 自从Peco和Camo州提出驱动一响应同步 干扰的影响。具有很强的鲁棒性.因此，有学者将 方法以来，混沌同步及其应用一直是研究的热点， 滑模控制技术用于不确定混沌系统的同步研 并相继出现了多种混沌同步方法，如自适应控 究⑧-0.受实际物理器件的限制，系统的线性输入 制3、反馈控制到和backseppin吗空制4.同时，人 不可避免因存在干扰而致使线性输入变成非线性输 们提出了各种混沌同步方案，如完全同步匀、广义 入.因此，研究具有非线性输入混沌系统的同步问 同步和投影同步”.与完全同步不同，投影同步 题更有实际意义.文献[11-12分别研究了具有扇 通过改变比例因子，获得任意比例于原驱动混沌系 区非线性输入的Loen猁Li混沌系统同步问题. 统的混沌输出信号，同步后两个混沌系统的拓扑结 文献[13-14对具有扇区输入的不确定节点型主从 构一致.这种性质在进行数字信号保密通信中，可 混沌系统，设计滑模变结构控制器实现了混沌同步. 以实现快速通信，具有很好的应用前景， 文献[15研究了具有扇区输入混沌系统的同步问 由于滑模变结构控制不受系统参数变化和外部 题，但没有考虑不确定性和外部干扰的影响.而 收稿日期：2008-08-10 基金项目：北京市教委重点学科共建项目(N9K100080537) 作者简介：王健安(1984-)，男，博士研究生：刘贺平(195一)，男，教授，博士生导师，Em时hP@两ust edy c

第 32卷 第 6期 2010年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.32 No.6 Jun.2010 具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影 同步 王健安 刘贺平 北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 摘 要 研究了一类具有未知扇区非线性输入且含有未知不确定性和外部干扰的主从混沌系统的投影同步问题.首先选择 了一个合适的滑模面, 然后基于 Lyapunov稳定性理论设计滑模控制器和自适应更新规则.所设计的控制器不受未知不确定 性和外部干扰的影响, 具有很强的鲁棒性.通过对不确定主从 Duffing-Holmes系统的仿真研究, 验证了所设计控制器的有 效性. 关键词 混沌系统;投影同步;自适应滑模控制;非线性输入 分类号 TP273 Adaptiveslidingmodeprojectivesynchronizationofchaoticsystemswithun￾knownsectorinputnonlinearity WANGJian-an, LIUHe-ping SchoolofInformationEngineering, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China ABSTRACT Theprojectivesynchronizationofaclassofmaster-slavechaoticsystemwithunknownsectorinputnonlinearity, un￾knownuncertaintyandexternaldisturbancewasdiscussed.Bychoosinganappropriateslidingmodesurface, aslidingmodecontroller andadaptiveupdatelawsweredesignedtoachievesynchronizationbasedontheLyapunovstabilitytheory.Theproposedcontrollerhas strongrobustpropertysinceitisbeyondtheimpactofunknownuncertaintyandexternaldisturbance.Simulationresultsoftheuncertain master-slaveDuffing-Holmessystemsshowtheefficiencyoftheproposedcontroller. KEYWORDS chaoticsystem;projectivesynchronization;adaptiveslidingmodecontrol;inputnonlinearity 收稿日期:2008--08--10 基金项目:北京市教委重点学科共建项目 ( No.XK100080537) 作者简介:王健安 ( 1984— ), 男, 博士研究生;刘贺平 ( 1951— ), 男, 教授, 博士生导师, E-mail:lhpjx@ies.ustb.edu.cn 自从 Pecora和 Carroll [ 1] 提出驱动 -响应同步 方法以来, 混沌同步及其应用一直是研究的热点, 并相继出现了多种混沌同步方法, 如自适应控 制 [ 2] 、反馈控制 [ 3]和 backstepping控制 [ 4] .同时, 人 们提出了各种混沌同步方案, 如完全同步 [ 5] 、广义 同步 [ 6]和投影同步 [ 7] .与完全同步不同, 投影同步 通过改变比例因子, 获得任意比例于原驱动混沌系 统的混沌输出信号, 同步后两个混沌系统的拓扑结 构一致 .这种性质在进行数字信号保密通信中, 可 以实现快速通信, 具有很好的应用前景 . 由于滑模变结构控制不受系统参数变化和外部 干扰的影响, 具有很强的鲁棒性.因此, 有学者将 滑模控制 技术用于 不确定混 沌系统的同 步研 究 [ 8--10] .受实际物理器件的限制, 系统的线性输入 不可避免因存在干扰而致使线性输入变成非线性输 入.因此, 研究具有非线性输入混沌系统的同步问 题更有实际意义.文献 [ 11--12]分别研究了具有扇 区非线性输入的 Lorenz和 Liu混沌系统同步问题. 文献 [ 13--14] 对具有扇区输入的不确定节点型主从 混沌系统, 设计滑模变结构控制器实现了混沌同步. 文献 [ 15] 研究了具有扇区输入混沌系统的同步问 题, 但没有考虑不确定性和外部干扰的影响.而 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2010.06.023

。808 北京科技大学学报 第32卷 且，上述文献都要求扇区非线性输入函数是己知 的.然而，在实际情形中非线性输入有可能是未知 u) 斜率B 的，对于这种情况，目前还没有文献涉及. 受上述文献的启发，本文研究具有未知扇区非 斜率位 线性输入且含有未知不确定性和外部干扰的一类混 沌系统的投影同步问题.首先选择了一个合适的滑 模面，然后基于Lyapunov稳定性理论设计滑模控制 器和自适应更新规则.研究表明，该控制器不受系 统未建模动态或未知结构等不确定性以及外部干扰 的影响，具有很强的鲁棒性.由投影同步的特点可 图1扇区[a]内非线性中(y)的曲线图 知本文所设计的控制器较以往文献更具有一般性， Fg1 Non liear funct知中(Yy)inside the secpr[a 具有更广泛的应用范围.最后通过对不确定Du任 =X十λX (5) ing Hom es系统进行仿真研究，获得了满意的投影 式中，入为比例因子.当入=一1时，是混沌系统的 同步效果，验证了所设计控制器的有效性. 完全同步；当入=1时，是混沌系统的反同步.当 1问题描述 λ<0时，驱动系统与响应系统出现同相位的投影 同步；当入>0时，驱动系统与响应系统出现反相 考虑如下两个具有非线性输入的维不确定主 位的投影同步.由式(1)、式(2)和式(5，有如下 从系统： 的误差动态方程： X(9=X1(月=12n-1 (9=1(男↓2，-1 1) (j=fx9 台(9=8y9+入·(x9十△8y+ 和 d9+中(Y9) (6) ￥(9=》1（方=12-1 本文的目标是主从系统(1)和(2)从不同的初 名(9=y9+△+d9+中(Y9) 始条件出发，通过非线性输入中(Y9)控制最终达 (2) 到投影同步，即 式中，=[各等，)∈R和y=[名多 lmll=mll4λ=0 (7) ∈R为状态向量，x和y为不同的非 2自适应滑模控制设计 线性函数，叫为控制输入△平y代表未建模动 态或未知结构等不确定性，d(9为外部干扰. 利用滑模控制获得主从系统的同步，主要包括 中(Y9)为未知的非线性函数满足中(0)=0且包 两个步骤：首先，选定一个滑模面，保证其是渐近 含在扇区[a内，即 稳定的：其次，设计合适的控制器，使得误差系统 a°Y≤中(Y≤BY只Y≥0 的轨线能在有限时间内到达滑模面，从而沿着滑模 a°Y≥中(Y事≥男Y0 (3) 面向同步平衡点运动.可见，利用滑模控制实现主 式中，α和β是未知的非零正常数.图1给出了扇 从混沌系统投影同步的关键是选择合适的滑模面及 区[α内中(Y9)的变化曲线图. 设计控制器使误差系统尽快地趋近滑模面. 注1：许多混沌系统可描述成系统(1)的形式， 考虑前D-1个误差动态方程， 如Du ffing Hom es系统、Genesjo系统、Gyo系统和 (9=年：（方，=12n-1(8) van der Po坊程.而且，一些混沌系统经过坐标变 换，也可变换成系统(1)的形式，如Chua s电路 令(9=-君9(%这里=121) 系统. 是设计参数.根据线性系统理论，选择合适的S可 对于系统(2)，假设未知不确定项△y和 使得式(8)渐近稳定.因此，可以设计如下的滑 外部干扰￠9有界但其界未知，即 模面： ay9长kId9≤k (4) 式中，4和冬为未知的非零正数. =(+ S(9 (9) 定义如下的投影同步误差： 使得当误差系统在滑模面上运动时是渐近稳定的

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 且, 上述文献都要求扇区非线性输入函数是已知 的 .然而, 在实际情形中非线性输入有可能是未知 的, 对于这种情况, 目前还没有文献涉及. 受上述文献的启发, 本文研究具有未知扇区非 线性输入且含有未知不确定性和外部干扰的一类混 沌系统的投影同步问题.首先选择了一个合适的滑 模面, 然后基于 Lyapunov稳定性理论设计滑模控制 器和自适应更新规则 .研究表明, 该控制器不受系 统未建模动态或未知结构等不确定性以及外部干扰 的影响, 具有很强的鲁棒性.由投影同步的特点可 知本文所设计的控制器较以往文献更具有一般性, 具有更广泛的应用范围.最后通过对不确定 Duff￾ing-Holmes系统进行仿真研究, 获得了满意的投影 同步效果, 验证了所设计控制器的有效性. 1 问题描述 考虑如下两个具有非线性输入的 n维不确定主 从系统 : x﹒i(t) =xi+1 ( t), i=1, 2, …, n-1 x﹒n( t) =f( x, t) ( 1) 和 y﹒i(t) =yi+1 ( t), i=1, 2, …, n-1 yn(t) =g( y, t) +Δg(y, t) +d( t) + ( u(t) ) ( 2) 式中, x=[ x1, x2, …, xn] T ∈ R n 和 y=[ y1, y2, …, yn] T ∈ R n为状态向量, f( x, t)和 g(y, t)为不同的非 线性函数, u(t)为控制输入, Δg( y, t)代表未建模动 态或未知结构等 不确定性, d( t) 为外部干扰 . (u( t) )为未知的非线性函数满足 ( 0) =0且包 含在扇区[ α β] 内, 即 α·u(t) ≤ ( u( t) )≤β·u( t), u(t) ≥0 α·u(t) ≥ ( u( t) )≥β·u( t), u(t) ≤0 ( 3) 式中, α和 β是未知的非零正常数 .图 1给出了扇 区 [ α β]内 (u( t) )的变化曲线图. 注 1:许多混沌系统可描述成系统 ( 1)的形式, 如 Duffing-Holmes系统 、Genesio系统、Gyro系统和 vanderPol方程.而且, 一些混沌系统经过坐标变 换, 也可变换成系统 ( 1 )的形式, 如 Chua' s电路 系统. 对于系统 ( 2), 假设未知不确定项 Δg( y, t)和 外部干扰 d(t)有界但其界未知, 即 Δg( y, t) ≤k1, d(t) ≤k2 ( 4) 式中, k1 和 k2 为未知的非零正数 . 定义如下的投影同步误差 : 图 1 扇区[ α β] 内非线性 (u( t) )的曲线图 Fig.1 Nonlinearfunction ( u( t) ) insidethesector[ α β] ei=yi+λxi ( 5) 式中, λ为比例因子.当 λ=-1时, 是混沌系统的 完全同步 ;当 λ=1 时, 是混沌系统的反同步.当 λ<0时, 驱动系统与响应系统出现同相位的投影 同步 ;当 λ>0 时, 驱动系统与响应系统出现反相 位的投影同步 .由式 ( 1) 、式 ( 2 )和式 ( 5), 有如下 的误差动态方程: e﹒i(t) =ei+1 (t), i=1, 2, …, n-1 e﹒n(t) =g( y, t) +λ·f( x, t) +Δg(y, t) + d( t) + ( u(t) ) ( 6) 本文的目标是主从系统 ( 1)和 ( 2)从不同的初 始条件出发, 通过非线性输入 ( u(t) )控制最终达 到投影同步, 即 tl※im∞ ‖ e‖ =tl※im∞ ‖ y+λx‖ =0 ( 7) 2 自适应滑模控制设计 利用滑模控制获得主从系统的同步, 主要包括 两个步骤 :首先, 选定一个滑模面, 保证其是渐近 稳定的 ;其次, 设计合适的控制器, 使得误差系统 的轨线能在有限时间内到达滑模面, 从而沿着滑模 面向同步平衡点运动.可见, 利用滑模控制实现主 从混沌系统投影同步的关键是选择合适的滑模面及 设计控制器使误差系统尽快地趋近滑模面. 考虑前 n-1个误差动态方程, e﹒i( t) =ei+1 ( t), i=1, 2, …, n-1 ( 8) 令 en(t) =-∑ n-1 i=1 ciei( t), 这里 ci( i=1, 2, …, n-1) 是设计参数.根据线性系统理论, 选择合适的 ci可 使得式 ( 8)渐近稳定 .因此, 可以设计如下的滑 模面 : s( t) =en( t) +∑ n-1 i=1 ciei( t) ( 9) 使得当误差系统在滑模面上运动时是渐近稳定的, · 808·

第6期 王健安等：具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影同步 809° 且系统对未知扇区非线性输入、未知不确定性和外 -Ym￥9) (13) 部干扰是不敏感的. 0:=1y+λx91+ 引理如果所设计的控制输入Y9具有Y= 一ym予)的形式则有如下不等式成立： ￥>0(14) 平中（事≤-aym|￥9| (10) 这里，>0和D0 05=|￥9↓>0 证明在式(3两边乘以Y9,有 式中，>1是设计参数，·是符号函数，和 a(≤Y9中(Y9) (11) 分别是0和的初始值. 在式(11)的右边将平9=一y”即可9)代入，得 定理1考虑误差动态系统(6)，在控制器 -y刀吊9)中("叫9≥a了Tg(￥9) (13)和自适应更新规则(14)的作用下，误差系统 (12) 轨线将收敛到滑模面平)=0. 在式(12)的两边乘以(9，有 一Yn￥9|9中(Y事≥ar|￥I川等9↓ 证明令0，-女8-日(k+5由于gk ￥9中(9≤-aynl991 和冬是未知的，故1和分别用来估计0和02 命题得证. 估计误差为0=01一0,02=一6. 根据滑模控制技术和Lyapunov稳定性理论，设 选择如下的Lyapuno函数： 计如下的控制器和自适应更新规则： 叫9=-Y19y+入)+ V9=2a8(9十2（线+） (15) 对式(15)求导，将式(10)、式(13)和式(14)代 +时9)= 入得 Vj=2a￥)9+号(0,0i+0,05)= [年y9+xf9+△y9+)+(Y9月+(0,0i+0:05 1写y9+入f5+宫9s,(+5+5)191+日9(9)+00时+00的 1野y9+af)H言9e,(++19-n子91+(8+8)= 0[1y9+af9+会s,(11+819-I91+(8所+8)= (g-4[I肾y9+xf+会9()川19+(g-4)1￥-￥9+a+80防)= (1-)[19J+a31+2(+时1)长 (1-Y)|平9长-w(≤0 (16) 式中，ω(9=(Y一1)|￥事1将式(16)两边从0 即予)=Q此意味着误差系统轨线将收敛到滑模 到积分，得 面￥9=0证毕. Vo>W)+Jo()d 显然，本文所设计的控制器无需扇区非线性输 (17) 入函数的先验信息，这在实际中是非常重要的，也 由式(17)可知，W0)-7≥0是有界的，因此 是本文与文献[11-15的最大区别所在.从定理1 l1mo(c)d存在且有界.根据Babala写引理，可知 可以看出，该控制器不受系统未建模动态或未知结 构等不确定性以及外部干扰的影响，因此具有很强 的鲁棒性 go(x)t=四JY-1)61d=0 注2由于在滑模控制器(13)中含有不连续的 (18) 符号函数·)，这会使得滑模控制出现抖振，可

第 6期 王健安等:具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影同步 且系统对未知扇区非线性输入 、未知不确定性和外 部干扰是不敏感的. 引理 如果所设计的控制输入 u(t)具有 u( t) = -γηsgn( s( t) )的形式, 则有如下不等式成立 : s( t) ( u( t) )≤ -αγη s( t) ( 10) 这里, γ>0和 η>0. 证明 在式 ( 3)两边乘以 u(t), 有 αu 2 ( t)≤u(t) ( u(t) ) ( 11) 在式 ( 11)的右边将 u(t) =-γηsgn(s(t) )代入, 得 -γηsgn( s( t) ) (u(t) ) ≥αγ 2 η 2 sgn 2 ( s( t) ) ( 12) 在式 ( 12)的两边乘以 s 2 ( t), 有 -γηs( t) s(t) · ( u( t) )≥αγ 2η 2 s( t) s(t) , s( t) (u( t) )≤ -αγη s(t) . 命题得证. 根据滑模控制技术和 Lyapunov稳定性理论, 设 计如下的控制器和自适应更新规则: u(t) =-γ g( y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 (t) θ 1 +θ 2 sgn( s( t) ) = -γηsgn( s(t) ) ( 13) θ · 1 = g(y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 (t) s( t) , θ 10 >0 θ · 2 = s( t) , θ 20 >0 ( 14) 式中, γ>1是设计参数, sgn(· )是符号函数, θ 10和 θ 20分别是 θ 1 和 θ 2 的初始值 . 定理 1 考虑误差动态系统 ( 6), 在控制器 ( 13)和自适应更新规则 ( 14)的作用下, 误差系统 轨线将收敛到滑模面 s( t) =0. 证明 令 θ1 = 1 α , θ2 = 1 α ( k1 +k2 ), 由于 α, k1 和 k2 是未知的, 故 θ 1 和 θ 2 分别用来估计 θ1 和 θ2, 估计误差为 θ1 =θ 1 -θ1, θ 2 =θ 2 -θ2 . 选择如下的 Lyapunov函数 : V( t) = 1 2α s 2 (t) + 1 2 ( θ 2 1 + θ 2 2 ) ( 15) 对式 ( 15)求导, 将式 ( 10) 、式 ( 13 )和式 ( 14 )代 入, 得 V · ( t) = 1 2α s( t) s﹒( t) + 1 2 (θ 1θ · 1 +θ 2θ · 2 ) = 1 α s( t) [ g( y, t) +λ·f( x, t) +Δg( y, t) +d( t) + (u( t) ) ] +(θ 1θ · 1 +θ 2θ · 2 ) ≤ 1 α ( g( y, t) +λf(x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 (t) +k1 +k2 ) s( t) + 1 α s(t) ( u(t) ) +(θ 1θ · 1 +θ 2θ · 2 ) ≤ 1 α ( g( y, t) +λf(x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 (t) +k1 +k2 ) s( t) -γη s( t) +( θ1 θ · 1 + θ2 θ · 2 ) = θ1 g(y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 ( t) s( t) +θ2 s( t) -γη s( t) +( θ1 θ · 1 + θ2 θ · 2 ) = (θ 1 - θ1 ) g(y, t) +λf(x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 (t) s(t) +(θ 2 - θ2 ) s(t) -γη s(t) +( θ1 θ · 1 + θ2θ · 2 ) = ( 1 -γ) g( y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 ( t) θ 1 +θ 2 s( t) ≤ ( 1 -γ)θ 20 s(t) ≤ -ω( t)≤0 ( 16) 式中, ω(t) =(γ-1) θ 20 s( t) .将式 ( 16)两边从 0 到 t积分, 得 V( 0) ≥V( t) + ∫ t 0 ω( τ) dτ ( 17) 由式 ( 17)可知, V( 0) -V( t) ≥0 是有界的, 因此 tl※im∞ ∫ t 0 ω(τ)dτ存在且有界.根据 Barbalat引理, 可知 tl※im∞ ∫ t 0 ω( τ)dτ=tl※im∞ ∫ t 0 (γ-1) θ 20 s( τ) dτ=0 ( 18) 即 s( t) =0.此意味着误差系统轨线将收敛到滑模 面 s( t) =0.证毕. 显然, 本文所设计的控制器无需扇区非线性输 入函数的先验信息, 这在实际中是非常重要的, 也 是本文与文献[ 11--15]的最大区别所在.从定理 1 可以看出, 该控制器不受系统未建模动态或未知结 构等不确定性以及外部干扰的影响, 因此具有很强 的鲁棒性 . 注 2:由于在滑模控制器 ( 13)中含有不连续的 符号函数 sgn(·), 这会使得滑模控制出现抖振, 可 · 809·

。810 北京科技大学学报 第32卷 能会降低系统性能或导致系统不稳定.可采用连续 >1此时，若比例因子入=一1经稍许变化，控 9 函数Ⅱ￥十逼近符号函数·人此时控制 制器可与文献[13-14所设计的控制器相一致，即 文献[13-14所研究的情况是本文的特殊情况 器相应地变为 W9=-7 3仿真研究 9 考虑如下具有扇区非线性输入的不确定主从 +时9+e (19 Duffing Hom es系统： 式中，e为一个非常小的正常数. X(9=( 注3如果不确定项和外部干扰的界是已知的， $(9=-PX-p竖-}+9cO℉w9 (24) 则设计如下的控制器和自适应更新规则： 和 Y9=-Y19y9十λfx9|+ Y(9=(9 亨9e:(++月商力20 名(9=-gX-Py-月+qo9w9+(25) △4y9+d(9+中(4) 式中，△平y是不确定项，d9代表外部干扰.当 0航=19)j+入(x川+ 选取R=-1P-0.254=0.3W=1和P=-1.1 宫9，(++书 19↓0>0(21) P=03q=0.4W=1.1时，主系统(24)和从系 统(25)处于混沌状态1.运用四阶RungeKuta法 可使误差系统轨线收敛到滑模面予=0 进行仿真，步长选为0001.其中，选择S=5Y= 注4如果扇区非线性函数是己知的，此时情形 5e=0.01非线性输入中((9)=[0.6十 更为简单，设计如下的控制器和自适应更新规则： 0.3sY9]Y方△8(y9=0.1sm叫Y+￥b q9-a 1gy)十入x|+ d=0.20π美.初始条件为[￥(0)李(0)]= [11,[X(0)￥(0]=[22和[0(0) 89) (22) (0]=[0.50.2].图2和图3分别给出了入= 一1和入=0.5时主从系统状态、同步误差随时间t 0i=1￥9l0m>0 (23) 的响应曲线.从图中可以看出本文所设计的控制器 可使误差系统轨线收敛到滑模面？9=Q其中， 获得了满意的同步效果 (a) (c) 2 10 图2入=一1时主从系统状态（日、同步误差曲线(9 Fg 2 Smtes of hemaster shive systm (a b)and snchronization erors(c whe=-1 (a) 图3入=一Q5时主从系统状态（日同步误差曲线(9 F号3 Smes of themaster skve sysim (a b and nchronization erors(whe=05

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 能会降低系统性能或导致系统不稳定.可采用连续 函数 s( t) ‖ s( t) ‖ +ε 逼近符号函数 sgn(· ), 此时控制 器相应地变为 u(t) =-γ g( y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 (t) θ 1 +θ 2 s(t) ‖ s(t)‖ +ε ( 19) 式中, ε为一个非常小的正常数. 注 3:如果不确定项和外部干扰的界是已知的, 则设计如下的控制器和自适应更新规则: u(t) =-γ g(y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 (t) +k1 +k2 θ 1 sgn( s( t) ) ( 20) θ · 1 = g( y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 ( t) +k1 +k2 s(t) , θ 10 >0 ( 21) 可使误差系统轨线收敛到滑模面 s( t) =0. 注 4:如果扇区非线性函数是已知的, 此时情形 更为简单, 设计如下的控制器和自适应更新规则: u( t) = 1 α g(y, t) +λf( x, t) + ∑ n-1 i=1 ciei+1 ( t) +γθ 1 sgn(s(t) ) ( 22) θ · 1 = s(t) , θ 10 >0 ( 23) 可使误差系统轨线收敛到滑模面 s( t) =0.其中, γ>1.此时, 若比例因子 λ=-1, 经稍许变化, 控 制器可与文献 [ 13--14]所设计的控制器相一致, 即 文献 [ 13--14] 所研究的情况是本文的特殊情况. 3 仿真研究 考虑如下具有扇区非线性输入的不确定主从 Duffing-Holmes系统: x﹒1 ( t) =x2 ( t) x﹒2 ( t) =-p1 x1 -px2 -x 3 1 +qcos( wt) ( 24) 和 y﹒1 ( t) =y2 ( t) yn(t) =-p′1y1 -p′y2 -y 3 1 +q′cos(w′t) + Δg( y, t) +d2 (t) + ( u( t) ) ( 25) 式中, Δg( y, t)是不确定项, d(t)代表外部干扰 .当 选取 p1 =-1, p=0.25, q=0.3, w=1和 p1′=-1.1, p′=0.3, q′=0.4, w′=1.1时, 主系统 ( 24)和从系 统 ( 25)处于混沌状态 [ 13] .运用四阶 Runge-Kutta法 进行仿真, 步长选为 0.001.其中, 选择 c1 =5, γ= 5, ε=0.01, 非线 性输入 ( u( t) ) =[ 0.6 + 0.3sin( u(t) ) ] u( t), Δg( y, t) =0.1sin( y1 +y2 ), d(t) =0.2cos(πt).初始条件为 [ x1 ( 0) x2 ( 0) )] = [ 1 1], [ y1 ( 0) y2 ( 0 )] =[ 2 2] 和 [ θ 1 ( 0) θ 2 ( 0)] =[ 0.5 0.2] .图 2和图 3分别给出了 λ= -1和 λ=0.5时主从系统状态 、同步误差随时间 t 的响应曲线.从图中可以看出本文所设计的控制器 获得了满意的同步效果 . 图 2 λ=-1时主从系统状态 ( a, b) 、同步误差曲线 ( c) Fig.2 Statesofthemaster-slavesystem ( a, b) andsynchronizationerrors(c) whenλ=-1 图 3 λ=-0.5时主从系统状态 ( a, b)、同步误差曲线 ( c) Fig.3 Statesofthemaster-slavesystem ( a, b) andsynchronizationerrors(c) whenλ=0.5 · 810·

第6期 王健安等：具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影同步 811 ping control Chaos Solirns F raaals 2006 29(2):490 4结论 8]LiX C Xu W.Xiao YZ Adaptive slidemode control for a ckss of chaotic syskms wit pertubations Acta Phys Si 2008 57 本文研究了一类具有未知扇区非线性输入的不 (8):4721 确定主从混沌系统的投影同步问题.通过设计自适 (李秀春，徐伟，肖玉柱.一类受扰混沌系统的自适应滑模控 应同步滑模控制器，实现了其投影同步.该控制器 制.物理学报.20⑧57(8)：4721) 不需要任何扇区非线性输入函数的先验信息，且不 【9 Lin J$Ya JJ Adaptive snchronization for wo dentical您er 受系统未建模动态或未知结构等不确定性以及外部 alized Lorenz chaotic systems via a single contoller Non linear 干扰的影响，具有很强的鲁棒性.仿真结果验证了 AnalRealWorHAP]2009 10(2):1151 所设计控制器的有效性. 10 Yan J J HungM I.ChiangTY et al Robust synchonization of chaotic systms via adaptive sld ingmode control PhysLett A 参考文献 2006356(3):220 I]Pecora LM CarollTL Synchonization in chaotic sysem Phys 11]YauH T Ya J J Desgn of sliding mode ont roler prLornz chaotic sstem with nolinear input Chaos Solins Fracta s Rev Le4199064(8):821 【】Efmov DV Dyamn ical adptive snchmnizat知nt J Adaptive 200419(4):891 ContolSgm 1 Proce 2006 20(9):491 【l2 Hu J ZhangQ】Adaptive synchronizat知of uncenanLiu sys [3 YassenMT Controlling chaos and synchonizaton prnew chaotic m va nonlnear input Chin Phys B 2007,17(2):503 systm using lnear feedback contol Chaos Solitons Fracta ls [13 W angX Y.Liu M Slingmode control for the synchronizatin ofm aster slave chaotic systems with sec oor non linear input Acta 200526(3):913 【4Zhg」LiC ZhangH B etal Chaos synchrnization usng sn PhysSn2005.546:2584 gle variable feedback based on backstepp ngm ethod Chaos Soli (王兴元，刘明.用滑模控制方法实现具有扇区非线性输入 mns Fractals200421(5):1183 的主从混沌系统同步.物理学报，200554(6)：2584) 【习Bovang KakmenbM Konac R Chaos synchmnizaton and [14 KebriaeiH Yazdanpanah JM Robust adptive synchronization duration tme ofa class ofuncenan chaotic systems Math Comput of different uncerain chaotic systems subject o nput ron lineari Smu200671(3):212 ty Conmun Nonlinear SciNumerSmul 2010 15(2):430 [6 Chen G Lu On genenlized synchonization of pa tial chaos [1月 YauH T Yan JJ Chaos synchronizatin ofdifferent chaotic sys Chaos SolitonsFmcs 2003 15(2):311 ms subjected p nput nonlinearity ApplMath Camput 2008 【7刀刃LiG Pogctive synchronizat知of chaotic sysmm usng backste单 197(2):775

第 6期 王健安等:具有未知扇区非线性输入混沌系统的自适应滑模投影同步 4 结论 本文研究了一类具有未知扇区非线性输入的不 确定主从混沌系统的投影同步问题.通过设计自适 应同步滑模控制器, 实现了其投影同步 .该控制器 不需要任何扇区非线性输入函数的先验信息, 且不 受系统未建模动态或未知结构等不确定性以及外部 干扰的影响, 具有很强的鲁棒性 .仿真结果验证了 所设计控制器的有效性. 参 考 文 献 [ 1] PecoraLM, CarrollTL.Synchronizationinchaoticsystem.Phys RevLett, 1990, 64 ( 8) :821 [ 2] EfimovDV.Dynamicaladaptivesynchronization.IntJAdaptive ControlSignalProcess, 2006, 20( 9) :491 [ 3] YassenMT.Controllingchaosandsynchronizationfornewchaotic system usinglinearfeedbackcontrol.ChaosSolitonsFractals, 2005, 26( 3) :913 [ 4] ZhangJ, LiC, ZhangHB, etal.Chaossynchronizationusingsin￾glevariablefeedbackbasedonbacksteppingmethod.ChaosSoli￾tonsFractals, 2004, 21 ( 5) :1183 [ 5] BowongaS, KakmenibM, KoinacR.Chaossynchronizationand durationtimeofaclassofuncertainchaoticsystems.MathComput Simul, 2006, 71 ( 3) :212 [ 6] ChenG, LiuS.Ongeneralizedsynchronizationofspatialchaos. ChaosSolitonsFractals, 2003, 15 ( 2) :311 [ 7] LiG.Projectivesynchronizationofchaoticsystemusingbackstep￾pingcontrol.ChaosSolitonsFractals, 2006, 29 ( 2) :490 [ 8] LiXC, XuW, XiaoYZ.Adaptiveslidemodecontrolforaclass ofchaoticsystemswithperturbations.ActaPhysSin, 2008, 57 ( 8) :4721 (李秀春, 徐伟, 肖玉柱.一类受扰混沌系统的自适应滑模控 制.物理学报, 2008, 57 ( 8) :4721) [ 9] LinJS, YanJJ.Adaptivesynchronizationfortwoidenticalgener￾alizedLorenzchaoticsystemsviaasinglecontroller.Nonlinear AnalRealWorldAppl, 2009, 10( 2 ) :1151 [ 10] YanJJ, HungML, ChiangTY, etal.Robustsynchronization ofchaoticsystemsviaadaptiveslidingmodecontrol.PhysLettA, 2006, 356 ( 3) :220 [ 11] YauHT, YanJJ.DesignofslidingmodecontrollerforLorenz chaoticsystem withnonlinearinput.ChaosSolitonsFractals, 2004, 19 ( 4) :891 [ 12] HuJ, ZhangQJ.AdaptivesynchronizationofuncertainLiusys￾temvianonlinearinput.ChinPhysB, 2007, 17( 2 ):503 [ 13] WangXY, LiuM.Slidingmodecontrolforthesynchronization ofmaster-slavechaoticsystemswithsectornonlinearinput.Acta PhysSin, 2005, 54( 6 ):2584 (王兴元, 刘明.用滑模控制方法实现具有扇区非线性输入 的主从混沌系统同步.物理学报, 2005, 54 ( 6) :2584) [ 14] KebriaeiH, YazdanpanahJM.Robustadaptivesynchronization ofdifferentuncertainchaoticsystemssubjecttoinputnonlineari￾ty.CommunNonlinearSciNumerSimul, 2010, 15( 2) :430 [ 15] YauHT, YanJJ.Chaossynchronizationofdifferentchaoticsys￾temssubjectedtoinputnonlinearity.ApplMathComput, 2008, 197 ( 2) :775 · 811·