运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 案例四:投资基金最佳使用计划 案例概述: 某校基金会有一笔数额为M元的基金,打算将其存入银行或购买国库券。 当前银行存款及各期国库券的利率见表1。假设国库券每年至少发行一次,发 行时间不定。取款政策与银行的现行政策相同,定期存款不提前取,活期存款 可任意支取。 校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生,要求每年的奖金额 大致相同,且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用 计划,以提髙每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方 案,并对M=5000万元,n=10年给出具体结果: 只存款不购国库券 可存款也可购国库券。 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆,基金会希望这一年的 奖金比其它年度多20% 表 当前银行存款及各期国库券的利率 银行存款税后年利率(%) 国库券年利率(%) 0.792 半年期 1.664 年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14 第1页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 1 页 共 15 页 案例四：投资基金最佳使用计划 案例概述： 某校基金会有一笔数额为 M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。 当前银行存款及各期国库券的利率见表 1。假设国库券每年至少发行一次，发 行时间不定。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款 可任意支取。 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额 大致相同，且在 n 年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用 计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方 案，并对 M=5000 万元，n=10 年给出具体结果： 1． 只存款不购国库券； 2． 可存款也可购国库券。 3． 学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的 奖金比其它年度多 20%。 表 1 当前银行存款及各期国库券的利率 银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%） 活期 0.792 半年期 1.664 一年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 案例求解: 这是一个有多种投资方案的优化投资问题。问题的要求是如何进行组合投资,使每年学校奖励优秀 师生的奖金尽可能多,且保证n年未仍保留原基金数额。因此,我们可以用线性规划来处理这个问题 模型假设 1、基金是在计划期第一年的1月1日到位,且n年内基金数额不再追加。我们把这一年作为问题讨论的 2、从第二年开始每年的1月1日发奖金一次。且第(n+1)年的1月1日发第n年的奖金(第一年年初 不发)。 3、基金的每种使用方式是相互独立的,定期存款和国库券不能提前支取。 4、在计划期的n年中存款利率和国库券利率不变。 5、银行存款及国库券不以复利来计算利息。 6、假设购买国库券只能在发行的当月购买,且发行当月的任何一天购买收益率相同,即在当月的第1 天和最后1天购买收益率一样。 7、国库券每次发行时是三种利率的国库券都发行。 三、变量说明 M表示基金的总额(单位:万元) y表示每年的奖励师生的奖金额单位:万元) 表示第i年对第j种存款方式的投资额(第j种存款方式表示j年期定期存款 单位:万元) p1表示i年期定期存款利率 Pb表示半年期定期存款利率 P表示活期存款利率 四、问题一:只存款不购国库券的的情况 1、问题分析 由于我们假设每年发奖金的时间在1月1日,第n+1年的1月1日发第n年的奖金,而半年期和活 期存款利率比较低,因此我们可以推断在此种情况下,半年期和活期存款投资方式不可能被采用,而只 能采用一年期、二年期、三年期和五年期存款投资方式。十年的投资情况如下表2所示。例如表中ⅹ1 表示第一年对一年期定期存款式的投资额,一年后其本利和为1018x1;x1表示第二年对二年期定期存 款的投资额,二年后其本利和为1.03888X12,其余类似 2、模型的建立 建立模型的原则是:每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年初 发放的奖金(第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金,第三年为第二年末能收回的本 利和减去当年初发放的奖金,其余类似,而第一年的可用投资额为M万元)。每年的资金在发放完奖金 后又继续选择合适的几种存款方式投资 (1)考虑每年奖金额相等的情况 计划期为n年的一般模型: 第2页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 2 页 共 15 页 案例求解： 这是一个有多种投资方案的优化投资问题。问题的要求是如何进行组合投资，使每年学校奖励优秀 师生的奖金尽可能多，且保证 n 年未仍保留原基金数额。因此，我们可以用线性规划来处理这个问题。 二、模型假设 1、 基金是在计划期第一年的 1 月 1 日到位，且 n 年内基金数额不再追加。我们把这一年作为问题讨论的 第一年。 2、 从第二年开始每年的 1 月 1 日发奖金一次。且第（n+1）年的 1 月 1 日发第 n 年的奖金（第一年年初 不发）。 3、 基金的每种使用方式是相互独立的，定期存款和国库券不能提前支取。 4、 在计划期的 n年中存款利率和国库券利率不变。 5、 银行存款及国库券不以复利来计算利息。 6、 假设购买国库券只能在发行的当月购买，且发行当月的任何一天购买收益率相同，即在当月的第 1 天和最后 1 天购买收益率一样。 7、 国库券每次发行时是三种利率的国库券都发行。 三、变量说明 M 表示基金的总额 （单位：万元） y 表示每年的奖励师生的奖金额 （单位：万元） x ij 表示第 i 年对第 j 种存款方式的投资额（第 j 种存款方式表示 j 年期定期存款， 单位：万元） pi 表示 i 年期定期存款利率 pb 表示半年期定期存款利率 ph 表示活期存款利率 四、问题一：只存款不购国库券的的情况 1、问题分析 由于我们假设每年发奖金的时间在 1 月 1 日，第 n+1 年的 1 月 1 日发第 n 年的奖金，而半年期和活 期存款利率比较低，因此我们可以推断在此种情况下，半年期和活期存款投资方式不可能被采用，而只 能采用一年期、二年期、三年期和五年期存款投资方式。十年的投资情况如下表 2 所示。例如表中 x11 表示第一年对一年期定期存款式的投资额，一年后其本利和为 1.018x11；x12 表示第二年对二年期定期存 款的投资额，二年后其本利和为 1.03888x12，其余类似。 2、模型的建立 建立模型的原则是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年初 发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的本 利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为 M 万元）。每年的资金在发放完奖金 后又继续选择合适的几种存款方式投资。 （1） 考虑每年奖金额相等的情况 计划期为 n 年的一般模型：
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 nax J x1+x12+x13+x15=M x21+x2+x23+x23=(+p1)x1-y (+2p2)x2+(1+p1)x21-y x41+x2+x43+x5=(1+3p3)x1+(1+2p2)x2+(1+p1)x1-y (第四年的约束) x31+x2+x3+x5=(+3p)x2+(1+2p2)x2+(+p1)x1-y x+x2+x3+x5=(+5P5)-5+(+3p3)x-3+(+2P2)x(-2)2 (1+ xin-3n1+xn-3r2+xn-33=(1+5ps xim-815+(1+3p kn-613+(1+2p= )n-512+(1+ p,)Ixmn-4l-y m2+xm23=0+5pxm-5+(+3p)xms+(+2P2)xm2+(1+p1)x--y xnm+xm12=(+5p)xns+(+3p3)xm3+0+2p2)xan2+(+p1)xan2n-y xn=(+5p,)x-5+(1+3p:kxn=3+(+2p2)xm2+0+p1)xanm-y +5pskx(n-4)5+(+3p3x(m-23+(+2p2x(n-12+(+p1kn-y=M xn≥0i=1,23.nj=12,3,5y≥0n≥5 第3页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 3 页 共 15 页 max y x11 + x12 + x13 + x15 = M x + x + x + x = ( ) + p x − y 21 22 23 25 1 1 11 x + x + x + x = ( )( ) + p x + + p x − y 31 32 33 35 1 2 2 12 1 1 21 x + x + x + x = ( )( ) + p x + + p x + ( + p )x − y 41 42 43 45 1 3 3 13 1 2 2 22 1 1 31 （ 第四年的约束 ） x + x + x + x = ( )( ) + p x + + p x + ( + p )x − y 51 52 53 55 1 3 3 23 1 2 2 32 1 1 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 5 5 5 3 3 3 2 ( ) 2 2 1 5 1 3 1 2 i + i + i + i = + i− + + i− + + i− x x x x p x p x p x ( ) 1 ( ) ...6 4 + + p1 x i−1 1 − y ≤ i ≤ n − ( ) ( ) ( ) ( 3)1 ( 3)2 ( 3)3 5 ( 8)5 3 ( 6)3 2 ( 5)2 1 5 1 3 1 2 n− + n− + n− = + n− + + n− + + n− x x x p x p x p x ( p ) x y + 1+ 1 1 (n−4)1 − ( ) ( ) ( ) ( 2)1 ( 2)2 ( 2)3 5 ( 7)5 3 ( 5)3 2 ( 4)2 1 5 1 3 1 2 n− + n− + n− = + n− + + n− + + n− x x x p x p x p x ( p )x y + 1+ 1 (n−3)1 − x x ( p )x ( p )x ( p )x ( p )x y (n−1)1 + (n−1)2 = 1+ 5 5 (n−6)5 + 1+ 3 3 (n−4)3 + 1+ 2 2 (n−3)2 + 1+ 1 (n−2)1 − x ( p )x ( p )x ( p )x ( p )x y n1 = 1+ 5 5 (n−5)5 + 1+ 3 3 (n−3)3 + 1+ 2 2 (n−2)2 + 1+ 1 (n−1)1 − () () ( ) 1+ 5p5 x(n−4)5 + 1+ 3p3 x(n−2)3 + 1+ 2p2 x(n−1)2 + (1+ p1)xn1 − y = M xij ≥ 0 i = 1,2,3Kn j = 1,2,3,5 y ≥ 0 n ≥ 5
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 表2只存款方式下十年的投资方案分析(表中数据是本利和) 四 五 六 七 九 十 Xn1.018x1 1.03888x1 2 1.0648x13 1.1152x15 101800x 1.03888x2 0648x 1.1152 1.01800x3 1.03888x3 35 1.1l52x3 1.01800x4 1.03888x4 1.0648x 43 叫1.1152 1.01800xs 103888x 1.0648x53 1.1152x55 1.01800x6 1.03888x 1115 01800x7 1.03888 1.06481 1.03888 1648x85 1.01800x 1.03888x 1.018 当n=10,M=5000,利率为题目中给定的利率时,模型为: 第4页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 4 页 共 15 页 表 2 只存款方式下十年的投资方案分析(表中数据是本利和) 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 X11 X12 X13 X15 1.018x1 1 1.03888x1 2 1.0648x13 1.1152x15 X21 X22 X23 X25 1.01800x2 1 1.03888x2 2 1.0648x23 1.1152x25 X31 X32 X33 X35 1.01800x3 1 1.03888x3 2 1.0648x33 1.1152x35 X41 X42 X43 X45 1.01800x4 1 1.03888x4 2 1.0648x43 1.1152x45 X51 X52 X53 X55 1.01800x5 1 1.03888x5 2 1.0648x53 1.1152x55 X61 X62 X63 X65 1.01800x6 1 1.03888x6 2 1.0648x63 1.1152x65 X71 X72 X73 X75 1.01800x7 1 1.03888x7 2 1.0648x73 X81 X82 X83 X85 1.01800x8 1 1.03888x8 2 1.0648x85 X91 X92 X93 X95 1.01800x9 1 1.03888x 12 X(10)1 X(10)2 X(10)3 X(10)5 1.018x(10) 1 当 n=10，M=5000，利率为题目中给定的利率时，模型为：
运筹学 案例四:投资基金最佳使用计划研究 x1+x12+x13+x5=5000 x21+x22+x23+x2s=1.018x1-y x31+x32+x3+x35=1.03888x2+1.018x21-y x41+x42+x43+x45=1.0648x13+10388822+1.018x31-y x51+x52+x53+x5=1.0648x23+1.03888x2+1.018x41-y x61+x62+x63+x65=1.152x15+1.0648x33+1.03888x42+1.018x51-y xn1+x72+x73=1.1152x2+1.0648x43+1.03888X2+1.018x61-y xs1+x82+x83=1.1152x35+1.0648x3+1.03888x62+1.018x71-y x1+xo2=1.1152x45+1.0648x63+1.03888x72+1.018xg1-y 1.1152x5+1.0648x3+1.03888x+1.018x 1.1152x65+10648x83+1.03888072+1018x(0n-y=5000 ≥0 =1,2,10 F=12,3,5 用 Lindo求得最优投资方案如下表3所示 表3 奖金相同时的最佳投资方案 单位:万元 投资方式 年定期 二年定期 三年定期 五年定期 奖金 年份 第一年 396.76 200.49 195.6 109.82 第二年 195.61 109.82 第三年 98.47 109.82 第四年 98.47 109.82 第五年 98.47 109.82 第六年 581.97 109 第七年 第八年 109.82 第九年 109.82 第十年 109.82 (2)考虑奖金逐年递增的情况 根据现实要求,每年的奖金额可有所增加,对于奖金额每年增长1%,2%,3%,4%,5%,10%的情 况,只需要在相应的约束中修改变量y的系数,计算结果见表4。 第5页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 5 页 共 15 页 max y 5000 x11 + x12 + x13 + x15 = x + x + x + x = x − y 21 22 23 25 11 1.018 x + x + x + x = x + x − y 31 32 33 35 12 21 1.03888 1.018 x + x + x + x = x + x + x − y 41 42 43 45 13 22 31 1.0648 1.03888 1.018 x + x + x + x = x + x + x − y 51 52 53 55 23 32 41 1.0648 1.03888 1.018 x + x + x + x = x + x + x + x − y 61 62 63 65 15 33 42 51 1.1152 1.0648 1.03888 1.018 x + x + x = x + x + x + x − y 71 72 73 25 43 52 018 61 1.1152 1.0648 1.03888 1. x + x + x = x + x + x + x − y 81 82 83 35 53 62 018 71 1.1152 1.0648 1.03888 1. x + x = x + x + x + x − y 91 92 45 63 72 018 81 1.1152 1.0648 1.03888 1. x = x + x + x + x − y (10)1 55 73 82 91 1.1152 1.0648 1.03888 1.018 1.1152x65 +1.0648x83 +1.03888x92 +1.018x(10)1 − y = 5000 xij ≥ 0 i=1,2,…10 j=1,2,3,5 用 Lindo 求得最优投资方案如下表 3 所示。 表 3 奖金相同时的最佳投资方案 单位：万元 投资方式 年份 一年定期 二年定期 三年定期 五年定期 奖金 第一年 396．76 200．49 195．61 4207．13 109．82 第二年 195．61 98．47 109．82 第三年 98．47 109．82 第四年 98．47 109．82 第五年 98．47 109．82 第六年 4581．97 109．82 第七年 109．82 第八年 109．82 第九年 109．82 第十年 109．82 （2）考虑奖金逐年递增的情况 根据现实要求，每年的奖金额可有所增加，对于奖金额每年增长 1%，2%，3%,4%，5%，10%的情 况，只需要在相应的约束中修改变量 y 的系数，计算结果见表 4