从这个例子应该特别注意到，正如傅里叶变换不是对所有信号都收敛一样，拉普拉斯变 换也可能对某些{s}值收敛，而对另一些象{s{则不收敛。在(9.13)式中，该拉普拉斯变换 仅对a=%s}>一a收敛，如果a为正值，那么，X(s)就能在a=0求值，而得到 X(0+jw)=1 (9.15) jw a 如(96)式所指出的，对于5=0，拉普拉斯变换就等于傅里叶变换，这只要将(9.9)式和 (9,15)式比较一下就能看出。如果a是负的或为零，拉普拉斯变换仍然存在，但傅里叶变换 却不存在
例9.2为了与例9.1相比较，现考虑第二个例子。信号x(t)为 x(t）=-eu(-t) (9.16) 那么 Xg）=-eue4(-t)d =-。*aira (9.17) 或者 X(s)=-1 s+a (9.18) 对这个例子，为保证收敛，则要求见{s+a<0,或者家{s{<一a,这就是说 -e0u(-产十。，g s+a l}<-a (9.19)
比较一下(9.14)式和(9.19)式可见，对例9.1和例9.2中的两个信号，它们的拉普拉斯 变换代数表示式都是一样的；然而，这个代数表示式能成立的s域却是大不相同的。这就说 明，在给出一个信号的拉普拉斯变换时，代数表示式和该表示式能成立的变量s值的范围都 应该给出。一般把使积分(9.3)式收敛的5值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域，特简记作 ROC。也就是说，ROC是由这样一些s=。+jw组成的，对这些s来说，x(t)e的傅里叶变 换收敛。随着我们深入讨论拉普拉斯变换的性质，关于RO℃将有更多的话要说。 表示收敛域ROC的一个方便的办法是如图9.1所示。变量s是一个复数，在图9.1上展 示出的复平面，一般就称为与这个复变量有关的s平面。沿水平轴是现s}轴，垂直轴是 As轴，水平轴和垂直轴有时分别称为a轴和jw轴。图9.I(a)的阴影部分就是对应于例 9.1的收敛域；而图9.1(b)的阴影部分指出了例9.2的收敛域
n Jm 8平面 3平浙 .1 a e 1-a Re ! (a) ) 图y.1（a)例9.1的：〈b)例9.2的RC
例9.3本树考虑的信号是两个实指数信号的和，即 x(t)=3e u()-2eiult) (9.20 于是其拉普拉斯变换的代数表示式为 X(s)-[3e2u(）-2e(t)1e￥dh =3e2eu(1)dt-2eeu(t)ds (9.21) (9.21)式中的每个积分式都与(9.10)式的积分式具有相同的形式，这样就能利用例9.1的结果而 得到 X)=32 s425+1 (9.22) 为了确定它的ROC,我们注意到，因为x(t)是两个实指数信号的和，而由(9,21)式可知，X(s}是 单独每一项的拉普拉斯变换之和。第一项是3e2“u(t)的拉普拉斯变换，前第二项是一2eu(t)的 拉普拉斯变换。由例9,1知道 eue2,+1r {s|>-1 e 2u(t)1 5+2 3{s>-2 于是，使这两项拉普拉斯变换都收敛的那些观{s}值的集合就是界s>-1,这样把(9,2)式右边 这两项合起来，就得到 3e2u(t）-2e(t)+ s-1 2+3s+2 现{s}>-1 (9.23}