二、双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆,这是从S平面到Z平面的标准变换z=eT的多值对应 关系导致的为了克服这一缺点,设想变换分为两步: 第一步:将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里; 第二步:通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系,消除 多值性,也就消除了混淆现象
二、双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝e sT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除 多值性，也就消除了混淆现象
/1 W Rel IT s平面 s1平面 z平面 双线性变换法的映射关系
s平面 s1平面 z平面 双线性变换法的映射关系
为了将S平面的jQ轴压缩到S1平面g21轴上的一m/T 到兀/T一段上,可通过以下的正切变换实现: 27 2 这里C是待定常数,下面会讲到用不同的方法确定C 可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特 性在不同频率点有对应关系。 经过这样的频率变换,当g由->0>∞时 21由-/经过0变化到πT,即S平面的整个j轴被 压缩到S1平面的2一段
为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T 到π/T 一段上，可通过以下的正切变换实现： −→0→ ) 2 tg( Ω1 T Ω = c 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C， 可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特 性在不同频率点 有对应关系。 经过这样的频率变换， 当Ω由 时, Ω1由-π/T经过０变化到π/T ，即S平面的整个jΩ轴被 压缩到S1平面的2π/T 一段
将这一关系解析扩展至整个S平面,则得到 S平面到S平面的映射关系: S,T T e S=C. th(=c 1+e-S 再将S1平面通过标准变换关系映射到Z平面,即令 21-z z=e°l 通常取C=2/ T1+z 考虑z=e 21-e02jsi(O/2) T1+e jo T cos(@/2) atg ()=jQ2 g(/2)
通常取C=2/T, ( / 2) 2 tg T = s T s T e e c s T s c 1 1 1 1 ) 2 th( 1 − − + − = = − − + − = z z T T s s z e 1 = 考虑z = ejω , ( ) = = = + − = − − j j T j e T e T s j j ) 2 tg( 2 cos 2 2 sin( / 2) 1 2 1 再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令 将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到 S平面到S1
最后得S平面与Z平面的单值映射关系: 21-z T1+z 1+(T/2)s 1-(T/2)s 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应, S平面的虚轴(整个j92)对应于Z平面单位圆的一周,S平面的 g2=0处对应于Z平面的o=0处,对应即数字滤波器的频率响应 终止于折叠频率处,所以双线性变换不存在混迭效应
最后得S平面与Z 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应， S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面 单位圆的一周，S平面的 Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应 终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。 − − + − = z z T s T s T s z ( / ) ( / ) − + =