第三章静定梁与静定刚架 §3-1单跨静定梁计算 一、概述 1、单跨静定梁的结构形式：水平梁、斜梁及曲梁 简支梁、悬臂梁及伸臂梁。分析区别和应用 外力：恒、活、风、雪、地震+反力（和四种约束有关） 2、三个内力分量的规定： 轴力N:拉力+，压力 剪力Q:以绕截面邻近小段隔离体顺时针旋转为十， 反之为一 弯矩M:弯矩使杆件下部受拉时为正，上侧受拉时为 负 3、截面法、分离体、平衡方程：求指定截面的内力的 基本方法。 将指定截面假想截开，切开后截面的内力暴露为外力，取任一局部作为隔离体，作 隔离体受力图（荷载、反力、内力组成平面一般力系或平面汇交力系），由隔离体的 平衡条件可以确定所求截面的三个内力。平面一般力系平衡方程的三种形式。 注意：平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 受力平衡条件：（平面一般力系） 轴力=截面一边的所有外力沿杆轴向投影的代数和（以拉为正）： 剪力=截面一边的所有外力沿杆剪切方向的投影代数和（以绕隔离体顺时针为正）： 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和（以下拉为正） 画隔离体受力图时，注意： ()隔离体与其周围约束要全部截断，而以相应的约束力代替： (2)约束力要符合约束的性质。截断链杆以轴力代替，截断受弯构件时以轴力、剪力及弯 矩代替，去掉支座时要以相应的支座反力代替。 (3)隔离体是应用平衡条件进行分析的对象。在受力图中只画隔离体本身所受到的力，不 画隔离体施给周围的力： (4)不要遗漏力。包括荷载及截断约束处的约束力： (⑤)未知力一般假设为正号方向，己知力按实际方向画： (6)“三清”：截面左右分清、外力清楚、正负号清楚 4、内力图： 1)定义：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。 内力方程式：内力与x(表示横截面位置的变量)之间的函数表达式
第三章 静定梁与静定刚架 §3-1 单跨静定梁计算 一、概述 1、单跨静定梁的结构形式：水平梁、斜梁及曲梁 简支梁、悬臂梁及伸臂梁。分析区别和应用 外力：恒、活、风、雪、地震+反力（和四种约束有关） 2、三个内力分量的规定： 轴力 N：拉力＋，压力－ 剪力 Q：以绕截面邻近小段隔离体顺时针旋转为＋， 反之为－ 弯矩 M：弯矩使杆件下部受拉时为正，上侧受拉时为 负 3、截面法、分离体、平衡方程：求指定截面的内力的 基本方法。 将指定截面假想截开，切开后截面的内力暴露为外力，取任一局部作为隔离体，作 隔离体受力图（荷载、反力、内力组成平面一般力系或平面汇交力系），由隔离体的 平衡条件可以确定所求截面的三个内力。平面一般力系平衡方程的三种形式。 注意：平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 受力平衡条件：（平面一般力系） 轴力＝截面一边的所有外力沿杆轴向投影的代数和（以拉为正）； 剪力＝截面一边的所有外力沿杆剪切方向的投影代数和（以绕隔离体顺时针为正）； 弯矩＝截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和（以下拉为正）。 画隔离体受力图时，注意： (1)隔离体与其周围约束要全部截断，而以相应的约束力代替； (2)约束力要符合约束的性质。截断链杆以轴力代替，截断受弯构件时以轴力、剪力及弯 矩代替，去掉支座时要以相应的支座反力代替。 (3)隔离体是应用平衡条件进行分析的对象。在受力图中只画隔离体本身所受到的力，不 画隔离体施给周围的力； (4)不要遗漏力。包括荷载及截断约束处的约束力； (5)未知力一般假设为正号方向，已知力按实际方向画； (6) “三清”：截面左右分清、外力清楚、正负号清楚 4、 内力图： 1）定义：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。 内力方程式：内力与 x（表示横截面位置的变量）之间的函数表达式
2)几点注意 (1)弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边，标明正负。 (2)内力图名称、单位、控制竖标大小 (3)大小长度按比例、直线要直、曲线光滑 (4)隔离体受力图必须正确，不能漏力多力，己知力（大小方向作用点）、未知力（先 假设为正方向，代入平衡方程，求出正值，说明方向假设正确，求出负值，说明 实际方向和假设相反) (5)平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系统。 (6)取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量 5、荷载与内力的关系 由平衡条件：∑X=0,N+dN-N+q,d=0 ∑y=0Q+d0-Q+q,.dk=0 ∑M=0 M+0)本+(@+do)5k-(M+dM0=0 推导出： dM is-0 均布荷载作用下： (I)若g.=0,N=const.:若q.=cos1.(均匀)，N图为斜直线： (2)若q,=0,Q=const.(水平线)：M=斜直线： 若g,=const.,Q=斜直线，M=二次抛物线： =-9,当9，>0时（荷载向下），则M图曲线向下凸。 若为集中荷载作用： ∑X=0,N+dW-N+P=0 ∑Y=0,Q+d№-Q+P,=0 ∑M=0 Q.dx+(Q+dQ)-dx+M+m-(M+dm)=0
2）几点注意 （1）弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边，标明正负。 （2）内力图名称、单位、控制竖标大小 （3）大小长度按比例、直线要直、曲线光滑 （4）隔离体受力图必须正确，不能漏力多力，已知力（大小方向作用点）、未知力（先 假设为正方向，代入平衡方程，求出正值，说明方向假设正确，求出负值，说明 实际方向和假设相反） （5）平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系统。 （6）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量 5、 荷载与内力的关系 由平衡条件： X = 0， N + dN − N + qx .dx = 0 Y = 0 Q + dQ − Q + qy .dx = 0 M = 0 ( ) 0 2 1 ( ) 2 1 M + Q. dx + Q + dQ dx − M + dM = 推导出： qx dx dN = − qy dx dQ = − Q dx dM = 均布荷载作用下： (1)若 qx = 0 ,N=const.；若 q const. x = (均匀)，N 图为斜直线； (2)若 qy = 0，Q＝const.(水平线)； M=斜直线; 若 q const. y = ，Q=斜直线，M＝二次抛物线； (3) qy dx d M = − 2 2 当 qy 0 时(荷载向下)，则 M 图曲线向下凸。 若为集中荷载作用： X = 0， N + dN − N + Px = 0 Y = 0 ，Q + dQ − Q + Py = 0 M = 0 ( ) 0 2 1 ( ) 2 1 Q. dx + Q + dQ dx + M + m − M + dm =
推导出： dN=-P d0=-g, △M=m 上式说明：()P作用，N图发生突变： (2)P作用，Q发生突变，导致M图斜率改变，出现尖点： (3)m作用，M发生突变，N、Q图无变化。 在绘制和校核内力图时十分有用。适用受弯构件。 二、分段叠加法作弯矩图 1、线弹性、小变形原理 2、 简支梁情况（材料力学研究情况）： 任意直杆段情况 B M 的 (端部弯矩单独作用时弯矩图) (隔离体，可以看成相应简支梁问题) (跨间荷载单独作用时弯矩图) (总弯矩图) M(x)=M(x)+M(x) 荷载叠加法（材料力学）：当结构上同时作用有许多荷载（外力、温度、支座沉降等） 时，先分别作出各荷载单独作用下的M图，再将各个弯矩图在M值发生突变处，将各 弯矩竖标相叠加（代数和），便得到各荷载共同作用下的M图。 分段叠加法：对于结构中任意直杆区段，只要用截面法求出该段两端的截面弯矩竖标后， 可先将两个竖标的顶点以虚线相联，并以此为基线，再将该段作为简支梁，作出简支梁 在外荷载作用下（直杆区段上的荷载）的弯矩图，叠加到基线上（弯矩竖标叠加），最 后所得图线与直杆段的轴线之间所包围的图形就是实际的弯矩图。适用于结构中任意某
推导出： dN = −Px dQ = −qy M = m 上式说明：(1) Px 作用，N 图发生突变； (2) Py 作用，Q 发生突变，导致 M 图斜率改变，出现尖点； (3)m 作用，M 发生突变，N、Q 图无变化。 在绘制和校核内力图时十分有用。适用受弯构件。 二、分段叠加法作弯矩图 1、 线弹性、小变形原理 2、 简支梁情况(材料力学研究情况)： 任意直杆段情况： (端部弯矩单独作用时弯矩图) (隔离体，可以看成相应简支梁问题) (跨间荷载单独作用时弯矩图) (总弯矩图) ( ) ( ) ( ) 0 M x = M x + M x 荷载叠加法（材料力学）：当结构上同时作用有许多荷载（外力、温度、支座沉降等） 时，先分别作出各荷载单独作用下的 M 图，再将各个弯矩图在 M 值发生突变处，将各 弯矩竖标相叠加（代数和），便得到各荷载共同作用下的 M 图。 分段叠加法：对于结构中任意直杆区段，只要用截面法求出该段两端的截面弯矩竖标后， 可先将两个竖标的顶点以虚线相联，并以此为基线，再将该段作为简支梁，作出简支梁 在外荷载作用下（直杆区段上的荷载）的弯矩图，叠加到基线上（弯矩竖标叠加），最 后所得图线与直杆段的轴线之间所包围的图形就是实际的弯矩图。适用于结构中任意某
直杆区段的弯矩图叠加 弯矩图的叠加，指纵坐标的叠加，而不是指图形的简单拼合。 三、归纳内力图的基本作法 (1)外力（中间连接力对局部研究对象而言是外力）：根据结构整体或局部平衡求支座 反力和中间连接力。（避免解联立方程。适当选取隔离体，由平衡方程求解支座和联结 处的约束力) (2)选定外力的不连续点为控制截面（控制截面：如支承点、集中荷载作用点、集中力偶 作用点左右截面、分布荷载的起点及终点等)，求控制截面的内力值（采用截面法）： (③)分段画弯矩图。采用内力图与荷载的关系。当控制截面间无荷载时，根据控制截面 的弯矩值，即可作出直线弯矩图：当控制截面间有荷载作用时，根据控制截面的弯矩值 作出直线图形后，再叠加上这一段按简支梁求出的弯矩图： (4)分段画剪力图。根据控制截面的剪力竖标，无荷载区段，Q图连以水平线：均匀荷 我区段，O图连以斜直线： (⑤)分段画轴力图。根据控制截面的轴力竖标，在无轴向外荷载区段，N图连以水平线： 在有均匀轴向外荷载区段，N图连以斜直线： (6)校核内力图 (7)N、Q图也可以通过M图由杆件平衡作出。 例1：悬臂梁、简支梁、外伸梁 山山w 444 44 四、斜梁的内力图： 单跨静定斜梁：梁式楼梯、板式楼梯、屋面斜梁，简支斜梁。及具有斜杆的刚架。 两种荷载形式 1、水平向均匀荷载：人群荷载 水平向均匀荷载q,斜角a 1)支座反力：考虑整体平衡 H4=0,'a='B=g12(个) 2)求截面K的内力方程：取AK段隔离体 ∑Mx=0,M=x- (与相应水平简支梁完全一样) 2
直杆区段的弯矩图叠加。 弯矩图的叠加，指纵坐标的叠加，而不是指图形的简单拼合。 三、归纳内力图的基本作法 (1) 外力（中间连接力对局部研究对象而言是外力）：根据结构整体或局部平衡求支座 反力和中间连接力。(避免解联立方程。适当选取隔离体，由平衡方程求解支座和联结 处的约束力) (2)选定外力的不连续点为控制截面(控制截面：如支承点、集中荷载作用点、集中力偶 作用点左右截面、分布荷载的起点及终点等)，求控制截面的内力值（采用截面法）； (3)分段画弯矩图。采用内力图与荷载的关系。当控制截面间无荷载时，根据控制截面 的弯矩值，即可作出直线弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，根据控制截面的弯矩值 作出直线图形后，再叠加上这一段按简支梁求出的弯矩图； (4)分段画剪力图。根据控制截面的剪力竖标，无荷载区段，Q 图连以水平线；均匀荷 载区段，Q 图连以斜直线； (5)分段画轴力图。根据控制截面的轴力竖标，在无轴向外荷载区段，N 图连以水平线； 在有均匀轴向外荷载区段，N 图连以斜直线； (6)校核内力图 （7）N、Q 图也可以通过 M 图由杆件平衡作出。 例 1：悬臂梁、简支梁、外伸梁 四、斜梁的内力图： 单跨静定斜梁：梁式楼梯、板式楼梯、屋面斜梁，简支斜梁。及具有斜杆的刚架。 两种荷载形式 1、水平向均匀荷载：人群荷载 水平向均匀荷载 q，斜角α 1) 支座反力：考虑整体平衡 H = 0,V =V = ql / 2() A A B 2) 求截面 K 的内力方程：取 AK 段隔离体 2 2 0, 2 qx x ql M K = M K = − （与相应水平简支梁完全一样）
3、内力图： +glsin a 2 qP/8 -qlsin a2 M图 Q图 N图 注： 1、)横截面： 2、)与等跨简支梁弯矩图相同：（由于竖向支座反力相同，而水平反力均为堆零。） 而N图和Q图有如下关系： N=-Q°sina 0=2°cosa 3、)若将B支座换成：弯矩图、剪力图与上面例题相同， 轴力图不同 3、沿斜向荷载q1:楼梯自重，等效转换根据同一微段上合力相等原则，换算成水平方 向均布荷载：q=ql/cosa 因此内力图为（一）内力图除以cosa +qltg a/2 -gl /2 al/8c qltg a
cos 2 ' 0, ( ) cos = = − = − qx ql Y Q V qx K A 3）、内力图： M 图 Q 图 N 图 注： 1、）横截面： 2、）与等跨简支梁弯矩图相同：（由于竖向支座反力相同，而水平反力均为堆零。） 而 N 图和 Q 图有如下关系： sin 0 N = −Q cos 0 Q = Q 3、）若将 B 支座换成：弯矩图、剪力图与上面例题相同， 轴力图不同 3、沿斜向荷载 q1：楼梯自重，等效转换:根据同一微段上合力相等原则，换算成水平方 向均布荷载：q=q1/cosα 因此内力图为（一）内力图除以 cosα sin 2 ' 0, = = − + qx ql X NK ql2 /8 +qlcosα/2 -qlcosα/2 -qlsinα/2 +qlsinα/2 ql2 /8co sα +ql /2 -ql /2 -qltgα/2 +qltgα/2