D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.01.003 北京钢铁学院·学·报 第9卷，第1期 Journal of Beijing University Vol.9 No.1 1987年1月 of Iron and Steel Technology Jan,1987 4 变断面张力微分方程式与 角钢连轧稳态过程仿真· 苏逢西 李杉杉 ,(压力加工系) 摘 要 严格地导出了描述多机架连轧动态的变断面张力微分方程式，并采用全量法模型 对Φ250X5十Φ300X1六机架差动调速小型连轧机组连轧5◆角钢稳态过程进行了仿 真。 关键词：张力方程.角钢连轧。稳态仿真 Tension Equation Taking Into Account the Workpiece Section Varying and the Static Process Simulation of Steel Angles Continuous Rolling' Su Fengsi Li Shanshan Abstract In this work,the tension equation taking into account the workpiece sec- tion varying along the length has been derived strictly,By the method of usi- ng the original algebraical equations which express the rolling process,the static continuous rolling process of5"steel angles forΦ250×6+Φ300×1 small bar mill has been simulated. ·中国科学院科学基金资助的课题 ..Projects Supported by the Science Fund of the Chinese Academy of sciences. 1986一04-30收稿 14
城 第 卷 ， 第 期 年 月 老 户 变断面张力微分方程乙 式与 角钢连轧稳态过程仿真 ‘ 子 啥 丫 苏逢西 李杉杉 压力加工系 摘 要 严格地导 出了描述多机架连轧动态的变断面张力微 分方程式 ， 并采用全量法模型 对 中 火 十 中 六机架差动调速小型连 轧机组连轧 角钢稳语过程进行了仿 真 。 装键词 张力方程 、 角钢连 轧 稳态仿真 二 厂 矛 ， “ ’ ， “ 五 小 “ 小 义 。 中国科学院科学基金资助的课题 二 ‘ 一 一 汝稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．01．003
ey words,tension epuationy continuous rolling of steel angles,static process simulation 前 言 ” 过程仿真是确定最优的工艺设计、连轧工艺制度以及控制系统的基础工作。型材连轧的 机、电设备与工艺因素之间形成一个相互影响系统。任一机架上调节量与干扰量的作用影响着 本架状态，并通过轧件的传递影响到其它机架，最终反映在目标量一一过程的稳定性与产 品精度上。：真实地描述这一过程要求导出变断面张力微分方程式，并开拓型材连轧过程的计 算机仿真技术。 1变断面张力微分方程式〔1〕 图1表示两机架连轧的情况：轧件速度v=v(x,t),总张力Q=Q(t),速度差引 起的张应力o导致应变e=e(x,t)。在t时刻轧件上相邻的两点x与x+△x,经△t时间后 分别到达x与x'+△x'。当△x足够小时，有 △x=〔1+e(x,t)〕△x0 △x'=〔1+e(x+v(x,t)At,t+△t))△xo △x'-△x=〔v(x+△x,t)-v(x,t))△t 所以 Ce(x+y(x,t)△t,t+△t)-e(x,t)〕=v(x+△x,t)-(x,t) △t Ax 〔1+e(x,t)〕 令△x、△t趋于0，则上式为 de (x,t)=ov(x,t)(e(x,t) dt (1) 由于 de(x t)=ge(x,t)v(x,t)+e(xt) dt ot 并且弹性变形范围内的e为103数量级，1+ε(x,t)=1,因此(1)式可整理为2) oe(x,t)+0e(x,t)v(x,t)=Ov(x,t) ot 0x 8x (2) 它描述了速度变化率与应变变化率之间的关系 x'tax ×+以 图1两机架连轧 Fig,1 Continuous rolling of two stands 15
‘ 矛 “ ， 气 卫 ， 言士 口毛 山 月 过程仿 真是确定 最优 的工 艺设计 、 连 轧工 艺制 度以及控制 系统 的基础工 作 。 型材连 轧的 机 、 电设备与工 艺因素之 间形成一 个相互影响 系统 。 任 一机架上调节量 与千扰量 的作用影响着 本架状态 ， 并通 过轧 件的传递 影响到 其它 机架 ， 最终反映在 目标量－ 过程 的稳 定 性 与 产 品精度上 。 、 真实地描述这 一过程要求 导 出变断面张 力微分方程式 ， 并开 拓 型材连 轧 过程的计 算机仿真技术 。 变断面张力微分方程式 〔 图 表示两 机架连 轧的情况 轧件速度 二 ， 总张力 二 速度 差 引 起 的张应力 导致应 变。 分别 到达 ‘ 与 ‘ △， ， 。 在 时刻轧 件上相邻 的两 点 与 △ ， 经△ 时 间 后 △ 二 当△ 足 够小 时 ， 有 〔 ， 〕 △ △ ， 二 〔 。 ， △ ， △ 〕 △ △ ， 一 △ 〔 △ ， 一 ， 〕 △ 所以 〔 吸 ， △ ， 十△ 一 。 ， 〕 △ ， 一 亏 ， △ ， 〕 则上式为 、 △ 〔 令△ 、 △ 趋于 。 ， ， 由 于 立澳李丝 〔 、 。 ， 口工 〕 已 ， ， 丫 ， 十 口已 ， 口 并且弹性变形范围 内的 为 数量级 ， 。 ， ， 因此 式可整理 为〔 〕 口已 ， 一 十 口 日 大， ， 』区全生卫 它描述 了速度变化率与应变变化 率 之 间的关 系 图 两机架连轧
v（x,t)与轧件断面积A(x,t)有关。从导数定义有 0x m（,t)=1im.(x+△x,t)-v(x,t) ax △x △X-0 =王limv(x+△x,tAt-v(x,t)△t=Ae(x,t) △t△x→0 △X ,△t 点·9六0· BE()A) A(t) 式中E为杨氏模量；A(t)、ε(t)分别为机架间距L;长度上轧件断面积与应变的平均值。 认为 )(,)-yc)AL 得到 s山.)-y()At) (t) Ox —A(x,t) (8) 式中 A(t)(dx. 由于总张力Q与x无关，有 〔0(x,t)…A(x,t)〕=A(x,t)如C,t) ax +a(x,t)BA(X,t)=0 x 加品D2,号a0D (4) 0x 0x 根据Hooke定律 0D=吉加2 Ox 8x (5) a0D=t加D at at 代(8)、(4)、(5)式入(2)式，整理后有 如欲业=，号·62D(0+品 ()-)） (6) 16
口甲 ， 与轧件断面积人 ， 亡 有关 。 从导数定义 有 口 ， 日 △ ， 二 吞 ， 一 ， △ △ 。 △戈 ， △ ， △ 一 ， △ △ ， － － 二 冲、 丁 勺 匕 、 人 ， ， 凸 △ ， 一 △ ‘ · 入 ， 丁‘ 、 了、 一 △ ， 式 中 为杨 氏模量 、 。 分别为机架 间距 ，长 度上 轧 件断面积 与应变 的平均值 。 认 为 出 · 一 ” ‘ ，， △“ 口 ， 一 ， 入 共 乡 ， 二 ， 。 ， 以 式得到中 由于总张力 与 无关 ， 有 李 〔 。 二 ， 二 ， 〕 二 ， 卜旦竺 口 毕口 止 ， 日 ， 口 口 一 ， ， 工 日 ， 口 根 据 定 律 口 ， 口 口 ， 口 一 ， 口 一 ， 口 代 、 、 式 人 式 ， 口 整理后有 口 ， 口 ， ， 口 ， ， ， ， 止上， 、 吏 一 一
因此得到机架出口处的变断面张力微分方程为 o（t)。g):A(,D dt A(t) 0x (t) 是(） (7) 当轧件断面沿L无空化有=0与不《”/”（：)1，则（7） 式退化为传统的恒断面张力微分方程 :票（瑞”） dt 下面以(7)式为基础，导出机架连轧的变断面张力微分方程组： 机架轧件出、入口速度为 、 v=v1（1+sh1) (8) (9) 前滑 (10) 式中 V.为轧辊平均线速度，μ为延伸系数； sho为无张力轧制的前滑值， C,=1+sh)C,C,=（1+sh)C(A/A"） C:、C,为前、后张力对前滑的影响系数， km为平均变形抗力。 代(8)、(9)、(10)式人(7)式，得到 dobVabVa (1 ~n-1) (11) 式中 g=a6经DA2v”，=1a=1 “是(…C,/k）8a-11 品是(C人+c/k） (-1),(j=1~n-1) 17
因此 得到 机架 出 口处 的变断面张力微分方程 为 竺兰世 二 、 三二竺互 “ ‘ ‘ ’ ， 台 ， 二 乏 … 。 · ” ‘ ” ” ‘ ， · 会 · “ ‘ ，， 一 ” · ‘ ’ ‘ ’ “ 轧件腼 沿 无变姗 ， 有型器业 二 坏 “ ’扮 。 ， 二 ‘ ， ’ “川 式退化 为传统 的恒断面张力微分方程 ‘ ， ， ， ‘ 、 ， ‘ ， 、 ， 川 ‘ ， 、 一一 一一 ‘ ‘ 一 一一 一一 二 － ， 、 、 ‘ ， ’ 、 ‘ ， ， 下面 以 式为基础 ， 导 出 机架连 轧 的变断面 张力微分方程组 机架 轧 件 出 、 入 口速度为 ，， ， ， ， 、 ’ ‘ ’ 。 ， 前滑 式 中 ，二 ， ， ” 。 一 ， 一 卜 为轧辊平均线速度 ， 卜为延 伸系数， 。 为无张力轧制 的前滑值 ， 。 ， ， ，二 。 ， 、 丫 ‘ ’ ，、 为前 、 后张力对前滑 的影响 系数， 二 为平均变形抗力 。 、 式 人 式 ， 得到 一 “ 一 亡 ， ， ， 。 ， ， ， ， 二 式 中 ，。 ” 口 ， ， 、 ， 一 ， 一 ， 。 大 一 少 ‘ ’ “ 一 ， ， 里上 ” ， · ，· ， 二 ， ，一 、 一 ， ， 命 会 ‘ 一 】 一 ‘ 一 ， 卜 一 一 ， 一
6e=号(c,/1k1）(i=1a-2): b（1+)A是，(=1a-1): b=1tD},g=1a-1。 μ1+1 A 为便于表达，将方程组(11)写成矩阵形式 a =Go+Agq+BaVR (12) dt 式中 G0=(g1,g20,…,ga-1,0)7, g12 g13 g21 g22 g23 A= g31 g32 g a bai2 ba21 B。= D a 3 —baa-11 Vn=(VEi,VR:,",Van )T 对连轧过程的稳态，有是=0与G0=0,则（12)式退化为 A9q=-BaVR (13) 式中 A,/A=1。 当张应力为0时，(12)式退化为秒流量相等式 BaVR=0 (14) 2角钢连轧稳态过程仿真 考虑到：①受孔型侧壁约束的展宽模型以及由压杆稳定条件所描述的机架间堆应力模型 都是分段函数，存在一阶导数不连续的间断点，不能将描述稳态过程的非线性方程组简化成 一阶泰勒展开的增量形式模型；②调节量与干扰量引起过程状态较大变动时，增量形式模型 18
、 。 尹 不 扮 厄丁丫 “ ， ，“ 勺 ‘ ， ，‘ ， 。 ， 二 ， ， 。 一 。 、 一 生」一 旦匕 ” ， 一 ， ， ， ， 件， ，’ 卫上 ， 一 。 为便 于表达 ， 将 方程组 写成矩 阵形式 “ 。 犷 。 昌 ， ’ ‘ ’ 卜 ， ， ， ， 二 ， 。 一 ，， 一 。 … 昌 一 ， ， 一 ， 。 丑 孟 。 。 。 － 。 二 ， ， 。 。 ， ， ， 百产护、、产了 、、 。 ，， ， … ， 对连 轧过程 的稳态 ， 去， 曰 一下汽一 ， 则 式退化为 月 一 愁 仄 式 中 当张应 力为 。 时 ， 式退化 为秒 流量 相等式 角钢连轧稳 态过程仿真 考虑到 ①受孔型侧 壁 约 束 的展 宽模型 以 及 由压杆稳定条件所描述 的机架 间堆应力模型 都 是 分 段 函 数 ， 存 在 一 阶导 数不连 续 的 间断 点 ， ‘ 不能将描述 稳态 过程 的非线性方程组简化成 一 阶泰 勒 展开 的增量 形式 模型 ②调 节量 与干扰量引起过程状态较大变 动时 ， 增量形式模型