定理7.1.1 设X是一个拓扑 空间，Y是X中的一个子集. 则Y是X的一个紧致子集当且仅 当每一个由X中的开集构成的Y 的覆盖都有有限子覆盖
定理7.1.1 设X是一个拓扑 空间，Y是X中的一个子集． 则Y是X的一个紧致子集当且仅 当每一个由X中的开集构成的Y 的覆盖都有有限子覆盖．
X Y
Y X
证明：必要性设Y是拓扑空间X中 的一个紧致子集，A是的一个覆盖 它由X中的开集构成， 则A={40Y4∈A)也是Y的一个覆 盖且由Y中的开集构成.由于Y是x的一 个紧致子集，从而A有一个有限子覆 盖，设为{4⌒Y,4∩Y,…,An∩)
证明：必要性 设Y是拓扑空间X中 的一个紧致子集，A 是Y的一个覆盖， 它由X中的开集构成． 则 也是Y的一个覆 盖且由Y中的开集构成.由于Y是X的一 个紧致子集,从而 有一个有限子覆 盖,设为 . A = { A} A Y A | A 1 2 { , , , } A Y A Y A Y n
故A有限子族{A,A2,…,An} 覆盖Y. 充分性设每一个由的开集 构成的Y的覆盖都有一个有限子 覆盖
故A 有限子族 覆盖Y. 充分性 设每一个由X的开集 构成的Y的覆盖都有一个有限子 覆盖. 1 2 { , , , } A A A n
X Y
Y X A