要解决存在性问题,即对[a,b上 的连续函数f(x),是否存在多项 式Pn(x)一致收敛于f(x)?维尔 斯特拉斯( Weierstrass)给出了下 面定理: 定理1设f(x)∈C[a,b],则 对任何E>0,总存在一个代数多 项式P(x),使 f(x)-P(x)。<E 在[a,b]上一致成立。 证明:略。(伯恩斯坦构造性证明) 假定函数的定义区间是10,1 可通过线性代换:=(b-a)x+a
要解决存在性问题，即对 [a,b] 上 的连续函数 f (x) ，是否存在多项 式 P (x) n 一致收敛于 f (x) ？维尔 斯特拉斯（Weierstrass）给出了下 面定理： 定理 1 设 f (x) C[a,b] ，则 对任何 0 ，总存在一个代数多 项式 P(x) ，使 − f (x) P(x) 在 [a,b] 上一致成立。 证明：略。（伯恩斯坦构造性证明） 假定函数的定义区间是[0,1], 可通过线性代换： t b a x a = − + ( )
把x∈[O,1映射到t∈[a,b]。 对给定的∫(x)∈C[O,1,构 造伯恩斯坦多项式此为n次多项 式 Bn(,x)=∑ k k=0 其中(+)(nx2(-x)k k ∑P(x)=1 k=0 这不但证明了定理1,而且给 出了f(x)的一个逼近多项式 B(,x)。多项式Bn(f,x)有良好 的逼近性质,但它收敛太慢,比三
把 x[0,1] 映射到 t a b [ , ] 。 对给定的 f x C ( ) [0,1] ，构 造伯恩斯坦多项式,此为 n 次多项 式: ( , ) ( ) 0 P x n k B f x f k n k n = = ； 其中 k n k k x x k n P x − − ( ) = (1 ) ，且 0 ( ) 1 n k k P x = = 这不但证明了定理 1，而且给 出 了 f (x) 的 一 个 逼 近 多 项 式 ( , ) B f x n 。多项式 B ( f , x) n 有良好 的逼近性质，但它收敛太慢，比三
次样条逼近效果差得多,实际中很 少被使用。 §2最佳一致逼近多项式 2-1最佳一致逼近多项式的存在 性 切比雪夫从另一观点研究 致逼近问题,他不让多项式次数 趋于无穷,而是固定n,记次 数小于等于n的多项式集合为 显然 h cCla,b]。记 Span ,x,…x是[a,b上一组线性无 关的函数组,是H中的一组基
次样条逼近效果差得多，实际中很 少被使用。 §2 最佳一致逼近多项式 2-1 最佳一致逼近多项式的存在 性 切比雪夫从另一观点研究一 致逼近问题，他不让多项式次数 n 趋于无穷，而是固定 n ，记次 数小于等于 n 的多项式集合为 Hn ，显然 H C[a,b] n 。 记 {1, , , }n H span x x n = , n 1, x, , x 是 [a,b] 上一组线性无 关的函数组，是 Hn 中的一组基
H中的元素P(x)可表示为 P(x)=a0+a1x+…+anx 其中a0,a1,…,an为任意实数。要 在H1中求P(x)逼近 f(x)∈CIab],使其误差 maxIf()-P(x)=min maxf(x) a<xsb Pn∈Hna≤x≤b 这就是通常所谓最佳一致逼近或 切比雪夫逼近问题。为了说明这 概念,先给出以下定义。 定 义 P2(x)∈Hn(x)∈CIab,称
Hn 中的元素 P (x) n 可表示为 0 1 ( ) n P x a a x a x n n = + + + ， 其中 n a , a , , a 0 1 为任意实数。要 在 Hn 中 求 ( ) * P x n 逼 近 f (x) C[a,b] ，使其误差 max ( ) ( ) min max ( ) ( ) * f x P x f x P x n P H a x b n a x b n n − = − 这就是通常所谓最佳一致逼近或 切比雪夫逼近问题。为了说明这一 概念，先给出以下定义。 定 义 1 P (x) H , f (x) C[a,b] n n ，称