设A是的一个开覆盖，则对于 每一个A∈A存在X中的一个开 集U,使得A=U⌒Y 从而A={UIA∈A}是由X中的开 集 构成的Y的一个覆盖玩以有士个 有限子覆盖，设为…，4}
设A 是Y的一个开覆盖，则对于 每一个 存在X中的一个开 集 ,使得 . 从而 是由X中的开 集 构成的Y的一个覆盖,所以有一个 有限子覆盖，设为 易见A 的子族 覆盖Y. A A UA A U Y = A A = { | A } U A A 1 { , , } A An U U 1 { , , } A A n
定义7.1.3设A是一个集 族.如果A的每一个有限子族都 有非空的交（即如果A,是A的一 个有限子族，则∩ A≠中)， A∈A 则称A是一个具有有限交性质 的集族
定义7.1.3 设A 是一个集 族．如果A 的每一个有限子族都 有非空的交(即如果 是A 的一 个有限子族,则 )， 则称A 是一个具有有限交性质 的集族． A1 A A 1 A
定理7.1.2 设X是一个拓扑 空间.则X是一个紧致空间当 且仅当X中的每一个具有有限 交性质的闭集族都有非空的交
定理7.1.2 设X是一个拓扑 空间．则X是一个紧致空间当 且仅当X中的每一个具有有限 交性质的闭集族都有非空的交
证明设X是-个紧致空间为正明X满足定理中所陈达 的条件，设是X中的-个具有有限交性质的园集族我们要证 月ef≠，如果9=，则门F授有定义，此时当然 F=环威立下设≠如果=，令 F FE