§3.3连续性方程 3.3.连续性微分方程 在流场中任取微元直角六面体 ABCDEFGH作为 控制体。设流体在该六面体形心0(x、y、z)处 的密度为p,速度 A 为u。根据泰勒级数 H 展开,可得轴方向 的速度和密度变化 g c, c da, d dx 如图所示。 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 16 §3.3 连续性方程 3.3.1 连续性微分方程 在流场中任取微元直角六面体ABCDEFGH作为 控制体。设流体在该六面体形心O΄（x、y、z）处 的密度为ρ，速度 为u。根据泰勒级数 展开，可得x轴方向 的速度和密度变化， 如图所示
在x轴方向,单位时间流进与流出控制体的流体质量 差 (pu dx (pu dx n= ux dydz- pu,+ ar 2 dydz=-o(ol 同理,在y、z轴方向 △m.= dvds dxdydz 单位时间流进与流出控制体总的质量差 △m.+△m,+△m.= (ou,),a(pu, ).a(pu 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 17 在x轴方向，单位时间流进与流出控制体的流体质量 差 同理，在y、z轴方向 单位时间流进与流出控制体总的质量差 ( ) ( ) ( ) dydz dydz 2 2 x x x x x x u u u dx dx m u u dxdydz x x x = − − + = − ( y ) y u m dxdydz y = − ( z ) z u m dxdydz z = − ( x z ) ( y ) ( ) x y z u u u m m m dxdydz x y z + + = − + +
由于控制体的体积固定不变,所以,流进与流出 控制体的总的质量差只可能引起控制体内流体密度 发生变化。由密度变化引起单位时间控制体内流体 的质量变化为 + op dxdydz-pdxdvd-=ap 根据质量守恒定律,单位时间流进与流出控制体的 总的质量差,必等于单位时间控制体内流体的质量 变化。即 a(ou)apu, a(pu dxdyd= op dxdydz z 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 18 由于控制体的体积固定不变，所以，流进与流出 控制体的总的质量差只可能引起控制体内流体密度 发生变化。由密度变化引起单位时间控制体内流体 的质量变化为 根据质量守恒定律，单位时间流进与流出控制体的 总的质量差，必等于单位时间控制体内流体的质量 变化。即 dxdydz dxdydz dxdydz t t + − = ( u u x z ) ( uy ) ( ) dxdydz dxdydz x y z t − + + =
化简得 0(m)m),am)20 Ot Ox 些式即为可压缩流体的连续性微分方程。 几种特殊情形下的连续性微分方程 ①对恒定流,上式可简化为 O ②对不可压缩均质流体,p为常数,上式可简化为 对二维不可压缩流体,不论流动是否恒定,上式可简 化为 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 19 化简得 此式即为可压缩流体的连续性微分方程。 几种特殊情形下的连续性微分方程 ① 对恒定流，上式可简化为 ② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为 对二维不可压缩流体，不论流动是否恒定，上式可简 化为 ( ) ( ) ( ) = 0 + + + z u y u x u t x y z ( ) ( ) ( ) = 0 + + z u y u x ux y z = 0 + + z u y u x ux y z 0 x y u u x y + =
③柱坐标系下,三维可压缩流体的连续性微分方程 为 ap a(pu a()a( 0 rae 式中:u为径向分速;u为周向分速;u2为轴向分 速。 对不可压缩均质流体,上式可简化为 du u 0 Or rae az r 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 20 ③ 柱坐标系下，三维可压缩流体的连续性微分方程 为 式中：ur为径向分速；uθ为周向分速；uz为轴向分 速。 对不可压缩均质流体，上式可简化为 ( r ) ( ) ( ) r 0 t r r r z u u u u z + + + + = r r u 0 r r r z u u u z + + + =