14离散时间系统与差分方程 个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(m)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列,输 出也是一个序列,其本质是将输入序列转变成输出序列的一个 运算。 y(n=Tlx(n) 对T加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系 统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统” x(n) (n) 离散时间系统
1.4 离散时间系统与差分方程 T[·] 离散时间系统 x (n) y(n) 一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输 出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个 运算。 y(n)= T[x(n)] 对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系 统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统” 。 T[ . ]
1.线性系统(满足迭加原理的系统) 若系统的输入为ⅹ;(n)和x2(n)时,输出分 别为y;(n)和y,(n) p y,(n=Tix(n)], y2(n)=t[x2(n)] 如果系统输入为ax1(n)+bx,(n)时,输出 为ay1(n)+by,(n) 其中a,b为任意常数,则该系统为线性系统。所 以,线性系统的条件为 Tax,(n)+bx,(n) atX, (n l+bTx, (n)1 ay,(n)+by (n) 线性系统对信号的处理可应用迭加定理
1. 线性系统（满足迭加原理的系统） 若系统的输入为x1（n）和x2（n）时，输出分 别为y1（n）和y2（n）， 即 y1（n）=T[x1（n）]， y2（n）=T[x2（n）] 如果系统输入为ax1（n）+bx2（n）时，输出 为ay1（n）+by2（n）， 其中a， b为任意常数，则该系统为线性系统。所 以，线性系统的条件为 T[ax1（n）+bx2（n）]=aT[x1（n）]+bT[x2（n）] =ay1（n）+by2（n） 线性系统对信号的处理可应用迭加定理
例:设一系统的输入输出关系为 试判断系统是否为线性? 解:输入信号x四]产生的输出信号T{x[n}为 TEx[n1=x2nI 输入信号ax]产生的输出信号T{ax[m]}为 ax In 除了a=0,1情况,T{axlm}≠aT{xlm}。故系统不满 足线性系统的的定义,所以系统是非线性系统
例: 设一系统的输入输出关系为 y[n]=x 2 [n] 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [n]产生的输出信号T{x [n]}为 T{x [n]}=x 2 [n] 输入信号ax [n]产生的输出信号T{ax [n]}为 T{ax [n]}= a 2x 2 [n] 除了a=0,1情况，T{ax [n]} aT{x [n]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统
2.时不变系统 如果T[x(n)]=y(n), 则T[x(nn)]y(n-n) (n0为任意整数) 即系统的特性不随时间而变化 线性时不变系统简称为:LTI
2. 时不变系统 如果 T[x（n）]=y（n）， 则 T[x（n-n0）]=y（n-n0） （ n0为任意整数） 即系统的特性不随时间而变化。 线性时不变系统简称为：LTI
3.线性时不变系统 线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。 我们知道,任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 (n)=∑x(m)6(m-m) 如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应, (n)=T6(n)] 则系统对任一输入序列x(n)的响应为 (n)=T[x(n) ∑x(m)(n 由于系统是线性的,满足迭加定理 y(n)=∑x(m)7[6(n-m) n=-00
3. 线性时不变系统 线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。 我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应， h（n）=T[δ（n）] 则系统对任一输入序列x（n）的响应为 =− = − m x(n) x(m) (n m) = − = m=− T x m n m y n T x n ( ) ( ) ( ) [ ( )] 由于系统是线性的，满足迭加定理 =− = − m y(n) x(m)T (n m)