ABCL A,B2 C2 而在直角坐标系下，两直线与2的交角为 cos∠(4l2)=± 44,+BB 42+B24+B22 从而有 g<(44)=±4B-A,B AA,+BB, 例4一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点的轨迹 图2-4 解 取直角坐标系，设 半径为的圆在x轴上滚动， 开始时点P恰好在原点O(图2-4) 经过一段时间的滚动，圆与直线的切点移到A点， 圆心移动到C的位置， 这时有 r=OP=0A+AC+CP 设0=·(CP,CA),于是矢量CP对轴所成的有向角为 ▣(，。-(+a)
则 Cp_ios+jawin0) 2 =(-asine)i+(-acos0)j. 又 :0A- =a0 .OA=a0i,AC=aj, 所以r=a(8-sin0)i+a(I-cos0)j是P点的轨迹的向量式参数方程，其 中B(-0<0<+0)为参数.设P点的坐标为（化，y),那么由 r=a(0-sinO)i+a(1-cos0)j容易得P点的坐标式参数方程为 （x=a(0-sin9(-n<0<+o) y=a(1-c0s0), 取0≤B≤π时，消去参数0，便得到P点的轨迹在0≤8≤π时的普通方程 x=aarccos- -y-V2a心y-y. x=a(e-sin), -0<0<+0) 这个方程要比参数方程y=a(1-cos), 复杂得多， 当这个圆在直线上每转动一周时，点P在圆周前后的运动情况总是相同 的，因此曲线是由一系列完全相同的拱形曲线组成（图2-5），这种曲线叫做 旋轮线或称为摆线， 图2-5
例5（内旋轮线）已知大圆半径为a,小圆半径为6，设大圆不动，而小 圆在大圆内无滑动的滚动，求动圆周上某一定点P的轨迹。此时动点的轨迹 叫做内旋轮线（或称内摆线）· 解：设运动开始时，动点P与两圆切点A重合，取大圆心0为原点，OA 为X轴建立坐标系（图26）， 图26 经过某一个过程后，两圆切于B点，动圆心到C点，则C在OB上。 7=OP=0元+C2设8=L6,0C 则OC=a-bcos+im8D又设p=∠CP,C8,因为弧AB=孤BP a8=bp→p=2日 ∠d,=-(p-)=日-p= b-a日 所以 而 b p=bcosa-色i-bsma-bj 故 5 b i=a-bcos8+bcos8-产明+a-)smg-bsm- (-0<8<+0o) x=acos3g 特殊地，a=4时，曲线方程为y=a如39四尖点星形式（图27）
图2-7 卧旋养图 例6（圆的渐开线，切展线）把线绕在一个固定圆周上，将线头拉紧后向反 方向旋转以把线从圆周上解开，放出来的线成为圆的切线，求线头的轨迹。 解：设圆半径为R,线点的起始位置为A点，以圆心0为原点，OA为x轴建 立坐标系，经过一段时间后，切点移至B点，BP为切线（图28）。 r=0P=0B+BP,设∠，)=日， 则 OB=Rcos乐+sim9),而 丽={任- BPAB=R0.BP-ROcos(0-T)i+Rosin(0 =R(cos0+0sin 0)i+R(sin 0-0cos x=R(cos日+日sinθ) 0≤8<+o0 y=R(simn日-9cos8) 图2-8 曲线的参数方程，是解析几何联系实际的一个重要的工具，有时候运用